第1章 1.3 第1课时 两条直线平行（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“两条直线平行”核心知识点，系统梳理斜率存在时k₁=k₂且b₁≠b₂、斜率不存在时均垂直x轴且截距不等的判定条件，构建“倾斜角关系推导—平行判定—方程求解—参数应用”的学习支架，衔接直线倾斜角与后续垂直内容。 以过山车轨道为情境导入，用数学眼光观察现实平行现象，通过问题链引导推理培养数学思维，例题涵盖不同条件下的判定与方程求解，用数学语言精准表达关系。课中助力教师分层教学，课后通过对点练帮助学生巩固，查漏补缺。

第1课时　两条直线平行 学习目标　1.理解并掌握两条直线平行的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行.3.运用两直线平行时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题. 导语 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，你能感受到过山车中的平行吗？两条直线的平行用什么来刻画呢？ 一、两条直线平行的判定 问题　平面中的两条平行直线被x轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示　两直线平行，倾斜角相等. 知识梳理　两条直线l1，l2平行的等价条件： (1)当两条直线l1，l2斜率均存在时，方程分别为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2. (2)当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1∥l2⇔它们都与x轴垂直，且在x轴上的截距不相等. 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合. (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在. 例1　(课本例2)判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)l1：y＝2x＋1，l2：y＝2x－1； (2)l1：2x－y－7＝0，l2：x＋2y－1＝0. 解　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. (1)由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝2， 所以k1＝k2. 又直线l1，l2在y轴上的截距分别为1和－1，所以l1与l2不重合， 从而l1∥l2. (2)由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝－， 所以k1≠k2，从而l1与l2不平行. 例1　判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(－1，3)，N(2，0)； (4)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)，N(5，5). 解　(1)k1＝＝1，k2＝，k1≠k2，故l1与l2不平行. (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2， 故l1∥l2或l1与l2重合. (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1， k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1， 则A，B，M不共线，故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故l1∥l2. 反思感悟　判断两条直线是否平行的步骤 跟踪训练1　(1)已知直线l1经过点A(0，3)，B(5，3)，直线l2经过点M(2，5)，N(6，5)，判断直线l1与l2是否平行. 解　∵l1与l2都与y轴垂直，且l1与l2不重合， ∴l1∥l2. (2)(多选)若A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，则下面结论中正确的是(　　) A.AB∥CD B.AD∥BC C.AC∥BD D.四边形ABCD为平行四边形 答案　ABD 解析　kAB＝＝－，kCD＝＝－，且C不在直线AB上，∴AB∥CD，故A正确； kAD＝，kBC＝，∴AD∥BC，故B，D正确，C错误. 二、求与已知直线平行的直线方程 例2　(课本例3)求过点A(2，－3)，且与直线2x＋y－5＝0平行的直线的方程. 解　已知直线的斜率是－2，因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率也是－2. 根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为 y＋3＝－2(x－2)， 即2x＋y－1＝0. 例2　求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1，2)的直线l的方程. 解　方法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线3x＋4y＋1＝0平行， ∴k＝－， 又∵直线l经过点(1，2)， ∴所求直线的方程为y－2＝－(x－1)， 即3x＋4y－11＝0. 方法二　设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠1). ∵直线l经过点(1，2)， ∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11， ∴所求直线的方程为3x＋4y－11＝0. 反思感悟　(1)与已知直线平行的直线方程的求法可以求点斜式方程，也可以先设成一般式，用待定系数法求方程. (2)与直线Ax＋By＋C1＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C2＝0，其中A，B不全为0，C1≠C2. 跟踪训练2　已知A(0，－2)，B(3，1)，C(－2，2)三点，直线l过点B且与直线AC平行，求直线l的方程. 解　由题意可知kAC＝＝－2， 则kl＝－2， 又直线l过点B， ∴直线l的方程为y－1＝－2(x－3)， 即2x＋y－7＝0. 三、直线平行的应用 例3　已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合. 解　∵直线l1：x＋my＋6＝0， 直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， ∴A1＝1，B1＝m，C1＝6， A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m. (1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0， 即1×3－m(m－2)≠0， 即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0， 即m≠3，且m≠－1. 故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交. (2)若l1∥l2，则有 即 即 即 ∴m＝－1. 故当m＝－1时，直线l1与l2平行. (3)若l1与l2重合，则有 即 ∴∴m＝3. 故当m＝3时，直线l1与l2重合. 反思感悟　已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2⇔或 跟踪训练3　已知直线l经过点P(3，－3)，在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0. (1)求直线l的一般式方程； (2)若直线l'：m2x＋(2m－3)y－3m－3＝0与直线l平行，求m的值. 解　(1)由题意设直线l的方程为＝1(a≠0)， 将点P(3，－3)代入得＝1，解得a＝6， ∴直线l的方程为＝1， ∴直线l的一般式方程为x－y－6＝0. (2)若直线l'：m2x＋(2m－3)y－3m－3＝0与直线l平行，则m2×(－1)－1×(2m－3)＝0，∴m＝－3或m＝1， 当m＝－3时，直线l'：x－y＋＝0，满足题意； 当m＝1时，直线l'：x－y－6＝0与直线l重合，不满足题意， 综上所述，m＝－3. 1.知识清单： (1)两直线平行的条件. (2)由两直线平行求参数值. (3)求与已知直线平行的直线方程. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：研究两直线平行关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 1.已知直线l1的倾斜角为30°，又l1∥l2，则直线l2的斜率为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　C 解析　因为l1∥l2，所以＝tan 30°＝. 2.直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是(　　) A.1 B.－2 C.1或－2 D.－1或2 答案　B 解析　由已知，得a(a＋1)－2＝0，解得a＝－2或a＝1.当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2. 3.已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　) A.－8 B.0 C.2 D.10 答案　A 解析　由已知，得＝－2，∴m＝－8. 4.已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为　　　　.  答案　±2 解析　由题意知m2－3＝tan 45°，解得m＝±2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.(多选)若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列选项中正确的是(　　) A.若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B.若k1＝k2，则l1∥l2 C.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 D.若α1＝α2，则l1∥l2 答案　AC 2.过点A(2，5)和点B(－4，5)的直线与直线y＝3的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对 答案　B 解析　斜率都为0且不重合，所以平行. 3.已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3，2)和点B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为(　　) A.0 B.1 C.6 D.0或6 答案　C 解析　由直线l的倾斜角为， 得直线l的斜率为－1， 因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1. 又直线l1经过点A(3，2)和点B(a，－1)， 所以l1的斜率为，故＝－1，解得a＝6. 4.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1∥l2，则m等于(　　) A.2 B.－2 C.0 D.1 答案　A 解析　若l1∥l2，则k1＝k2，即关于k的一元二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根， ∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2. 5.已知直线l1：x－ay＋1＝0，l2：(a－1)x－12y－4＝0，则“a＝4”是“l1∥l2”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　C 解析　由l1∥l2可知(a－1)(－a)＝－12，解得a＝4或a＝－3， 当a＝4时，l1：x－4y＋1＝0，l2：3x－12y－4＝0，l1∥l2成立， 当a＝－3时，l1：x＋3y＋1＝0，l2：－4x－12y－4＝0，即x＋3y＋1＝0，l1与l2重合， 所以若l1∥l2则a＝4， 所以“a＝4”是“l1∥l2”的充要条件. 6.已知直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，若l∥y轴，但不重合，则下列结论正确的是(　　) A.a≠1，b≠2，c≠0 B.a≠1，b＝－2，c≠0 C.a＝1，b≠－2，c≠0 D.a≠1，b≠－2，c≠0 答案　B 解析　∵直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，l∥y轴，但不重合，∴ 解得a≠1，b＝－2，c≠0. 7.(5分)直线l1的斜率k1＝，直线l2经过A(1，2)，B(a－1，3)两点，若l1∥l2，则a的值为　　　　.  答案　 解析　直线l2的斜率k2＝， ∵l1∥l2， ∴k1＝k2， ∴， ∴a＝. 8.(5分)直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为　　　　　　　.  答案　0或－1 解析　因为两直线无公共点，所以两直线平行.当a＝0时，这两条直线分别为x＋6＝0和x＝0，无公共点；当a≠0时，由－＝－，解得a＝3或a＝－1.若a＝3，这两条直线均为x＋9y＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；若a＝－1，这两条直线分别为x＋y＋6＝0和3x＋3y＋2＝0，两直线平行，无公共点. 综上，a＝0或a＝－1. 9.(9分)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行. (1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(4分) (2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3，2)，N(－2，－3).(5分) 解　(1)由题意知k1＝＝－， k2＝＝－. 因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2. (2)由题意知k1＝tan 60°＝， k2＝. 所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合. 10.(10分)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.若l1与l2平行，求a的值. 解　方法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时， 两直线可化为l1：y＝－x－3， l2：y＝x－(a＋1)， l1∥l2⇔ 解得a＝－1， 综上可知，当a＝－1时，l1∥l2. 方法二　由A1B2－A2B1＝0， 得a(a－1)－1×2＝0， 由A1C2－A2C1≠0， 得a(a2－1)－1×6≠0， 所以l1∥l2⇔ 解得a＝－1， 故当a＝－1时，l1∥l2. 11.(多选)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 答案　CD 解析　由两直线平行得，当k－3＝0，即k＝3时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝，显然两直线平行.当k－3≠0，即k≠3时，由≠，解得k＝5.综上，k的值是3或5. 12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)三点为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A.(－3，1) B.(4，1) C.(－2，1) D.(2，－1) 答案　A 解析　如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A. 13.(多选)若三条直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，l3：2x＋ay＋a－2＝0有2个公共点，则实数a的值可以为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案　BD 解析　由题意可得，三条直线中有两条直线相互平行，又l1，l2不平行，则l1，l3平行或l2，l3平行， 若l1，l3平行，则≠，解得a＝－1，若l2，l3平行，则≠，解得a＝2， 故a＝－1或a＝2. 14.(5分)已知两条直线的斜率分别为和－，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为　　　　.  答案　 解析　因为两条直线互相平行，所以＝－，所以a＝－b4＋b2＝－≤，当且仅当b2＝时取等号，故实数a的最大值为. 15.(多选)在平面直角坐标系中，设M(x1，y1)，N(x2，y2)为不同的两点，直线l的方程为ax＋by＋c＝0，设δ＝，其中a，b，c均为实数，且a，b不全为0.则下列结论正确的是(　　) A.存在实数δ，使点N在直线l上 B.若δ＝1，则过M，N两点的直线与直线l重合 C.若δ＝－1，则直线l经过线段MN的中点 D.若δ>1，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交 答案　CD 解析　若点N在直线l上，则ax2＋by2＋c＝0， ∴不存在实数δ，使点N在直线l上，故A错误； 若δ＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c， 当b≠0时，即＝－， ∴kMN＝kl； 当b＝0，a≠0时，x1＝x2， 又由A知过M，N两点的直线与直线l不重合， 则过M，N两点的直线与直线l平行， 故B错误； 若δ＝－1，则ax1＋by1＋c＋ax2＋by2＋c＝0， 即a＋b＋c＝0， ∴直线l经过线段MN的中点，故C正确； 若δ>1，则ax1＋by1＋c>ax2＋by2＋c>0， 或ax1＋by1＋c<ax2＋by2＋c<0， 即点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段MN不平行，故D正确. 16.(12分)已知集合A＝，集合B＝{(x，y)|ax－y－2＝0}，当a取何值时，A∩B＝∅？ 解　由＝2可得2x－y－1＝0(x≠2)， 故A＝{(x，y)|2x－y－1＝0，x≠2}， 故集合A表示的是直线2x－y－1＝0上除点(2，3)外的点构成的集合. ①当直线ax－y－2＝0与直线2x－y－1＝0平行时，满足A∩B＝∅，此时a＝2； ②当直线ax－y－2＝0过点(2，3)时，满足A∩B＝∅，则2a－5＝0，解得a＝. 综上所述，a＝2或a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $