第1章 1.3 第2课时 两条直线垂直（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“两条直线垂直”核心知识点，系统阐述斜率存在时斜率之积为-1、一条斜率不存在另一条斜率为0的垂直判定条件。承接上节课两直线平行的学习，共同构建两直线位置关系的完整知识体系，为几何问题解决提供学习支架。 资料以十字路口等生活实例引入，引导学生用数学眼光观察现实垂直现象，通过问题链探究斜率关系培养推理意识（数学思维），例题涵盖参数讨论等情况助学生用数学语言表达。课中问题引导提升教学效果，课后对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　两条直线垂直 学习目标　1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题. 导语 除平行外，生活中也存在很多垂直关系，比如十字路口，黑板相邻两边等等，上节课我们学习了两条直线平行的判定方法，研究了两条平行直线的倾斜角之间的关系，当斜率存在时，斜率也有联系，那么两条垂直直线的倾斜角和斜率是否也有关系呢？ 一、两条直线垂直关系的判定 问题1　若两条垂直直线的斜率都存在，那么它们的斜率有怎样的关系呢？ 提示　如图，如果直线l1⊥l2(l1，l2都不与x轴垂直)，那么直线l1，l2的倾斜角α1，α2中必定一个是锐角，另一个是钝角.不妨设α2是钝角，则α2＝α1＋，从而k2＝tan α2＝tan＝－＝－，即k1k2＝－1. 问题2　如果两条直线斜率的乘积为－1，这两条直线互相垂直吗？ 提示　两条直线互相垂直. 问题3　两条直线互相垂直，一定能得到两条直线的斜率之积等于－1吗？ 提示　不一定，因为两条直线互相垂直，可能其中一条直线的斜率不存在. 知识梳理 对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在. (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率. 例1　(课本例4)(1)已知四点A(5，3)，B(10，6)，C(3，－4)，D(－6，11)，求证：AB⊥CD； (2)已知直线l1：3x＋5y－10＝0，l2：15x－9y＋8＝0，求证l1⊥l2. 证明　(1)由斜率公式，得 kAB＝，kCD＝＝－， 则kABkCD＝×＝－1， 所以AB⊥CD. (2)由l1，l2的方程可知，它们的斜率k1＝－，k2＝， 从而k1k2＝×＝－1， 所以l1⊥l2. 例1　(1)直线l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值. 解　(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在. 当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0， 则l1⊥l2，满足题意. 当l1的斜率存在时，a≠5， 由斜率公式，得k1＝， k2＝. 由l1⊥l2，得k1k2＝－1， 即×＝－1，解得a＝0. 综上所述，a的值为0或5. 反思感悟　利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步. (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式. (3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论. 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况. 跟踪训练1　判断下列两直线是否垂直. (1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10，2)，B(20，3). (2)直线l1经过A(3，4)，B(3，7)，直线l2经过点P(－2，4)，Q(2，4). (3)直线l1的斜率为，直线l2与直线2x＋3y＋1＝0平行. 解　(1)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝，k1·k2＝－10×＝－1， 所以l1⊥l2. (2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1⊥l2. (3)直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝－，k1·k2＝－≠－1，所以直线l1与l2不垂直. 二、求与已知直线垂直的直线方程 例2　(课本例5)如图，已知三角形的顶点为A(2，4)，B(1，－2)，C(－2，3)，求BC边上的高AD所在直线的方程. 解　直线BC的斜率为 kBC＝＝－. 因为AD⊥BC， 所以kAD＝－. 根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为 y－4＝(x－2)， 即3x－5y＋14＝0. 例2　求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程. 解　方法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直， ∴k·(－2)＝－1， ∴k＝， 又∵直线l经过点A(2，1)， ∴直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0. 方法二　设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2，1)， ∴2－2×1＋m＝0， ∴m＝0. ∴直线l的方程为x－2y＝0. 反思感悟　(1)求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在且斜率不为0，则利用斜率乘积等于－1求斜率；若不存在，则所求直线斜率为0，然后用点斜式求直线方程；若斜率为0，则所求直线斜率不存在. (2)与直线l1：Ax＋By＋C1＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，其中A，B不全为0. 跟踪训练2　(1)与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的方程是(　　) A.y＝x＋4 B.y＝2x＋4 C.y＝－2x＋4 D.y＝－x＋4 答案　D 解析　直线y＝2x＋1的斜率为2，则与直线y＝2x＋1垂直的直线的斜率为－，又因为所求直线在y轴上的截距为4，所以直线方程为y＝－x＋4. (2)已知△ABC的三个顶点分别是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上的高所在直线的方程为　　　　　　.  答案　3x－5y＋15＝0 解析　设BC边上的高为AD，则BC⊥AD， 所以kAD·kBC＝－1， 因为kBC＝＝－， 所以－·kAD＝－1，解得kAD＝， 所以BC边上的高所在直线的方程为y－0＝(x＋5)，即3x－5y＋15＝0. 三、两直线垂直的综合问题 例3　(1)已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为　　　　.  答案　9 解析　∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直， ∴n－(n－2)m＝0， ∴2m＋n＝mn， ∴＝1， ∴m＋2n＝(m＋2n) ＝5＋≥5＋2＝9， 当且仅当m＝n＝3时取等号. (2)已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值. 解　由题意知，直线AB，AC，BC的斜率都存在， 若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kACkAB＝－1， 即·＝－1，解得m＝－7； 若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kABkBC＝－1， 即·＝－1，解得m＝3； 若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kACkBC＝－1， 即·＝－1，解得m＝±2. 综上所述，m＝－7或m＝3或m＝2或m＝－2. 反思感悟　解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点 (1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系. (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 跟踪训练3　(1)“a2＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的(　　) A.充要条件 B.必要且不充分条件 C.充分且不必要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直的充要条件为1×1＋1×(－a)＝0，即a＝1， 故“a2＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的必要且不充分条件. (2)若直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是(　　) A.－4 B.2 C.－2 D.4 答案　C 解析　∵直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直， ∴(a＋3)＋a－1＝0， ∴a＝－1， ∴直线l1的方程为2x＋y＋4＝0， ∴直线l1在x轴上的截距是－2. 1.知识清单： (1)两直线垂直的条件. (2)求垂直直线方程. (3)直线垂直的综合应用. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：研究两直线垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 1.若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋2y－2＝0互相垂直，则实数a的值是(　　) A.1 B.－1 C.4 D.－4 答案　D 解析　两直线的斜率分别为－，－，依题意得×＝－1，解得a＝－4. 2.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　) A. B.－ C.a D.不存在 答案　BD 解析　当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－， 当a＝0时，l2的斜率不存在. 3.已知A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)三点，点D在x轴上，则当点D的坐标为　　　　　时，AB⊥CD.  答案　(－9，0) 解析　设点D(x，0)，因为kAB＝＝4≠0， 所以直线CD的斜率存在. 则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1， 所以4·＝－1， 解得x＝－9， 所以点D的坐标为(－9，0). 4.已知点A(－2，－5)，B(6，6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为　　　　　.  答案　(0，－6)或(0，7) 解析　设点P的坐标为(0，y). 因为∠APB＝90°， 所以AP⊥BP， 又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1， 所以·＝－1， 解得y＝－6或y＝7. 所以点P的坐标为(0，－6)或(0，7). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.直线l1的倾斜角α1＝30°，若l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　C 解析　如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°， 所以直线l2的斜率为tan 120°＝－. 2.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直 C.可能重合 D.无法确定 答案　B 解析　由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立. 故方程有两不相等的实数根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在.设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2. 3.若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为(　　) A.1 B.3 C.0或1 D.1或3 答案　D 解析　因为l1⊥l2， 所以k1·k2＝－1， 即×＝－1， 解得a＝1或a＝3. 4.已知l1：(a＋sin 30°)x＋y＋1＝0，l2：x＋(tan 120°)y＋2＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　C 解析　由题意l1⊥l2，则当且仅当(a＋sin 30°)×1＋1×tan 120°＝0，即a＋－3＝0， 解得a＝. 5.已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则点D的坐标为(　　) A.(－1，0) B.(0，－1) C.(1，0) D.(0，1) 答案　D 解析　设点D(x，y)， 则kCD＝，kAD＝. kAB＝＝3，kCB＝＝－2， 又CD⊥AB，CB∥AD， ∴∴ 解得即点D(0，1). 6.(多选)设平面内四点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，则下面四个结论正确的是(　　) A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS 答案　ABD 解析　由斜率公式知， kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝，kQS＝＝－4，kPR＝， ∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS， ∴PS与QS不平行，故ABD正确. 7.(5分)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，其中a＋b≠3，则线段PQ的垂直平分线的斜率为　　　.  答案　－1 解析　由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1. 8.(5分)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，若l1⊥l2，则a＝　　　；若l1∥l2，则a＝　　　.  答案　0或－3　－1或2 解析　当l1⊥l2时，a×1＋(a＋2)a＝0， 解得a＝0或a＝－3； 当l1∥l2时， 易知a≠0，≠， 解得a＝－1或a＝2. 9.(10分)当实数a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ 解　由l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1. ∴当a＝1或a＝－1时，l1⊥l2. 10.(10分)已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4). (1)求点D的坐标；(5分) (2)试判定▱ABCD是否为菱形？(5分) 解　(1)设点D的坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以解得 所以点D的坐标为(－1，6). (2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1， 所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形. 11.(多选)垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为(　　) A.4x＋3y－12＝0 B.4x＋3y＋12＝0 C.4x－3y－12＝0 D.4x－3y＋12＝0 答案　AB 解析　由题意可设直线l的方程为4x＋3y＋c＝0(c≠0)， 令y＝0，得x＝－，令x＝0，得y＝－， 则S＝·＝6，解得c＝±12， ∴直线l的方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0. 12.(多选)已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为(　　) A.1 B.－1 C.0 D.－2 答案　AC 解析　直线l1的斜率k1＝＝a. 当a≠0时，直线l2的斜率k2＝. 因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1. 当a＝0时，直线l1为x轴，直线l2为y轴，显然l1⊥l2. 综上，实数a的值为1或0. 13.(5分)已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为　　　　.  答案　(－19，－62) 解析　设A(x，y)，因为AC⊥BH，AB⊥CH， 且kBH＝－，kCH＝－， 所以解得 所以A(－19，－62). 14.(5分)已知直线l1：(a－2)x－3y＋5＝0和l2：3x－(b＋1)y－7＝0互相垂直，且a，b>0，则的最小值为　　　　　　.  答案　3＋2 解析　由题得3(a－2)＋3(b＋1)＝0， 所以a＋b＝1. 所以(a＋b) ＝3＋≥3＋2 ＝3＋2， 当且仅当a＝2－，b＝－1时等号成立. 所以的最小值为3＋2. 15.(5分)直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝　　　　.  答案　4＋ 解析　如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－. ∴＝－， 解得m＝4＋. 16.(12分)如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状. 解　由斜率公式得kOP＝＝t， kQR＝＝t， kOR＝＝－， kPQ＝＝－. 所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形. 又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR， 故四边形OPQR为矩形. 学科网（北京）股份有限公司 $