第1章 1.5.2 第2课时 两平行直线间的距离（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学两平行直线间的距离，从点到直线距离公式切入，通过问题链引导推导平行直线距离公式，系统梳理公式应用于距离计算、参数求解及最值问题的完整学习支架。 以工程接水管问题引入培养数学眼光，通过问题引导推导公式发展推理能力，例题分层设计如最值问题结合数形结合，练习覆盖不同题型，课中辅助教学引导，课后助力学生巩固查漏补缺。

第2课时　两平行直线间的距离 学习目标　1.理解两条平行直线间的距离公式的推导.2.会求两条平行直线间的距离. 导语 图中a，b是两根互相平行的水管，由于工程需要，现在要用一根水管把它们接通.这是设计草图，你认为选用哪根水管最节省材料？ 一、两条平行直线间的距离 问题1　已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示　根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离. 问题2　怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 提示　在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝， 因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上， 所以Ax0＋By0＋C1＝0， 即Ax0＋By0＝－C1， 因此d＝ 知识梳理 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝ 注意点： (1)两条平行直线间的距离即为夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. (2)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离. (3)运用两平行直线间的距离公式时，两直线的方程必须是一般式，且必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同. 例1　(课本例5)求两条平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0之间的距离. 解　在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d就是两条平行直线之间的距离. 因此，两条平行直线之间的距离为 d＝. 例1　(1)分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是　　　　　.  答案　5 解析　两直线方程分别是x＝－2和x＝3，故两条直线间的距离d＝|－2－3|＝5. (2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A.1 B C D.2 答案　B 解析　由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行直线间的距离公式， 得AB＝ 反思感悟　求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求. (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝ 跟踪训练1　已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A.1 B.2 C D.4 答案　A 解析　由两条直线平行可得，解得m＝24. 则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0， 由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1. 二、由平行直线间的距离求参数 例2　已知直线l1：2x＋y＋2＝0；l2：mx＋4y＋n＝0.若l1∥l2，且它们的距离为，求m，n的值. 解　依题意l1∥l2，则2×4＝1×m⇒m＝8， 此时l2：8x＋4y＋n＝0，即2x＋y＋＝0，故≠2，n≠8. 由于两条直线的距离为，所以，即＝5， 解得n＝28或n＝－12. 反思感悟　对于已知两直线间的距离求参数的问题，一般可列出关于距离的等式，解方程即可. 跟踪训练2　(1)与直线l1：x＋y＋1＝0和直线l2：x＋y－3＝0的距离相等的直线方程为　　　　　　.  答案　x＋y－1＝0 解析　设该直线为x＋y＋c＝0，则由两平行直线之间的距离公式得 ，解得c＝－1，故该直线方程为x＋y－1＝0. (2)(多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则实数c的值为(　　) A.9 B.－9 C.11 D.－11 答案　BC 解析　∵直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，∴＝2，解得c＝11或c＝－9. 三、平行直线间的距离的最值问题 例3　两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 解　(1)如图， 显然有0<d≤AB. 而AB＝＝3 故所求的d的变化范围为(0，3]. (2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直.而kAB＝， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 反思感悟　应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. 跟踪训练3　已知直线l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是　　　　　　　　.  答案　x＋2y－3＝0 解析　当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大. 因为A(1，1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2， 所以直线l1，l2的斜率为－， 所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. 1.知识清单： (1)两条平行直线间的距离. (2)两条平行直线间的距离的最值问题. 2.方法归纳：数形结合法、解方程(组)法. 3.常见误区：运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同. 1.两条直线y＝x，6x－4y＋13＝0之间的距离为(　　) A B C D.13 答案　B 解析　因为两条直线的方程分别可化为 3x－2y＝0，3x－2y＋＝0，所以两直线平行， 所以两条直线之间的距离d＝ 2.平行直线l1：3x＋4y－3＝0与l2：mx＋8y－1＝0之间的距离等于(　　) A B C D 答案　B 解析　由l1∥l2得3×8－4m＝0，解得m＝6， 则l2：6x＋8y－1＝0，即3x＋4y－＝0， 所以l1与l2之间的距离为 3.P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则PQ的最小值为(　　) A B C D 答案　C 解析　直线6x＋8y＋5＝0可化为3x＋4y＋＝0，易知直线3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋＝0平行，故PQ的最小值即两平行直线间的距离，故d＝ 4.两平行直线l1：x＋2y＋20＝0与l2：x＋2y＋c＝0间的距离为2，则c等于(　　) A.0或40 B.10或30 C.－20或10 D.－20或40 答案　B 解析　由题意可得，＝2， 即|20－c|＝10， 解得c＝10或c＝30. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是(　　) A B C D 答案　C 解析　5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0. 由平行线间的距离公式可得d＝ 2.(多选)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线的方程可能为(　　) A.2x＋y－1＝0 B.2x＋y－2＝0 C.2x＋y＝0 D.2x＋y＋2＝0 答案　CD 解析　因为所求直线与直线2x＋y＋1＝0之间的距离为， 所以可得所求直线与已知直线平行， 设所求直线的方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)， 则d＝， 解得c＝0或c＝2， 故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0. 3.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　) A B C D 答案　B 解析　由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行， 则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0， 解得a＝3或a＝－1， 当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合，不符合题意，舍去； 当a＝－1时，直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋＝0平行， 两直线之间的距离为 4.已知直线l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2y－4＝0分别与x，y轴的交点连线构成四边形，则该四边形的面积为(　　) A.5 B.6 C.8 D.9 答案　D 解析　由题意得l1∥l2，且l1与坐标轴的交点为A(0，1)，B(－2，0)，l2与坐标轴的交点为C(0，－2)，D(4，0).易知四边形ABCD为梯形，平行的两边长分别为，2，直线l1，l2之间的距离为，故四边形ABCD的面积为×(＋2)×＝9. 5.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x＋2y＋1＝0和3x＋2y＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为4x－6y＋c1＝0和4x－6y＋c2＝0，则|c1－c2|等于(　　) A B C D.6 答案　D 解析　3x＋2y＋1＝0与3x＋2y＋4＝0间的距离d1＝， 4x－6y＋c1＝0与4x－6y＋c2＝0间的距离d2＝|c1－c2|， 又由正方形的特点可知d1＝d2， 即|c1－c2|， 解得|c1－c2|＝6. 6.(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的可能值为(　　) A.3 B.－17 C.－3 D.17 答案　AB 解析　由题意，n≠0，－， 所以n＝－4， 所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0， 由两平行直线间的距离公式得 ＝2， 解得m＝7或m＝－13， 所以m＋n＝3或m＋n＝－17. 7.(5分)在梯形ABCD中，CD＝2AB＝6，且AB和CD所在直线的方程分别是x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0，则梯形ABCD的面积为　　　　　.  答案　9 解析　直线AB和CD之间的距离d＝＝2， 即梯形的高为 2， 又CD＝2AB＝6， 所以梯形ABCD的面积S＝×(3＋6)×2＝9 8.(5分)若两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0之间的距离为，则C＝　　　　.  答案　11或－15 解析　由直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0平行，可得A＝3，即两直线方程分别为6x－4y－2＝0，6x－4y＋C＝0，两平行直线间的距离为，可得，解得C＝11或－15. 9.(10分)(1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；(5分) (2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是的直线方程.(5分) 解　(1)设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0. 由题意知＝1， 解得m＝3或－7， 所以所求直线方程为 3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0. (2)设所求直线方程为3x－y＋c＝0，由题意，可得点P到直线的距离等于， 即d＝， 解得c＝9或c＝－3， 所以所求直线方程为 3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 10. (11分)已知直线l1：2x＋3y－7＝0与l2：2x＋3y＋8＝0. (1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)两点分别在直线l1，l2上运动，求AB的中点C到原点的最短距离；(5分) (2)若直线l过点P(1，1)，且被直线l1，l2截得的线段长为，求直线l的方程.(6分) 解　(1)设与直线l1，l2平行且到l1，l2距离相等的直线上的点为(x，y)， 则， ∴2x＋3y－7＝－2x－3y－8，即4x＋6y＋1＝0， ∴AB的中点C到原点的最短距离即为原点到直线4x＋6y＋1＝0的距离， ∴所求最短距离为 (2)∵l1与l2之间的距离d＝， ∴直线l与直线l1，l2垂直，即kl＝， 又直线l过点P(1，1)， ∴直线l的方程为y－1＝(x－1)， 即3x－2y－1＝0. 11.已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，且对角线交于点E，过点E作AB所在直线的平行线l.若AB和CD所在直线的方程分别是3x＋4y－6＝0与3x＋4y＋9＝0，则直线l与CD所在直线的距离为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　由题意得△ABE∽△CDE，则AE∶EC＝1∶2，点E到CD所在直线的距离为AB和CD所在直线距离的，又AB和CD所在直线的距离为＝3，则直线l与CD所在直线的距离为2. 12.设两条平行直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0.已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条平行直线之间的距离的最大值为(　　) A.1 B C D.2 答案　C 解析　因为a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，可得a＋b＝－1，ab＝c，所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝1－4c， 两条平行直线间的距离d＝，又0≤c≤，则≤≤，所以≤d≤， 所以两条平行直线间距离的最大值为 13.(5分)已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则的最小值为　　　　　　　.  答案　1 解析　设点A(m，n)，B(a，b)，直线l1：3x＋4y＝6，直线l2：3x＋4y＝1.由题意知点A(m，n)在直线l1：3x＋4y＝6上，点B(a，b)在直线l2：3x＋4y＝1上，AB＝，由l1∥l2，得ABmin＝＝1. 14.(5分)若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为　　　　.  答案　15°或75° 解析　由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 15.(5分)如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为　　　　　　　　　　　　　 . 答案　x＋y－3＝0 解析　设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)， 则题图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b). 所以AD＝，BC＝b. 梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离， 故h＝(b>1)， 由梯形面积公式得×＝4， 所以b2＝9，b＝±3.又b>1，所以b＝3. 所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0. 16.(12分)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是 (1)求a的值；(4分) (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.(8分) 解　(1)l2的方程即为2x－y－＝0， ∴l1和l2的距离d＝， ∴∵a>0，∴a＝3. (2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l'：2x－y＋c＝0上， 且×， 即c＝或c＝ ∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得 ·， ∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0. ∵点P在第一象限，∴3x0＋2＝0不符合题意. 联立方程 解得x0＝－3，y0＝，应舍去. 联立 解得x0＝，y0＝ ∴P即为同时满足三个条件的点. 学科网（北京）股份有限公司 $