1.5 平面上的距离【10大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

1.5 平面上的距离 【考点归纳】 · 考点一：两点间的距离公式应用 · 考点二：由两点距离求坐标问题 · 考点三：两点间的距离公式求函数最值问题 · 考点四：点到直线的距离问题 · 考点五：两条平行直线间的距离 · 考点六：点关于直线的对称问题 · 考点七：光线反射问题 · 考点八：直线关于直线对称问题 · 考点九：直线关于点对称问题 · 考点十：平面距离的综合问题 【知识梳理】 知识点一：两点间的距离公式 （1）点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ (2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 知识点二：两条平行直线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长 图示 公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 【题型探究】 题型一：两点间的距离公式应用 1．（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 2．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 3．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 题型二：由两点距离求坐标问题 4．（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（20-21高二上·广东佛山·期中）已知点，在轴上有一点，且，则点的坐标为 ． 6．（2023高三·全国·专题练习）写出一个同时满足下列条件①②的点的坐标 . ①该点的横、纵坐标均为正整数； ②该点到点的距离比到点的距离大4. 题型三：两点间的距离公式求函数最值问题 7．（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 题型四：点到直线的距离问题 10．（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 11．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 12．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知，两点到直线的距离相等，则的值为（    ） A．或 B．3或4 C．3 D．4 题型五：两条平行直线间的距离 13．（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 15．（21-22高二上·河北衡水·期末）若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（    ） A．或11 B．或10 C．或12 D．或11 题型六：点关于直线的对称问题 16．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高二上·北京·期中）已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 18．（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型七：光线反射问题 19．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·浙江·期中）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（    ） A． B．6 C． D． 21．（21-22高二上·广东湛江·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 题型八：直线关于直线对称问题 22．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型九：直线关于点对称问题 25．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 26．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 27．（21-22高二·全国·单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（    ） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0D．2x＋3y＋6＝0 题型十：平面距离的综合问题 28．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知直线：，：，其中为实数. (1)当时，求直线，之间的距离； (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 29．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 30．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 【高分演练】 一、单选题 31．（23-24高二上·新疆昌吉）两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 32．（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 33．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 34．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 36．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二上·江苏·单元测试）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为(　 ) A． B． C．3 D． 二、多选题 38．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线，直线，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点 39．（23-24高二上·山东济南·期末）一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（    ） A．直线AB的斜率是 B． C． D． 40．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）对于直线和直线，以下说法正确的有（    ） A．直线一定过定点 B．若，则 C．的充要条件是 D．点到直线的距离的最大值为5 42．（23-24高二上·浙江宁波·期中）以下四个命题正确的有（    ） A．直线与直线的距离为 B．直线l过定点，点和到直线l距离相等，则直线l的方程为 C．点到直线的距离为 D．已知，则“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 三、填空题 43．（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 44．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 45．（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 46．（23-24高二上·全国·课后作业）已知光线从点入射，经过直线反射，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 . 四、解答题 47．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 48．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知两条直线，求分别满足下列条件的的值： (1)直线过点，并且直线与直线垂直； (2)直线与直线平行，并且坐标原点到的距离相等． 49．（23-24高二上·全国·单元测试）已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．条件①：点关于直线的对称点的坐标为；条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (1)求直线的方程； (2)求直线：关于直线的对称直线的方程． 50．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 51．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点，在直线上反射，且反射光线经过点，求： (1)入射光线与直线l的交点． (2)入射光线与反射光线所在直线的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 平面上的距离 【考点归纳】 · 考点一：两点间的距离公式应用 · 考点二：由两点距离求坐标问题 · 考点三：两点间的距离公式求函数最值问题 · 考点四：点到直线的距离问题 · 考点五：两条平行直线间的距离 · 考点六：点关于直线的对称问题 · 考点七：光线反射问题 · 考点八：直线关于直线对称问题 · 考点九：直线关于点对称问题 · 考点十：平面距离的综合问题 【知识梳理】 知识点一：两点间的距离公式 （1）点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ (2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 知识点二：两条平行直线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长 图示 公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 【题型探究】 题型一：两点间的距离公式应用 1．（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【分析】由中点坐标公式求得，应用两点间的距离公式求的长. 【详解】由题设，则. 故选：B 2．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 3．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倾斜角求出，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，， 解得，故， 则两点间的距离为. 故选：C 题型二：由两点距离求坐标问题 4．（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出的交点坐标，然后根据点到点的距离公式求解出结果. 【详解】因为，所以，所以交点坐标为， 所以原点到交点的距离为， 故选：C. 5．（20-21高二上·广东佛山·期中）已知点，在轴上有一点，且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】设点的坐标为，根据两点间距离公式列方程求出的值即可得点的坐标. 【详解】设轴上的点的坐标为， 因为点，所以， 解得:或， 所以点的坐标为或， 故答案为：或. 6．（2023高三·全国·专题练习）写出一个同时满足下列条件①②的点的坐标 . ①该点的横、纵坐标均为正整数； ②该点到点的距离比到点的距离大4. 【答案】（答案不唯一，或任写一个即可） 【分析】 设该点为，由已知条件根据两点距离公式列式并化简计算得，再由，，从而得答案. 【详解】设该点为，则， 即， 即，即 且，化简计算得. 又，，所以该点为或. 故答案为：（答案不唯一，或任写一个即可） 题型三：两点间的距离公式求函数最值问题 7．（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，分析的几何意义，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】由题意知， ， 设， 则的几何意义为的值， 如图，作点关于x轴的对称点，连接， 与x轴的交点即为所求点P，此时取得最小值，为. 而， 即的最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 8．（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【详解】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 9．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】设，换元后所求式子为，转化为求动点与两定点距离和的最小值即可得解. 【详解】设，则， 所以 ， 而可看做轴上动点与两定点的距离和，如图，    由图可知当运动到时，最小，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 题型四：点到直线的距离问题 10．（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解. 【详解】点到直线的距离. 故选：D 11．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 12．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知，两点到直线的距离相等，则的值为（    ） A．或 B．3或4 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知， ，整理得， 即，解得或. 故选：A. 题型五：两条平行直线间的距离 13．（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】直线化为：， 所以平行直线与间的距离为. 故选：D 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线间方程的特征，结合平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】因为和互相平行， 所以，解得. 直线可以转化为， 由两条平行直线间的距离公式可得. 故选：D 15．（21-22高二上·河北衡水·期末）若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（    ） A．或11 B．或10 C．或12 D．或11 【答案】A 【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】因为两条平行线与之间的距离是2， 所以，或， 故选：A 题型六：点关于直线的对称问题 16．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点. 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 17．（22-23高二上·北京·期中）已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 【答案】B 【分析】根据与关于直线对称，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3    ，故C正确； 对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确. 故选：B. 18．（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，结合直线的垂直关系以及中点问题列出方程组，即可求得答案. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为， 故选：B 题型七：光线反射问题 19．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故选：B． 20．（23-24高二上·浙江·期中）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用点关于直线的对称点的求法，以及数形结合，即可求解. 【详解】直线的方程为，设点关于的对称点为， 则，得，即 点关于轴的对称点为，    由题意可知，如图，点都在光线上，并且利用对称性可知，，， 所以光线经过的路程. 故选：C 21．（21-22高二上·广东湛江·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意利用反射定律，可得反射光线所在直线经过点，点，再用两点式求得反射光线QP′所在的直线方程． 【详解】由题意可得反射光线所在直线经过点， 设点关于x轴的对称点为， 则根据反射定律，点在反射光线所在直线上， 故反射光线所在直线的方程为 ，即， 故选：A． 题型八：直线关于直线对称问题 22．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 23．（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案. 【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 24．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两直线的交点，再在直线取点，并求其关于直线的对称点，由两点即可求出结果. 【详解】联立直线和的方程，得到，故直线和的交点为， 在上取一点，设它关于直线的对称点为， 则有，整理得，解得，即， 由，，可得所求直线方程为，即， 故选：C. 题型九：直线关于点对称问题 25．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 26．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，解得：， 所以，设直线关于点的对称直线方程为：， 则到直线与的距离相等， 所以，解得：，即（舍去）或. 故直线关于点的对称直线方程为：. 故选：D. 27．（21-22高二·全国·单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（    ） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 【答案】B 【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得， 由，得，∴M（－3，1）． 设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为， ∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去）， ∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0． 故选：B． 题型十：平面距离的综合问题 28．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知直线：，：，其中为实数. (1)当时，求直线，之间的距离； (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【详解】（1）由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； （2）当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 29．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 30．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 【答案】(1)； (2)存在最大值； 【分析】（1）求出直线AC的斜率，根据即可求出倾斜角，由直线点斜式方程即可求出直线的方程； （2）根据直线只含一个参数，可以将其方程以参数进行整理，然后运用恒等式，求出定直线及交点，点到直线的距离为，则，再探究是否存在最大值. 【详解】（1）因为，所以， 所以直线的倾斜角为， 因为，所以， 所以直线的方程为：，化简得：. （2）将直线变形可得：， 对于取任何实数时，此方程恒成立，则 得， 即直线恒过两直线及的交点， 由图象可知，对于任何一条过点的直线，点到它的距离不超过，即．      又因为过点且垂直于的直线方程是， 但无论时，直线表示为， 此时距离最大．所以，存在最大值． 【点睛】本题考查了定点到动直线的距离的最大值问题，求出直线恒过的定点是解决问题的关键，还考查了数形形合思想，还要注意检验取得最值的条件. 【高分演练】 一、单选题 31．（23-24高二上·新疆昌吉）两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】直线可化为， 直线可化为， 所以两平行直线之间的距离为. 故选：A. 32．（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】求出点坐标，且直线过定点，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，利用两点间的距离公式计算可得答案. 【详解】由得，即， 直线：，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大， 且最大值为. 故选：B. 33．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 34．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行可求，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项. 【详解】因为，所以，故，故. 故之间的距离为， 故选：D. 35．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】求得关于轴的对称点，根据三点共线时取到最小值，进一步计算即可求解 【详解】如图所示， 关于轴的对称点为, 则, 当三点共线时等号成立， 又, 故的最小值为5, 故选：B. 36．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点坐标，利用点到直线的距离公式可得，再根据的范围可得答案. 【详解】由，解得， 可得， 则到直线的距离， 因为，所以，所以. 故选：C. 37．（23-24高二上·江苏·单元测试）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为(　 ) A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】当，直接求解出到直线的距离，当时，先求解出点坐标，然后表示出到直线的距离，结合基本不等式求解出距离的最大值，由此可知结果. 【详解】当时，，所以交点，所以； 当时，由解得，所以， 所以到的距离， 若，则，当且仅当时取等号， 若，则，当且仅当时取等号， 所以，所以， 所以，所以的最大值为， 综上可知，点P到直线的距离的最大值为， 故选：D. 二、多选题 38．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线，直线，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点 【答案】BC 【分析】通过的取值结合选项验证可得A,B,C的正误，利用求直线过定点的方法可得D的正误. 【详解】对于A，时，，显然与不垂直，A不正确； 对于B，时，，因为，所以，B正确； 对于C，当时，且，解得， 此时，与之间的距离为，C正确； 对于D，，令，解得， 所以直线过定点，D不正确. 故选：BC. 39．（23-24高二上·山东济南·期末）一条光线从点射出，射向点，经x轴反射后过点，则下列结论正确的是（    ） A．直线AB的斜率是 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】选项A应用斜率公式计算即可；选项B，先求得点关于轴的对称点，进而求得反射光线所在直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项C，求得反射光线所在直线的方程，进而求得点的坐标；选项D应用两点间距离公式求解即可. 【详解】对于A，由于、，由斜率公式得：，选项A正确； 对于B，点关于轴的对称点的坐标为，经x轴反射后直线的斜率为： ，且，所以，选项B正确； 对于C，直线即直线的方程为：，即， 将代入得：，所以点，，选项C不正确； 对于D，由两点间距离公式得：，选项D正确； 故选：ABD. 40．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】当直线的斜率不存在时不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由已知得， 所以或， 所以直线的方程为或. 故选：AC. 41．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）对于直线和直线，以下说法正确的有（    ） A．直线一定过定点 B．若，则 C．的充要条件是 D．点到直线的距离的最大值为5 【答案】ABD 【分析】求出直线所过定点判断A；利用垂直关系计算判断B；由两直线不相交求出判断C；求出直线所过定点，并求出它与点的距离判断D. 【详解】对于A，变形为， 令，解得，因此直线一定过定点，A正确； 对于B，若，则，解得，B正确； 对于C，当与不相交时，，解得或， 当时，直线与平行， 当时，直线与平行， 因此当时，或，C错误； 对于D，直线恒过点，点到直线的距离的最大值为间距离， 而，D正确. 故选：ABD 42．（23-24高二上·浙江宁波·期中）以下四个命题正确的有（    ） A．直线与直线的距离为 B．直线l过定点，点和到直线l距离相等，则直线l的方程为 C．点到直线的距离为 D．已知，则“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【分析】选项A根据平行直线的距离公式求解即可；选项B分类讨论直线l斜率是否存在，斜率不存在时判断是否符合题意，斜率存在时列方程即可求得直线l的方程；选项C根据点到直线的距离公式求解即可；选项D根据两直线垂直得到，求出a的值后进行判断即可. 【详解】对于选项A，， 所以两直线的距离为，故A正确； 对于选项B，当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，此时点和到直线l距离分别为3和6，不合题意； 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，即， 因为点和到直线l距离相等， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或，故B错误； 对于选项C，点到直线的距离为，故C正确； 对于选项D，因为直线与直线垂直， 所以，解得或， 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 43．（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定直线恒过定点，再计算，从而可得结论． 【详解】解：把直线的方程化为， 由方程组 解得 所以直线恒过定点， 其中直线不包括直线． 又， 且当与直线垂直时，点到直线的距离为， 所以点到直线的距离满足， 故答案为：． 44．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 45．（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】利用斜率之积为，中点坐标公式和点斜式共同求出直线方程. 【详解】设直线l的的斜率为k， 则， 直线的中点坐标为， 所以由点斜式写出直线方程为，即. 故答案为：. 46．（23-24高二上·全国·课后作业）已知光线从点入射，经过直线反射，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，先求得点关于的对称点，从而得到，再由点斜式即可得到结果. 【详解】直线的斜率为1，根据点关于斜率为的直线直接求对称点的结论：知求，知求可得， 当时代入得； 当时代入得，即得关于的对称点； 入射光线所在直线方程为：； 化简得：. 故答案为：. 四、解答题 47．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）依据点到直线的距离公式建立方程求解即可. （2）联立求出直线交点，再分类讨论直线是否过原点，求解即可. 【详解】（1）设原点O到直线m的距离为， 则，解得或； （2）由解得，即m与n的交点为. 当直线l过原点时，此时直线斜率为， 所以直线l的方程为； 当直线l不过原点时，设l的方程为， 将代入得， 所以直线l的方程为. 故满足条件的直线l的方程为或. 48．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知两条直线，求分别满足下列条件的的值： (1)直线过点，并且直线与直线垂直； (2)直线与直线平行，并且坐标原点到的距离相等． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意可得，，解方程组可得答案； （2）由题意得，再结合点到直线的距离公式列方程可求得结果. 【详解】（1）因为过点，所以， 又因为，所以， 所以， 所以或； （2）因为且的斜率为， 所以的斜率也存在，，即， 故和的方程可分别表示为， 因为原点到与的距离相等， 所以，解得或， 因此或 49．（23-24高二上·全国·单元测试）已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．条件①：点关于直线的对称点的坐标为；条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (1)求直线的方程； (2)求直线：关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算直线的斜率，根据两直线的平行或垂直关系得到斜率，根据点斜式方程得到直线方程. （2）先计算直线，的交点；再在直线上取一点，求其关于对称的点；最后根据交点和对称点得到直线方程. 【详解】（1）选择条件： 因为点关于直线的对称点的坐标为， 所以是线段的垂直平分线，线段的中点坐标为． 因为， 所以直线的斜率为. 所以直线的方程为，即． 选择条件： 因为，直线与直线垂直， 所以直线的斜率为. 又因为直线过点， 所以直线的方程为，即． 选择条件， 因为，直线与直线平行， 所以直线的斜率为. 又因为直线过点， 所以直线的方程为，即． （2）联立方程组，解得， 故，的交点坐标为， 设关于：对称的点为. 则，解得. 因为在直线：上， 所以直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即， 所以：关于直线的对称直线的方程为． 50．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）已知两条平行直线与之间的距离是． (1)求直线关于直线对称的直线方程； (2)求直线关于直线对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. （2）根据所求直线过已知两直线的交点，以及上的任一点关于对称的点在所求直线上即可求解. 【详解】（1）因为直线：与：平行，所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得或（舍去）， 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得或7（舍去）， 故所求直线方程为， （2）设直线关于直线对称的直线为， 由，解得，所以直线经过点， 在上取一点关于对称的点设为， 则有，解得，所以直线经过点， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即：. 51．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点，在直线上反射，且反射光线经过点，求： (1)入射光线与直线l的交点． (2)入射光线与反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)入射光线的方程，反射光线的方程 【分析】（1）根据题意，求得点关于直线的对称点为，得到反射光线的方程，联立方程组，即可求得交点坐标； （2）根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求得入射和反射光线的方程. 【详解】（1）解：设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 则反射光线所在的直线的方程，即， 又由，解得， 即直线与直线的交点为. （2）解：由点，可得， 所以入射光线所在的直线的方程为，即， 反射光线所在直线的的方程，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$