第一章 直线与方程重难点检测卷 -2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第一章 直线与方程重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二上·河北邢台·期中）直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 5．（2022·安徽合肥·二模）已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 6．（2024高三·全国·专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知两平行直线分别过点和，并且各自绕点A，B旋转，但始终保持平行，则平行直线间的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高二上·江苏连云港·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．点关于直线的对称点为 D．过，两点的直线方程为 10．（24-25高二上·山东·期中）设直线：，：的交点为，则（   ） A．恒过定点 B． C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为5 11．（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线，若直线不能围成三角形，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D．－1 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，则的最小值为 . 13．（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 14．（24-25高二上·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为 . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知直线的方程为． (1)若直线与直线平行，求实数的值； (2)若直线不经过第二象限，求实数的范围． 16．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 17．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程 . 18．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线过点，点到直线的距离为，直线与直线关于点对称. (1)求直线的方程； (2)记原点为，直线上有一动点，则当最小时，求点的坐标. 19．（24-25高二·江苏·假期作业）已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． (1)求直线的方程； (2)求直线：关于直线的对称直线的方程． 条件①：点关于直线的对称点的坐标为； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直； 条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直线与方程重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解． 【详解】∵，，， 则，， 直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 故选：A． 2．（24-25高二上·河北邢台·期中）直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程确定直线的斜率，由三角恒等变换即可得斜率取值范围，从而可得倾斜角的取值范围. 【详解】由直线方程可得， 由于倾斜角为，则直线的斜率， 故. 故选：B． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立方程组求出交点坐标，利用直线垂直的性质得到斜率，代入坐标求解方程即可. 【详解】根据题意，联立直线的方程解得 则直线的交点坐标是， 设与直线垂直的直线方程为， 代入点，解得，故所求直线方程为，故A正确. 故选：A 4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 【答案】A 【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解. 【详解】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形， 所以， 故选：A 5．（2022·安徽合肥·二模）已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】先求定点，然后判断两个直线的位置关系，然后计算面积，利用基本不等式判断即可. 【详解】由题可知，,直线， 所以,， 所以， 所以的面积为， 当且仅当时等号成立. 故选：C 6．（2024高三·全国·专题练习）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角形. 【详解】三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点. 若∥，则；若∥，则； 若∥，则的值不存在； 若三条直线相交于同一点， 直线和联立：，直线和交点为; 直线和联立：，直线和交点为; 三条直线相交于同一点两点重合或. 故实数的取值最多有个. 故选:C 7．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）已知两平行直线分别过点和，并且各自绕点A，B旋转，但始终保持平行，则平行直线间的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线之间距离介于两直线重合和两直线与直线垂直这两种情况之间，故求出两种临界情况即可得到两直线之间的距离的取值范围. 【详解】当两直线都与垂直时，它们之间的距离达到最大， 此时， 当两直线重合时其距离为0. 所以． 故选：B. 8．（23-24高二上·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】先将问题转化为动点到定点距离的和，再利用数形结合求解即可． 【详解】解：设，则表示：， ，则直线的方程为，令，则， 所以直线与轴相交于点， 所以， 所以，当点P为时，等号成立，故的最小值为9. 故选：B.    二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高二上·江苏连云港·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．点关于直线的对称点为 D．过，两点的直线方程为 【答案】AC 【分析】选项A，分别令和，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；选项B，特殊情况不成立；选项C，求出对称点坐标即可判断；选项D，利用两点式的前提条件可判断. 【详解】A，令得，令得， 则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，故A正确； B，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线还有过原点的直线，故B错误； C，设关于直线对称点坐标为， 则，解得，故C正确； D，两点式使用的前提是，故D错误； 故选：AC. 10．（24-25高二上·山东·期中）设直线：，：的交点为，则（   ） A．恒过定点 B． C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为5 【答案】ABD 【分析】由直线过定点即可判断A，由两直线垂直列出方程即可判断B，联立两直线方程求出交点坐标，代入计算即可判断C，结合题意可知点到直线的距离的最大值即为点到定点的距离，即可判断D. 【详解】对于A：因为直线，即， 令，解得，所以恒过定点，故A正确； 对于B：因为直线：，：满足， 所以，故B正确； 对于C：联立两直线方程，解得， 所以， 则 ， 令，则，所以， 且在上单调递增，当时，， 所以，故C错误； 对于D：由A可知，直线恒过定点， 则点到直线的距离的最大值即为点到定点的距离， 即，故D正确； 故选：ABD 11．（24-25高二上·全国·单元测试）已知直线，若直线不能围成三角形，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D．－1 【答案】BCD 【分析】由题可得三直线交于一点，或与平行，或与平行，据此可得答案. 【详解】当三直线交于一点时，满足题意.由,解得， 所以的交点坐标为，经过点时，； 当与平行时，满足题意，则且，解得； 当与平行时，满足题意，则，解得．故的值为． 故选：BCD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解. 【详解】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【答案】 【分析】折痕为点与点的中垂线，得方程，再根据点与原点对称可得答案. 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 14．（24-25高二上·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为 . 【答案】 【分析】设点关于的对称点的坐标为，根据两点关于直线对称求出点的坐标，数形结合可知当、、三点共线时，取最大值，即可得解. 【详解】设点关于的对称点的坐标为，连接，    则，即，所以①． 因为的中点在直线上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 又， 当且仅当、、三点共线时，取最大值. 故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知直线的方程为． (1)若直线与直线平行，求实数的值； (2)若直线不经过第二象限，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （2）对直线的位置进行分类讨论，结合已知条件可得出关于实数的等式与不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：已知直线的方程为， 因为直线与直线平行，则， 解得. （2）解：因为直线不经过第二象限，分以下四种情况讨论： ①当时，解得或， 当时，直线的方程为，合乎题意， 当时，直线的方程为，不合乎题意； ②当时，解得或， 当时，直线的方程为，合乎题意， 当时，直线的方程为，不合乎题意； ③当直线过原点时，则有，解得， 此时，直线的方程可化为，合乎题意； ④当直线与、轴都相交且不过原点时， 在直线的方程中，令，可得， 在直线的方程中，令，可得， 由题意可得，解得或. 综上所述，实数的取值范围是. 16．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据两点间距离公式求出,,的长度，可得，即证△为直角三角形； （2）边上的中线长为，求出中点的坐标，再根据点斜式求出边上的中线所在的直线方程. 【详解】（1）由已知条件得， ,, 则, 所以△为直角三角形； （2）设的中点坐标为，则边上的中线, 由中点坐标公式可得，，即的坐标为， 直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 17．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据垂直关系得到边上的高所在直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可； （2）分斜率存在和斜率不存在两种情况考虑即可. 【详解】（1）由可得， 故边上的高所在直线的斜率为，直线又经过点， 故方程为，即. （2）当直线斜率不存在时，此时直线为，到直线的距离分别为4和2，不符合题意，. 当直线斜率存在时，设直线方程为，即 此时到直线的距离相等，则， 化简得，解得或， 故直线方程为或， 即或. 18．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）直线过点，点到直线的距离为，直线与直线关于点对称. (1)求直线的方程； (2)记原点为，直线上有一动点，则当最小时，求点的坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】 （1）由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为，然后由点到直线的距离为，列方程可求出的值，再求出点关于点对称，再在直线上任取一点，求出其关于点的对称点，从而可求出直线的方程； （2）设原点为关于直线的对称点为，则，当三点共线时取等号，然后求出直线的方程，联立直线的方程与直线的方程可求出点的坐标. 【详解】（1）由题意设直线的斜率存在，设直线的方程为， 因为点到直线的距离为， 所以， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 当时，， 则直线与轴交于点， 点，关于点的对称轴分别为， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， （2）设原点为关于直线的对称点为，则， 所以， 所以当三点共线时取等号， 设，则，解得，即， 所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，即. 19．（24-25高二·江苏·假期作业）已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答． (1)求直线的方程； (2)求直线：关于直线的对称直线的方程． 条件①：点关于直线的对称点的坐标为； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直； 条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算直线的斜率，根据直线的平行或垂直关系得到斜率，代入点得到直线方程. （2）计算直线的交点，在直线上取一点，求其关于对称的点，根据交点和对称点得到直线方程. 【详解】（1）选择条件： 因为点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线． 因为，所以直线的斜率为，又线段的中点坐标为， 所以直线的方程为，即． 选择条件： 因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即． 选择条件， 因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即． （2），解得，故，的交点坐标为， 因为在直线：上，设关于对称的点为， 则，解得， 直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即， 所以：关于直线的对称直线的方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $$