第1章 1.4 两条直线的交点（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本高中数学讲义聚焦两条直线交点坐标求解与位置关系判定，衔接平面几何定性研究与代数定量方法，构建“方程组解→交点个数→位置关系（相交、平行、重合）”知识支架，延伸过交点直线系方程应用。 通过问题情境引导学生用数学眼光抽象几何关系，例题与跟踪训练强化推理与运算能力，直线系方程模型培养数学语言表达。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升知识应用与创新意识。

学习目标　1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 导语 在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等. 一、判断直线的交点及由交点求参数 问题　点A(－2，2)是否在直线l1：3x＋4y－2＝0和直线l2：2x＋y＋2＝0上，点A和直线l1，l2有什么关系？ 提示　在，点A是直线l1与l2的交点. 知识梳理 设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 注意点： (1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交.当方程组只有一解时，两直线相交. (2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1与l2相交的充要条件是A1B2－A2B1≠0. (3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2. 例1　(课本例1)分别判断下列直线l1与l2是否相交.若相交，求出它们交点的坐标： (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0， l2：y＝－2x＋3. 解　(1)因为方程组的解为 所以直线l1和l2相交，且交点坐标为(3，－1). (2)因为方程组有无数组解，所以直线l1和l2重合. (3)因为方程组无解， 所以l1∥l2. 例1　(1)(多选)下列选项中，正确的有(　　) A.直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为(1，3) B.直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为(2，1) C.直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3的交点坐标为(－2，2) D.直线l1：x－2y＋1＝0，l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0两两相交 答案　AD 解析　方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(1，3)，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合，B错误； 方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2，C错误； 方程组的解为方程组的解为方程组的解也为所以三条直线两两相交且交于同一点(1，1)，D正确. (2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　　) A.－24 B.24 C.6 D.±6 答案　A 解析　联立解得因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，所以y＝＝0，解得k＝－24. 延伸探究1　若将本例(1)中选项D改为“三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点”，求m的值. 解　解方程组得所以这两条直线的交点坐标为. 由题意知点在直线mx＋2y＋7＝0上， 将代入，得4m＋2×＋7＝0， 解得m＝－. 反思感悟　判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况. (1)解方程组的重要思想就是消元，操作方法有加减消元和代入消元两种. (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论. (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系. 跟踪训练1　(1)直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由得 所以交点为. (2)若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　) A.k>－ B.k<2 C.－<k<2 D.k<－或k>2 答案　C 解析　方法一　由题意知，直线l1过定点P(－1，2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－，kPB＝2，所以－<k<2. 方法二　由直线l1，l2有交点，得k≠－2. 由得 又交点在第一象限内，所以 解得－<k<2. 二、过两直线交点的直线系方程 1.平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). 2.垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3.过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 例2　(课本例3)已知直线l经过原点，且经过如下两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程. 解　因为方程组的解为 所以两条直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，从而由题意知直线l经过点(－1，－2). 又直线l经过原点，所以直线l的方程为 ，即2x－y＝0. 例2　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程. 解　方法一　解方程组 得所以两直线的交点坐标为. 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y＋＝－3， 即15x＋5y＋16＝0. 方法二　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0. (*) 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以有得λ＝. 代入(*)式，得x＋y＋＝0， 即15x＋5y＋16＝0. 延伸探究2　本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ 解　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直， 则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－， 所以所求直线方程为5x－15y－18＝0. 反思感悟　解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解. (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得.若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0). 跟踪训练2　求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程. 解　由方程组解得 即l1与l2的交点坐标为(－2，2). ∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝＝－1. 故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0. 1.知识清单： (1)方程组的解与直线交点个数的关系. (2)直线系过定点问题. 2.方法归纳：消元法、直线系法. 3.常见误区：对两直线相交条件认识模糊. 1.直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是(　　) A.(－9，－10) B.(－9，10) C.(9，10) D.(9，－10) 答案　B 解析　解方程组得 故两条直线的交点坐标为(－9，10). 2.已知直线l经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0，则直线l的方程是(　　) A.5x＋3y－1＝0 B.5x－3y－1＝0 C.3x＋5y－1＝0 D.3x－5y－1＝0 答案　A 解析　解方程组得∴l1与l2的交点坐标为(－1，2). 由l3的斜率为，得l的斜率为－， ∴所求直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0. 3.若关于x的二元一次方程组有无穷多组解，则m＝　　　　.  答案　－2 解析　二元一次方程组有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由4×1＝m·m，解得m＝2或m＝－2.经检验，m的值为－2. 4.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝　　　　.  答案　－ 解析　解方程组得 又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上， ∴－1－2k＝0，∴k＝－. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A.(3，2) B.(2，3) C.(－2，－3) D.(－3，－2) 答案　B 解析　解方程组得 2.直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为(　　) A.12 B.10 C.－8 D.－6 答案　B 解析　∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1). ∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0，得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0，得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， ∴m＋n＝10. 3.两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是(　　) A.－24 B.6 C.±6 D.24 答案　C 解析　因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)， 所以消去b，可得k＝±6. 4.△ABC的三个顶点分别为A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，如果直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，那么实数a的值等于(　　) A. B.1＋ C.1＋ D.2－ 答案　A 解析　lAC：＝1，即3x＋2y－6＝0.由得 因为S△ABC＝，所以×a×，得a＝或a＝－(舍去). 5.过直线3x－2y＋3＝0与x＋y－4＝0的交点，与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为(　　) A.2x＋y－5＝0 B.2x－y＋1＝0 C.x＋2y－7＝0 D.x－2y＋5＝0 答案　A 解析　由已知，可设所求直线的方程为(3x－2y＋3)＋λ(x＋y－4)＝0， 即(λ＋3)x＋(λ－2)y＋3－4λ＝0， 又因为此直线与直线2x＋y－1＝0平行， 所以≠， 解得λ＝7， 所以所求直线的方程为10x＋5y－25＝0，即2x＋y－5＝0. 6.(多选)已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为(　　) A.1 B. C.－2 D.－1 答案　BCD 解析　由直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，可得 ①若l1∥l3，则＝3，即a＝； ②若l2∥l3，则＝－，即a＝－2； ③若三直线经过同一个点，则直线l1：3x－y－1＝0与直线l2：x＋2y－5＝0的交点(1，2)在l3：x－ay－3＝0上， 即1－2a－3＝0，解得a＝－1. 综上，a的值可能为，－2，－1. 7.(5分)直线l1：3x－y＋12＝0和l2：3x＋2y－6＝0及y轴所围成的三角形的面积为　　　　.  答案　9 解析　联立解得 所以直线l1与直线l2的交点坐标为(－2，6). 令x＝0，则直线l1与y轴的交点坐标为(0，12)， 直线l2与y轴的交点坐标为(0，3). 则三角形的三个顶点坐标分别为(－2，6)，(0，12)，(0，3)， 故所求三角形的面积为×9×2＝9. 8.(5分)已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝　　　.  答案　－2 解析　由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5. 又点(1，m)在直线ax＋2y－1＝0上， 所以a＋2m－1＝0，所以m＝－2. 9.(10分)求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程. 解　由方程组解得 所以直线l1和l2的交点坐标为. 又因为所求直线斜率为k＝－， 所以所求直线方程为y＋×， 即27x＋54y＋37＝0. 10.(12分)若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围. 解　联立两直线的方程 解得 ∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限， ∴解得 即－<k<－. 则k的取值范围为. 11.已知a，b满足2a＋b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由2a＋b＝1，得b＝1－2a，代入直线方程ax＋3y＋b＝0中，得ax＋3y＋1－2a＝0，即a(x－2)＋3y＋1＝0，令解得所以该直线必过定点. 12.若直线l与直线x＝3交于点P，与直线x－y＋5＝0交于点Q，且线段PQ的中点是(1，－1)，则直线l的斜率为(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　A 解析　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意得x1＝3， 又线段PQ的中点是(1，－1)，则＝1， 故x2＝－1， 又Q在直线x－y＋5＝0上，则x2－y2＋5＝0， 故y2＝4， 又＝－1，故y1＝－6， 于是P(3，－6)，Q(－1，4)， 根据斜率公式，kl＝kPQ＝＝－. 13.(5分)经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　　　　　　.  答案　x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 解析　设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0， 即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0. 令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝. 由，得λ＝或λ＝. 所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. 14.(5分)若三条直线x－y＋1＝0，x＝1，x＋ky＝0将平面划分成6个部分，则实数k的取值集合为　　　　　　.  答案　 解析　直线x－y＋1＝0，x＝1的交点为(1，2)，若3条直线将平面划分成6个部分，分2种情况讨论：①直线x＋ky＝0过交点(1，2)，则k＝－；②直线x＋ky＝0与另外两直线中的一条平行，此时k＝0或k＝－1，所以实数k的取值集合为. 15.若点P(3，1)既是A(a1，b1)，B(a2，b2)的中点，又是直线l1：a1x＋b1y－10＝0与l2：a2x＋b2y－10＝0的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是(　　) A.3x＋y－10＝0 B.x＋3y－6＝0 C.x－3y＝0 D.3x－y－8＝0 答案　C 解析　直线l1：a1x＋b1y－10＝0与直线l2：a2x＋b2y－10＝0的方程相减可得，(a1－a2)x＋(b1－b2)y＝0， 把点P(3，1)代入可得3(a1－a2)＋(b1－b2)＝0，所以kAB＝＝－3， 所以线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝(x－3)，即x－3y＝0. 16.(12分)如图，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程. 解　设B(x0，y0)， 则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 得解得即B(6，4). 同理可求得C点的坐标为(5，0). 故所求直线BC的方程为， 即4x－y－20＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $