1.5 培优课　对称问题 同步练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦对称问题，分层设计从基础概念到综合应用，梯度合理，适配新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|点/直线关于点/直线对称的单一关系|选择题（1-7）巩固对称概念，如点关于点对称（题1）、点关于直线对称（题2），培养几何直观| |技能应用|对称性质的综合应用|填空题（8-11）强化转化能力，如直线关于直线对称（题8）、对称距离最值（题10），发展运算能力| |综合拓展|实际情境中的对称问题|解答题（12-13）整合多步推理，如三角形周长最小（题12）、光线反射（题13），提升应用意识与逻辑推理|

培优课　对称问题 1.已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），则点P（x，y）到原点的距离是（　　） A.2　　 B.4 C.5　　 D. 2.点P（2，5）关于x＋y＋1＝0的对称点的坐标为（　　） A.（6，3）　　 B.（3，－6） C.（－6，－3）　　 D.（－6，3） 3.直线2x＋3y－6＝0关于点（1，－1）对称的直线方程是（　　） A.3x－2y－6＝0　　 B.2x＋3y＋7＝0 C.3x－2y－12＝0　　 D.2x＋3y＋8＝0 4.两直线l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为（　　） A.3x－2y＋24＝0　　 B.3x－2y－10＝0 C.3x－2y－20＝0　　 D.3x－2y＋22＝0 5.如图所示，已知点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（　　） A.2　　 B.6 C.3　　 D.2 6.已知点A（－3，5），B（3，1），在直线l：y＝x上求一点P，使｜PA－PB｜的值最大，则P点的坐标为（　　） A.（0，0）　　 B.（，） C.（，）　　 D.（7，7） 7.（多选）已知直线l：y＝x，点A（0，－1），则（　　） A.过点A与l平行的直线的方程为y＝x－1 B.点A关于l对称的点的坐标为（0，1） C.点A到直线l的距离为 D.过点A与l垂直的直线的方程为y＝－x－1 8.已知直线l：3x＋2y－1＝0与直线l1关于直线x＋y＝0对称，则l1的方程为　　　　. 9.已知入射光线经过点M（－3，4），被直线l：x－3＝0反射，反射光线经过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程为　　　　. 10.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离.结合上述观点，可得f（x）＝＋的最小值为　　　　. 11.若函数y＝的图象上存在两点P，Q关于点（1，0）对称，则直线PQ的方程是　　　　. 12.已知点M（3，5），在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小，并求出P和Q两点的坐标. 13.已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A（1，2）处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. （1）试判断由此得到的△ABC的个数； （2）求直线BC的方程. 培优课　对称问题 1.D　由题可知：⇒ 所以点P（x，y）到原点的距离是.故选D. 2.C　设点P（2，5）关于直线x＋y＋1＝0的对称点为Q（a，b），则解得因此，点P（2，5）关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为（－6，－3）.故选C. 3.D　首先在所求直线上取点（x，y），则点（x，y）关于点（1，－1）对称的点的坐标为（2－x，－2－y），代入直线2x＋3y－6＝0，可得2（2－x）＋3（－2－y）－6＝0，整理得2x＋3y＋8＝0，故选D. 4.D　设所求直线方程为3x－2y＋c＝0（c≠－6，c≠8），由题意可知，所求直线到直线l2的距离等于直线l1，l2间的距离，∴＝.解得c＝22或c＝－6（舍去），∴所求直线的方程为3x－2y＋22＝0.故选D. 5.A　由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D（4，2），关于y轴的对称点为C（－2，0），连接MD，NC，易知PM＝MD，PN＝NC，所以PM＋MN＋NP＝MD＋MN＋NC＝CD，故光线所经过的路程为CD＝2. 6.B　如图，设点B关于直线l的对称点B'的坐标为（a，b），连接BB'，则kBB'·kl＝－1，即＝－1，得a＋b－4＝0，①.又由BB'的中点（，）在直线l上，所以＝，即a－b＋2＝0，②.由①②解得所以B'（1，3），于是AB'所在直线方程为＝，即x＋2y－7＝0，易知｜PA－PB｜＝｜PA－PB'｜，当且仅当P，B'，A三点共线时｜PA－PB'｜最大，即由得其交点坐标为（，），故P点坐标为（，）.故选B. 7.ACD　与直线y＝x平行的直线方程可设为y＝x＋m，代入点A（0，－1）得－1＝0＋m，即m＝－1，即平行线方程为y＝x－1，A正确；点A关于l的对称点坐标为（－1，0），B错；点A到直线l的距离为d＝＝，C正确；与直线l垂直的直线方程可设为y＝－x＋n，代入A点坐标得－1＝0＋n，n＝－1，即直线方程为y＝－x－1，D正确.故选A、C、D. 8.2x＋3y＋1＝0　解析：x＋y＝0与l：3x＋2y－1＝0不平行，故l1经过x＋y＝0与l：3x＋2y－1＝0的交点，联立解得即（1，－1）在l1上，取l：3x＋2y－1＝0上另一点（3，－4），设（3，－4）关于直线x＋y＝0的对称点为（m，n），则有解得l1过两点（1，－1）和（4，－3），故方程为＝，即2x＋3y＋1＝0. 9.2x＋7y－46＝0　解析：由题意可知，反射光线经过点M（－3，4）关于直线l的对称点P（9，4），如图所示.直线PN的方程即为反射光线所在的直线方程，又N（2，6），P（9，4）可得kPN＝＝－，根据直线的点斜式方程可得，反射光线所在直线方程为y－6＝－（x－2），整理得2x＋7y－46＝0，即反射光线所在直线的方程为2x＋7y－46＝0. 10.5　解析：∵f（x）＝＋＝＋，∴f（x）的几何意义为点M（x，0）到两定点A（－2，4）与B（－1，3）的距离之和，设点A（－2，4）关于x轴的对称点为A'，则A'（－2，－4）.要求f（x）的最小值，可转化为求MA＋MB的最小值，利用对称思想可知MA＋MB≥A'B＝＝5，即f（x）＝＋的最小值为5. 11.x－4y－1＝0　解析：根据题意，设P（p，），Q（q，），因为线段PQ的中点是（1，0），所以整理得所以p，q为方程x2－2x－1＝0的根，解得x＝1±，所以P（1＋，），Q（1－，－）或P（1－，－），Q（1＋，）.由两点式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0. 12.解：由题可得，设点M（3，5）关于直线l的对称点为M1（a，b）， 则 解得即M1（5，1）， 点M（3，5）关于y轴的对称点为M2（－3，5）， 则直线M1M2的方程为＝，即x＋2y－7＝0. 当P，Q分别为直线M1M2与直线l，y轴的交点时，△MPQ的周长最小. 令x＝0，得到直线M1M2与y轴的交点Q（0，）. 由解得 所以直线M1M2与直线l的交点为P（，）. 故点P（，），Q（0，）即为所求. 13.解：（1）如图，设B（m，0），点A关于x轴的对称点为A'（1，－2），点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B'（－3，m＋3）. 根据光学知识，直线AB'与直线BC关于直线l对称，点C在直线A'B上，点C又在直线B'A上，又直线A'B的方程为y＝（x－m）， 由得x＝. 又直线AB'的方程为y－2＝·（x－1）， 由得x＝. 所以＝，即3m2＋8m－3＝0， 解得m＝或－3. 当m＝时，符合题意； 当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形. 综上，符合题意的△ABC只有1个. （2）由（1）得m＝，则直线A'B的方程为3x＋y－1＝0， 即直线BC的方程为3x＋y－1＝0. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $