第1章 1.5.1 平面上两点间的距离（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦平面上两点间的距离这一核心知识点，从数轴上两点距离公式切入，逐步拓展到平面直角坐标系中两点距离公式（含特殊与一般情况）、中点坐标公式，最终落脚于坐标法解决平面几何问题，构建从基础到应用的完整学习支架。 资料以公交站点选址情境引入，通过问题链引导学生从特殊到一般推理距离公式，培养数学思维，结合坐标法证明几何问题（如直角三角形斜边中线性质），强化数学语言表达。实例丰富且分层，课中助力教师引导探究，课后辅助学生巩固练习，有效查漏补缺。

1.5.1　平面上两点间的距离 学习目标　1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.掌握中点坐标公式.3.会用坐标法证明简单的平面几何问题. 导语 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 一、两点之间的距离公式 问题1　在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示　AB＝|xA－xB|. 问题2　已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？ 提示　(1)当P1P2与x轴平行时，P1P2＝|x2－x1|； (2)当P1P2与y轴平行时，P1P2＝|y2－y1|； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，P1＝P1Q2＋Q， 所以P1P2＝ . 知识梳理 1.平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式P1P2＝. 2.原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离OP＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关. (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得P1P2＝|x2－x1|，或P1P2＝|y2－y1|. 例1　(课本例1)(1)求A(－1，3)，B(2，5)两点间的距离； (2)设a为实数，已知A(0，10)，B(a，－5)两点间的距离是17，求a的值. 解　(1)由两点间距离公式，得 AB＝. (2)由两点间距离公式，得 ＝17， 解得a＝±8. 故所求实数a的值为8或－8. 例1　已知△ABC的三个顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状. 解　方法一　∵AB＝＝2， AC＝＝2， 又BC＝＝2， ∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形. 方法二　∵kAC＝， kAB＝＝－， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又AC＝＝2， AB＝＝2， ∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形. 反思感悟　计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，P1P2＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况用|x2－x1|或|y2－y1|求解. 跟踪训练1　(1)已知A(a，2)，B(－2，－3)，C(1，6)三点，且AB＝AC，则实数a的值为(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案　A 解析　由两点间的距离公式及AB＝AC可得，，解得a＝－2. (2)若点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为　　　　　　　　.  答案　(2，10)或(－10，10) 解析　由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10. 设点M的坐标为(xM，±10).由两点间距离公式， 得MN＝＝10或MN＝＝10(舍去)， 解得xM＝－10或xM＝2，所以点M的坐标为(2，10)或(－10，10). 二、两点间距离公式的应用 例2　在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝0与点A(2，0)，若直线l上存在点M满足MA＝2MO(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是　　　　　　.  答案　 解析　设M(x，－x－a)，由MA＝2MO，得(x－2)2＋(－x－a)2＝4x2＋4(－x－a)2，整理得6x2＋(6a＋4)x＋3a2－4＝0，由Δ≥0得9a2－12a－28≤0，解得≤a≤，故a的取值范围为. 反思感悟　将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解. 跟踪训练2　在直线2x－3y＋5＝0上存在点P，使点P到A(2，3)的距离为，则点P的坐标是(　　) A.(5，5) B.(－1，1) C.(5，5)或(－1，1) D.(5，5)或(1，－1) 答案　C 解析　设点P(x，y)，则y＝.由PA＝，得(x－2)2＋＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，∴点P的坐标为(－1，1)或(5，5). 三、坐标法的应用 对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则 例3　(课本例3)在直角三角形ABC中，点M为斜边BC的中点，试建立适当的直角坐标系，求证：AM＝BC. 证明　如图，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系.设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c). 因为点M是BC的中点，所以点M的坐标为，即. 由两点间距离公式，得 BC＝， AM＝. 所以AM＝BC. 例3　求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 证明　如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点. 设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)， 则AB＝|c|. 又由中点坐标公式，得D，E， ∴DE＝， ∴DE＝AB， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 反思感悟　(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关的代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 跟踪训练3　已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：AC＝BD. 证明　如图所示，以AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系， 设A(－a，0)，B(a，0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(－b，c). ∴AC＝， BD＝. 故AC＝BD. 1.知识清单： (1)两点间的距离. (2)由两点间距离求参数. (3)坐标法的应用. 2.方法归纳：待定系数法、坐标法. 3.常见误区：已知距离求参数问题易漏解. 1.已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且AB＝5，则a的值为(　　) A.1 B.－5 C.1或－5 D.－1，5 答案　C 解析　由两点间距离公式得＝5.解得a＝1或a＝－5. 2.直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则PQ等于(　　) A.4 B.4 C.2 D.2 答案　B 解析　∵P(1，1)，Q(5，5)，∴PQ＝＝4. 3.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是(　　) A.(－4，5) B.(－3，4) C.(－1，2) D.(0，1) 答案　BC 解析　设所求点的坐标为(x0，y0)，有 x0＋y0－1＝0，且， 两式联立解得或 4.已知A(1，2)，B(2，3)以及点C(－2，5)，则△ABC的面积为　　　　.  答案　3 解析　∵AB＝，BC＝＝2， AC＝＝3，∴AC2＋AB2＝BC2，∴S△ABC＝×3×＝3. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.若A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则等于(　　) A. B. C.3 D.2 答案　D 解析　AC＝4，CB＝2，故＝2. 2.点P(－2，5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1，0)，那么点M到原点O的距离为(　　) A.41 B. C. D.39 答案　B 解析　设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0，解得x＝4，y＝－5.所以点M(4，－5)，则OM＝. 3.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　　) A.2 B.3 C. D. 答案　C 解析　由中点坐标公式可得，BC边的中点D.由两点间的距离公式得AD＝. 4.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则AB的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B， 由两点间的距离公式，得AB＝. 5.已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当AB取最小值时，实数a的值是(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　C 解析　∵A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)， ∴AB＝ ＝ ＝ ＝， ∴当a＝时，AB取得最小值. 6.(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A.可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B.可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C.可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D.可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 答案　BCD 解析　 ＝， 可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离， 可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故选项A不正确. 7.(5分)过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则AB＝　　　　.  答案　 解析　由题意知kAB＝＝b－a＝1，所以AB＝. 8.(5分)已知x轴上一点A与点B(5，12)的距离为13，则点A的坐标为　　　　　　　　.  答案　(0，0)或(10，0) 解析　设A(x，0)，则AB＝＝13，即(x－5)2＝25，解得x＝0或x＝10，所以点A坐标为(0，0)或(10，0). 9.(10分)已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值. 解　由题易知a≠0，在直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝， 则B，故AB的中点为， ∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴，解得a＝±2. 10.(12分)用坐标法证明：若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角. 证明　如图，在△ABC中，D为边BC的中点，DA＝DB＝DC， 以顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设B(a，0)，C(b，c)， 则D， 因为DB＝DA， 所以，即ab＝0， 因为a≠0，所以b＝0， 所以C(0，c)，所以AC⊥AB，A＝， 所以若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对的角是直角. 11.已知x，y∈R，S＝，则S的最小值是(　　) A.0 B.2 C.4 D. 答案　B 解析　S＝可以看作是点(x，y)到点(－1，0)与点(1，0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2. 12.已知菱形ABCD的对角线BD与x轴平行，D(－3，1)，A(－1，0)，则C点的坐标为(　　) A.(－1，2) B.(－2，1) C.(－1，1) D.(2，2) 答案　A 解析　∵四边形ABCD为菱形，BD∥x轴，∴AC⊥x轴，∴可设C(－1，t)，∵AD＝CD， ∴，解得t＝0(舍去，此时C点与A点重合，不符合题意)或t＝2，∴C(－1，2). 13.(5分)在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝　　　　.  答案　10 解析　以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)， 设A(4a，0)，B(0，4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)， 所以PA2＝9a2＋b2，PB2＝a2＋9b2， PC2＝a2＋b2， 于是PA2＋PB2＝10(a2＋b2)＝10PC2， 即＝10. 14.(5分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－3，3)，B(－1，1)，若直线x－y－m＝0上存在点P使得PA＝PB，则实数m的取值范围是　　　　.   答案　[－2，2] 解析　设P(x，x－m)， 因为PA＝PB， 所以PA2＝3PB2， 所以(－3－x)2＋(3－x＋m)2＝3(－1－x)2＋3(1－x＋m)2， 化简得2x2－2mx＋m2－6＝0， 则Δ＝4m2－4×2(m2－6)≥0， 解得－2≤m≤2， 即实数m的取值范围是[－2，2]. 15.在平面直角坐标系内有四点A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)，P为该平面内的动点，则P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为(　　) A.10 B. C.14 D. 答案　D 解析　依题意可知，四点A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)构成一个四边形ABCD， 因为PA＋PC≥AC， 当且仅当P在对角线AC上时取得等号， 因为PB＋PD≥BD， 当且仅当P在对角线BD上时取得等号， 所以PA＋PC＋PB＋PD≥AC＋BD ＝ ＝， 当且仅当P为两条对角线的交点时取得等号. 故P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为. 16.(12分)如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：AB2＋BC2－AC2＝2BD2. 证明　如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系. 设B(b，c)，C(a，0)， 依题意得A(－a，0). AB2＋BC2－AC2 ＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2 ＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2， 2BD2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以AB2＋BC2－AC2＝2BD2. 学科网（北京）股份有限公司 $