1.5.1 平面上两点间的距离(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

本讲义聚焦平面上两点间的距离公式、中点坐标公式及坐标法应用，从数轴距离、直角三角形斜边长度等具体情境入手，逐步推导公式，通过例题与练习实现从具体到抽象、从基础到应用的学习支架构建。 资料以情境导学激发数学眼光，通过公式推导与例题解析发展逻辑推理等数学思维，坐标法证明几何问题（如等腰梯形对角线相等）强化数学语言表达。课中思考辨析与互动例题提升教学效果，课后跟进训练与母题探究助力学生巩固查漏。

1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 学习任务 核心素养 1．了解平面上两点间的距离公式的推导方法．(重点) 2．掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式及其应用．(难点) 3．初步掌握用坐标法研究几何问题．(重点、难点) 通过对平面上两点间的距离公式、中点坐标公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养． (1)如图所示，数轴上有两点x1＝－5，x2＝7，则两点间的距离x1x2是多少？ (2)如图所示，在直角三角形中，直角三角形斜边的长度是多少？ (3)如图所示，点O与点P间的距离OP是多少？ 那么对于平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，它们之间的距离P1P2是多少？ 知识点1　两点间的距离 (1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． (2)结论：P1P2＝． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b． (　　) (2)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用． (　　) (3)点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，当两点连线所在直线平行于坐标轴时，P1P2＝|x1－x2|． (　　) [答案]　(1) ×　(2) ×　(3)× 2．已知M(2，1)，N(－1，5)，则MN等于(　　) A．5 B． C． D．4 A　[MN＝＝5．] 3．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则PQ等于(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 B　[∵P(1，1)，Q(5，5)，∴PQ＝＝4．] 知识点2　中点坐标公式 一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)， 则 4．已知A(1，3)，B(－5，1)，那么线段AB的中点坐标是________． (－2，2)　[由中点坐标公式可得线段AB的中点坐标是(－2，2)．] 类型1　两点间的距离 【例1】　【链接教材P34例1】 如图，已知△ABC的三个顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． [思路探究]　求出△ABC的三边长，根据边长间的关系判断三角形的形状． [解]　法一：∵AB＝＝＝2， AC＝＝＝2， 又BC＝＝＝2， ∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB． 又AC＝＝＝2， AB＝＝＝2， ∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形． 【教材原题·P34例1】 (1)求A(－1，3)，B(2，5)两点间的距离； (2)设a为实数，已知A(0，10)，B(a，－5)两点间的距离是17，求a的值． [解]　(1)由两点间距离公式，得 AB＝＝． (2)由两点间距离公式，得 ＝17， 解得a＝±8． 故所求实数a的值为8或－8． 　计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则＝． (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． [跟进训练] 1．已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使PA＝PB，并求PA的值． [解]　设P(x，0)，PA＝， PB＝，∵PA＝PB， ∴＝， 解得x＝1，∴P(1，0)，∴PA＝＝2． 类型2　中点坐标公式及应用 【例2】　【链接教材P34例2】 △ABC的两个顶点为B(2，1)，C(－2，3)，求BC边的垂直平分线的方程． [解]　因为B(2，1)，C(－2，3)， 所以kBC＝＝－， 线段BC的中点坐标是，即(0，2)， 所以BC边的垂直平分线方程是y－2＝2(x－0)，整理得2x－y＋2＝0． 【教材原题·P34例2】 已知△ABC的三个顶点为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，7)，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程． [解]　如图1-5-3，设点M的坐标为(x，y)，过点B，M，C向x轴作垂线，垂足分别为点B′，M′，C′，则点B′，M′，C′的横坐标分别为－2，x，4． 因为点M是线段BC的中点，所以点M′是线段B′C′的中点，即B′M′＝M′C′，从而 x－(－2)＝4－x， 所以x＝＝1． 同理可得y＝＝3． 所以点M的坐标为(1，3)． 由两点间距离公式，得 AM＝＝2． 因此，BC边上的中线AM的长为2． 由直线的两点式方程，得中线AM所在直线的方程为＝， 即x＋y－4＝0． 对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则 　求线段的垂直平分线方程，要从两个方面思考，一是垂直，就是线段所在的直线与所求垂直平分线斜率之积等于－1，二是平分，即直线过线段的中点． [跟进训练] 2．若△ABC的顶点A(－5，0)，B(3，－2)，C(1，2)，则经过AB，BC两边中点的直线方程为(　　) A．3x－y－2＝0 B．x－3y－4＝0 C．x－3y－2＝0 D．3x－y－4＝0 C　[由题意，可得线段AB的中点为(－1，－1)，线段BC的中点为(2，0)．因此所求直线方程为＝，即x－3y－2＝0．] 类型3　利用坐标法解决平面几何 问题 【例3】　【链接教材P36例3】 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：AC＝BD． 如何证明AC＝BD? [提示]　建立平面直角坐标系，利用两点间的距离公式证明AC＝BD． [解]　如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a－b，c)． 所以AC＝＝， BD＝＝． 故AC＝BD． [母题探究] 1．(变条件)把本例的条件改为：在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且AB2＝AD2＋BD·DC．求证：△ABC为等腰三角形． [证明]　 作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系(如图所示)． 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)．因为AB2＝AD2＋BD·DC， 所以由距离公式可得，b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)． 又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c． 所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形． 2．(变条件)把本例的条件改为：在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2)． [证明]　设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设A(b，c)，C(a，0)， 则B(－a，0)． 因为AB2＝(a＋b)2＋c2， AC2＝(a－b)2＋c2，AD2＝b2＋c2，DC2＝a2， 所以AB2＋AC2＝2(a2＋b2＋c2)， AD2＋DC2＝a2＋b2＋c2， 所以AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2)． 【教材原题·P36例3】 在直角三角形ABC中，点M为斜边BC的中点，试建立适当的直角坐标系，求证：AM＝BC． [证明]　如图1-5-4，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)． 因为点M是BC的中点，所以点M的坐标为 ，即． 由两点间距离公式，得 BC＝＝， AM＝＝． 所以AM＝BC． 　利用坐标法解决平面几何问题常见的步骤 (1)建立平面直角坐标系，尽可能地将有关元素放在坐标轴上． (2)用坐标表示有关的量． (3)将几何关系转化为坐标运算． (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系． 1．已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是(　　) A．x2－y2＝1 B．x2＋y2＝0 C．＝1 D．＝0 C　[由两点间的距离公式，得＝1．] 2．已知点M(－1，3)和点N(5，1)，点P(x，y)到点M，N的距离相等，则x，y满足的条件是________． 3x－y－4＝0　[由PM＝PN，得＝，即3x－y－4＝0．] 3．若三角形的顶点分别为A(2，－3)，B(－2，－5)，C(6，4)，则AB边上的中线长为________． 10　[∵AB的中点坐标为(0，－4)，∴AB边上的中线长为＝10．] 4．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，则AB的长为________． 13　[设A(a，0)，B(0，b)，则a＝5，b＝12，即A(5，0)，B(0，12)，所以AB＝＝13．] 5．(源自人教A版教材)已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使PA＝PB，并求PA的值． [解]　设所求点为P(x，0)，则 PA＝＝， PB＝＝． 由PA＝PB，得 x2＋2x＋5＝x2－4x＋11． 解得x＝1． 所以，所求点为P(1，0)，且 PA＝＝2． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．两点间距离公式是什么？ [提示]　两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为P1P2＝． 2．中点坐标公式是什么？ [提示]　对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则 笛卡儿与解析几何 解析几何的创立适应了17世纪科学技术发展的迫切需要．法国数学家笛卡儿(Descartes，1596—1650)是解析几何的创始人之一．他对当时的几何方法和代数方法进行比较，分析了它们各自的优缺点．他认为，没有任何东西比几何图形更容易印入人脑，用图形表达事物非常有益．但他对欧几里得几何中许多定理的证明需要某种奇巧的想法深感不安，他还批评古希腊人的几何过多地依赖图形．他看到了代数的力量，认为代数在提供广泛的方法论方面高于欧几里得的几何学．他认为，代数具有一般性，例如用字母代替数时，可以代表各种数：正数、负数和0；代数中的公式可以使解题过程机械化；代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力． 笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合起来．他说：“我决心放弃那个仅仅是抽象的几何，这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题．我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何．” 笛卡儿曾计划写一本书《思想的指导法则》，在书中他大胆地提出了一个解决一切问题的方案：把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程．可是不久他自己就发现这个设想过于大胆，根本无法实现，这本书没有写完就搁下了(在他去世后人们将它出版)．他的这个方案虽然失败了，但确有很多问题可以用列方程的方法来解． 1637年笛卡儿发表了《更好地指导推理和寻找科学真理的方法论》，这是一本哲学的经典著作，包含了三个附录，《几何学》就是其中之一．《几何学》是笛卡儿所写的唯一一本数学书．笛卡儿在《几何学》中引入了坐标方法和用方程表示曲线的思想．于是后人就把这本《几何学》的发表作为解析几何创立的标志． 笛卡儿最初所使用的坐标系中，两个坐标轴的夹角不要求一定是直角，而且y轴并没有明显地出现．至于“坐标”“坐标系”“横坐标”“纵坐标”等名词，也都是后来人们逐渐使用的．虽然笛卡儿当初的坐标系还不够完善，但是笛卡儿当初迈出的第一步具有决定意义，所以人们仍然把后来的直角坐标系，叫作笛卡儿直角坐标系． 差不多与笛卡儿同时，另一位法国数学家费马(Fermat，1601-1665)在自己的研究中也独立地形成了用方程表示曲线的思想．因此，费马和笛卡儿同为解析几何的创始人． 解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑．它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数学的新时期．正如恩格斯在《自然辩证法》一书中所指出的：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了．” 解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究．这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系．从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展． 学科网（北京）股份有限公司 $