第2章 2.1 第3课时 轨迹问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦轨迹问题核心知识点，系统梳理定义法、直接法、代入法求轨迹方程的原理与步骤，衔接圆的方程等基础内容，为后续圆锥曲线轨迹问题学习搭建阶梯式支架。 该资料以问题驱动（如“轨迹和轨迹方程有什么区别”）引导学生用数学眼光抽象几何关系，通过例题推理（如定义法中利用直角三角形斜边中线性质）培养数学思维，用坐标方程表达轨迹体现数学语言。课中助力教师分层教学，课后练习帮助学生查漏补缺。

第3课时　轨迹问题 学习目标　1.掌握定义法求轨迹方程.2.掌握直接法求轨迹方程.3.理解代入法求轨迹方程. 一、定义法求轨迹方程 问题　轨迹和轨迹方程有什么区别？ 提示　轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式. 知识梳理 满足条件的点M所构成的曲线即为动点M的轨迹，对应的方程即为动点M的轨迹方程.在解析几何中，我们常常把图形或曲线看作点的轨迹(集合). 例1　已知圆C：x2＋y2＝5，过点M(2，0)的直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的中点的轨迹方程. 解　如图，设P为弦AB的中点，则CP⊥AB，取线段CM的中点D，则PD＝CM＝1， 当直线AB的斜率不存在及斜率为0时，P分别与M，C重合，亦有PD＝1. 故弦AB的中点P的轨迹是以D(1，0)为圆心，1为半径的圆，其方程为(x－1)2＋y2＝1. 反思感悟　(1)当动点满足到定点的距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆的方程. (2)注意轨迹与轨迹方程不同. 跟踪训练1　如图所示，长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为　　　　　. 答案　x2＋y2＝9 解析　连接OM(图略)，设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以OM＝AB＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故线段AB的中点M的轨迹方程为x2＋y2＝9. 二、直接法求轨迹方程 例2　(课本例4)已知点M(x，y)到两个定点A(－3，0)，B(3，0)的距离之比为2，求x，y满足的关系式，并指出满足条件的点M所构成的曲线. 解　依题意，点M满足＝2. 由MA＝，MB＝，得＝2. 化简整理，得x2＋y2－10x＋9＝0. (*) 反过来，可以验证，当x，y满足(*)式时，点M到点A，B的距离之比为2. 因此x，y满足的关系式为x2＋y2－10x＋9＝0. 由x2＋y2－10x＋9＝0，得(x－5)2＋y2＝16. 因此，满足条件的点M所构成的曲线为以点(5，0)为圆心，4为半径的圆. 例2　已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为，则动点M的轨迹方程为　　　　　　　　.  答案　x2＋y2＋2x－3＝0 解析　设动点M(x，y)， ∵动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为， ∴， 化简得点M的轨迹方程为x2＋y2＋2x－3＝0. 反思感悟　直接法求动点M的轨迹方程的步骤 (1)设出动点M的坐标； (2)写出点M的集合； (3)列出方程； (4)化简方程为最简形式，并检验. 跟踪训练2　已知点B(1，1)是圆x2＋y2＝4内的一点，P，Q为圆上的动点.若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. 解　设线段PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，PN＝BN. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 整理得x2＋y2－x－y－1＝0， ∴线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 三、代入法求轨迹方程 例3　已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求点P的轨迹方程. 解　设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点， ∴即 又∵M在曲线x2＋y2＝1上， ∴(2x－3)2＋4y2＝1， ∴点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1. 反思感悟　代入法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0). (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理，得所求轨迹方程. 其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”. 跟踪训练3　已知△ABC的两个顶点A(－2，0)，B(2，0)，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程. 解　设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0). ∴ ① ∵AD＝3， ∴(x0＋2)2＋＝9. ② 将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36. ∵点C不能在x轴上，∴y≠0. 综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点. 轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0). 1.知识清单： (1)定义法求轨迹方程. (2)直接法求轨迹方程. (3)代入法求轨迹方程. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：将求轨迹方程与求轨迹混淆. 1.若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，则直角顶点C的轨迹方程为(　　) A.x2＋y2＝25(y≠0) B.x2＋y2＝25 C.(x－2)2＋y2＝25(y≠0) D.(x－2)2＋y2＝25 答案　C 解析　线段AB的中点为(2，0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2，0)的距离为AB＝5，所以点C(x，y)满足＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0). 2.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　) A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 答案　A 解析　设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得 因为点Q在圆x2＋y2＝4上， 所以＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4， 化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 3.已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，则点M的轨迹方程是　　　　　.  答案　x2＋y2＝16 解析　设M(x，y)， 则＝2， 整理可得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16. 4.设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 解析　由条件知A(2，－1)，设M(x，y)， 则P(2x－2，2y＋1)，由于P在圆上， 则(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0， 整理得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分 1.设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且PA＝1，则点P的轨迹方程是(　　) A.x2＋(y－1)2＝2 B.(x－1)2＋y2＝2 C.x2＋y2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2 答案　B 解析　设P(x，y)，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1，0)，半径为1， 因为PA是圆的切线， 则PA2＋1＝PB2，所以(x－1)2＋y2＝2， 即为所求的点P的轨迹方程. 2.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　) A.点 B.直线 C.线段 D.圆 答案　D 解析　∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1， ∴(a－1)2＋b2＝1， ∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径的圆. 3.在平面内，A(－a，0)，B(a，0)，C是动点，若·＝2，则点C的轨迹为(　　) A.线段 B.射线 C.圆 D.直线 答案　C 解析　设C(x，y)， 所以＝(x＋a，y)，＝(x－a，y)， 由·＝2， 得(x－a)(x＋a)＋y2＝2， 即x2＋y2＝a2＋2，所以点C的轨迹为圆. 4.已知点B(6，0)，点A在曲线C：x2＋y2＝2上运动，则线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程为(　　) A.x2＋(y－4)2＝ B.x2＋(y－4)2＝2 C.(x－4)2＋y2＝ D.(x－4)2＋y2＝2 答案　C 解析　设点Q的坐标为(x，y)，点A的坐标为(xA，yA)，因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点， 所以＝2，即(x－xA，y－yA)＝2(6－x，－y)，解得又点A在曲线C上运动， 则有(3x－12)2＋(3y)2＝2，化简得(x－4)2＋y2＝. 5.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B的距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆.若两定点A，B的距离为3，动点M满足MA＝2MB，则点M的轨迹围成区域的面积为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π 答案　D 解析　以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3，0).设M(x，y)，依题意有，＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，故点M的轨迹为圆，该圆的面积为4π. 6.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，则底边另一个端点C的轨迹方程是(　　) A.(x－4)2＋(y－2)2＝10 B.(x＋4)2＋(y－2)2＝10 C.(x－4)2＋(y－2)2＝10(去掉点(3，5)，(5，－1)) D.(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5) 答案　C 解析　设C(x，y)，由题意知，AB＝， 因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形，于是有CA＝AB＝，即点C的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，又点A，B，C构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B(3，5)及点B关于点A对称的点(5，－1)，所以点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10(去掉点(3，5)，(5，－1)). 7.(5分)已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1，0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为　　　　　　　　　　　　　. 答案　＋y2＝1 解析　设M(x，y)，则Q(2x＋1，2y)， 因为Q在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x＋1)2＋4y2＝4，即＋y2＝1， 所以轨迹C的方程是＋y2＝1. 8.(5分)圆x2＋y2＝8内有一点P(2，－1)，AB为过点P的弦，则AB的中点Q的轨迹方程为　　　　　　. 答案　x2＋y2－2x＋y＝0 解析　设AB的中点为Q(x，y)， 若斜率存在且不为0， 则AB的斜率为k＝，又OQ⊥AB， 所以kOQ·k＝－1， 即·＝－1，整理得x2＋y2－2x＋y＝0， 点(2，－1)，(2，0)，(0，0)，(0，－1)也满足， 所以点Q的轨迹方程为x2＋y2－2x＋y＝0. 9.(10分)已知点A(－1，2)和直线l：x－y＋1＝0.点B是点A关于直线l的对称点. (1)求点B的坐标；(5分) (2)O为坐标原点，且点P满足PO＝PB，求点P的轨迹.(5分) 解　(1)设B(a，b)，A(－1，2)，因为点B与点A关于直线l对称， 则线段AB的中点M在直线l上， 即＋1＝0，即a－b－1＝0， ① 又直线AB⊥直线l，且直线l的斜率为1，则＝－1，即a＋b－1＝0， ② 联立①②解得故点B的坐标为(1，0). (2)设P(x，y)，由PO＝PB，则PO2＝3PB2， 故x2＋y2＝3[(x－1)2＋y2]，可化为x2＋y2－3x＋＝0， 化简得＋y2＝， 所以点P的轨迹是以为圆心， 为半径的圆. 10.(12分)已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上. (1)求圆C的方程；(5分) (2)若线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程.(7分) 解　(1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D. 因为kAB＝－3，所以km＝， 所以直线m的方程为x－3y－3＝0. 由得 所以圆心C(－3，－2)， 半径r＝CA＝＝5， 所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. (2)设点M(x，y)，Q(x0，y0). 因为点P的坐标为(5，0)，所以 即 又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25， 代入得线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝. 11.已知点A(0，1)，B(2，－1)，动点P(x，y)满足·＝λ为定值，若点P的轨迹为一个圆，则实数λ的取值范围为(　　) A.(－2，＋∞) B.(2，＋∞) C.(－∞，－2) D.(－∞，2) 答案　A 解析　∵P(x，y)，A(0，1)，B(2，－1)， ∴＝(－x，1－y)，＝(2－x，－1－y)， 由·＝λ，得x2－2x＋y2－1＝λ，即(x－1)2＋y2＝2＋λ，因为点P的轨迹为一个圆， 故2＋λ>0，解得λ>－2. 12.已知定点P1(－1，0)，P2(1，0)，动点M满足MP1＝MP2，则构成△MP1P2面积的最大值是(　　) A. B.2 C. D.2 答案　B 解析　设M(x，y)，由MP1＝MP2， 可得·， 化简得(x－3)2＋y2＝8， 即M在以(3，0)为圆心，2为半径的圆上运动， 又P1P2·|yM|＝|yM|≤2， 即△MP1P2面积的最大值是2. 13.(5分)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若||＝||，则点C的轨迹为　　　　　　　　. 答案　以线段AB为直径的圆 解析　当点C与点A，B均不重合时， 设O为线段AB的中点， 则＝2. 因为||＝||，所以||＝2||， 所以||＝||，所以AC⊥BC， 当点C与点A或B重合时也满足||＝||，所以点C的轨迹为以线段AB为直径的圆. 14.(5分)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2，4)，过点P的直线l与圆O：x2＋y2＝4交于不同的两点A，B.若线段AB的中点为M，则点M的轨迹方程为　　　　　　　　　.  答案　(x－1)2＋(y－2)2＝5 解析　设点M(x，y)， ∵M是线段AB的中点， ∴MO⊥MP， 又∵＝(x，y)， ＝(x－2，y－4)， ∴x(x－2)＋y(y－4)＝0， 即x2＋y2－2x－4y＝0， 联立 解得或 又∵M在圆O的内部， ∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5. 15.(5分)树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处，AB＝BC＝a(a为正常数)，若兔子沿AD方向以速度2μ(μ为正常数)向树林逃跑，同时狼沿线段BM(M∈AD)方向以速度μ进行追击，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子，则兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区域面积S(a)＝　　　　.  答案　π 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，2a)，B(0，a)，设M(x，y)， 由≤，得2≤，整理得x2＋≤， ∴M在以为圆心，以a为半径的圆上及圆的内部， ∴S(a)＝π×π. 16.(13分)在边长为1的正方形ABCD中，边AB，BC上分别有一个动点Q，R，且BQ＝CR.如图所示，分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程. 解　由已知得点A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)， 设动点P(x，y)(x≥0，y≥0)，Q(t，0)(0≤t≤1)， 由BQ＝CR知，AQ＝BR，则R(1，t). 当t≠0时，直线AR：y＝tx， ① 直线DQ：＋y＝1，则1－y＝， ② ①×②消去t，得y(1－y)＝tx·，化简得x2＋y2－y＝0. 当t＝0时，点P与原点重合，坐标(0，0)也满足上述方程. 又点Q，R分别在AB，BC上，所以0≤x≤，0≤y≤， 故点P的轨迹方程为x2＋y2－y＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $