第1章 1.1 直线的斜率与倾斜角（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦直线的斜率与倾斜角核心知识点，从坡度实例引入斜率概念，通过两点坐标推导斜率公式，再定义倾斜角并明确其范围，最终建立斜率与倾斜角的对应关系，形成从具体到抽象的学习支架。 资料以生活情境（如道路坡度）激发探究欲，通过问题链引导学生用数学眼光观察倾斜程度，结合例题与跟踪训练强化数形结合思维，培养逻辑推理与几何直观能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

学习目标　1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率. 导语 我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数条直线a，b，c，…，我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？ 一、直线的斜率 问题1　交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ 提示　坡度越大道路越陡峭，坡度越小道路越平坦. 问题2　若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1≠x2时，你能用一个量反应直线l的倾斜程度吗？ 提示　可以用的符号及大小反应直线l的倾斜程度. 知识梳理 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， (1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称为直线l的斜率.k＝(x1≠x2). (2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在. 注意点： (1)当直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式. (2)当直线与y轴垂直时，斜率公式依然成立，此时k＝0. (3)直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关. 例1　如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2). (1)试计算直线l1，l2，l3的斜率； (2)若还存点Q4(a，3)，试求直线PQ4的斜率. 解　(1)由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在. 设它们的斜率分别为k1，k2，k3. 则由斜率公式得k1＝， k2＝＝－4，k3＝＝0. (2)当a＝3时，直线PQ4与x轴垂直，其斜率不存在；当a≠3时，其斜率k＝. 反思感悟　(1)若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”. (2)由例题中图可以看出：①当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；②当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；③当直线的斜率为0时(l3)，直线与x轴平行或重合. (3)若直线l的斜率为k，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两个不同的点，由斜率公式可解决下列类型的问题：①由点P1，P2的坐标求k的值；②已知k及x1，y1，x2，y2中的三个量可求第四个量；③证明三点共线. 跟踪训练1　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率. (1)A(2，3)，B(4，5)； (2)C(－2，3)，D(2，－1)； (3)P(－3，1)，Q(－3，10)； (4)E(a，2)，F(3，6). 解　(1)存在.直线AB的斜率kAB＝＝1. (2)存在.直线CD的斜率kCD＝＝－1. (3)不存在.因为xP＝xQ＝－3， 所以直线PQ的斜率不存在. (4)当a＝3时，直线EF的斜率不存在； 当a≠3时，直线EF的斜率k＝. 二、直线的倾斜角 直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角.并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0. (2)直线的倾斜角α的取值范围为[0，π). 注意点： (1)从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所转过的最小正角；不做旋转规定倾斜角为0. (2)直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角. (3)已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是由直线上的一点和这条直线的倾斜角可以确定直线的位置. 例2　(1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) 答案　AC 解析　任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故A正确，B错误，C正确；当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误. (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° 答案　AB 解析　根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 反思感悟　直线倾斜角的概念和范围 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的取值范围. 跟踪训练2　已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，求直线l2的倾斜角. 解　∵直线l1与l2向上的方向之间所成的角为120°，l2与x轴交于点B， ∴倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°. 三、倾斜角和斜率的应用 问题3　在直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°的过程中，其斜率如何变化？为什么？ 提示　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大. 知识梳理 1.设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 2.直线的斜率与倾斜角之间的关系 当直线与x轴不垂直时，该直线的斜率k与倾斜角α之间的关系为k＝tan α. 注意点： 如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为α，则当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，α＝0°；当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，α＝90°. 例3　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 解　如图，由题意可知kPA＝＝－1， kPB＝＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞). (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 反思感悟　倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 跟踪训练3　已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2). (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围. 解　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝，直线AC的斜率kAC＝. 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. (2)如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. 1.知识清单： (1)直线斜率的定义和斜率公式. (2)直线的倾斜角及其范围. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清. 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案　ABC 2.若经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于(　　) A.2 B.1 C.－1 D.－2 答案　A 解析　由题意知tan 45°＝，解得m＝2. 3.若A(2，3)，B(3，2)，C三点共线，则实数m的值为　　　　.  答案　 解析　设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，则由斜率公式，得kAB＝＝－1，kBC＝＝－(m－2).∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC， 即－1＝－(m－2)，解得m＝. 4.直线l经过点A(2，y)，B(3，－)，且倾斜角范围是，则y的取值范围是　　　　.  答案　(－∞，－2]∪[0，＋∞) 解析　因为倾斜角θ∈， 所以k＝tan θ∈[，＋∞)∪(－∞，－]. 又因为k＝， 所以y的取值范围是(－∞，－2]∪[0，＋∞). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.如图，直线l的倾斜角为(　　) A.60°　　　　　 B.120° C.30°　　　　　 D.150° 答案　D 解析　由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°. 2.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为(　　) A.－1 B.1 C.2 D. 答案　D 解析　由＝2，得m＝. 3.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A.k1<k2<k3 B.k1<k3<k2 C.k3<k2<k1 D.k3<k1<k2 答案　B 解析　根据图象易得，k1<0，k2>k3>0，∴k1<k3<k2. 4.若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D. 答案　C 解析　∵直线的斜率k∈(－∞，]， ∴k≤tan ， ∴该直线的倾斜角α的取值范围是∪. 5.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“k1>k2”是“α1>α2”的(　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　D 解析　取k1＝1，k2＝－1，满足k1>k2，但α1＝，α2＝，此时α1<α2，所以“k1>k2”不是“α1>α2”的充分条件；取α1＝，α2＝，满足α1>α2，但k1＝－1，k2＝1，此时k1<k2，所以“k1>k2”不是“α1>α2”的必要条件.所以“k1>k2”是“α1>α2”的既不充分又不必要条件. 6.若过两点A(m2＋2，m2－3)，B(－m2－m＋3，2m)的直线l的倾斜角为45°，则m等于(　　) A.－2或－1 B.1 C.－1 D.－2 答案　D 解析　过两点A(m2＋2，m2－3)，B(－m2－m＋3，2m)的直线l的倾斜角为45°， 则有＝tan 45°＝1， 即m2＋3m＋2＝0且2m2＋m－1≠0，解得m＝－2. 7.(5分)已知点A(1，2)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为　　　　　　　　.  答案　(3，0)或(0，3) 解析　由题意知，kPA＝－1，若点P在x轴上， 设点P的坐标为P(m，0)(m≠1)， 则＝－1，解得m＝3，即P(3，0). 若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，n)， 则＝－1，解得n＝3，即P(0，3). 综上，点P的坐标为(3，0)或(0，3). 8.(5分)若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是　　　　.  答案　(－2，1) 解析　由题意知，kAB＝. 因为直线的倾斜角为钝角， 所以kAB＝<0， 解得－2<t<1. 9.(10分)已知直线l经过A(－1，m)，B(m，1)两点.问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？(2分) (2)直线l与y轴平行？(2分) (3)直线l的倾斜角为45°？(3分) (4)直线l的倾斜角为锐角？(3分) 解　(1)若直线l与x轴平行， 则直线l的斜率k＝0， ∴m＝1. (2)若直线l与y轴平行， 则直线l的斜率不存在， ∴m＝－1. (3)由题意可知，直线l的斜率k＝1， 即＝1， 解得m＝0. (4)由题意可知，直线l的斜率k>0， 即>0， 解得－1<m<1. 10.(11分)如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 解　在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD＝kBC＝tan 60°＝. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 所以kOB＝kCD＝0， 由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC＝tan 30°＝， kBD＝tan 120°＝－. 11.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案　B 解析　设A(a，b)是直线l上任意一点， 则平移后得到点A'(a－2，b＋2)， 于是直线l的斜率k＝kAA'＝＝－1. 12.(多选)已知A(1，－2)，B(2，1)，若直线l恒过点(0，－1)且与线段AB相交，则直线l的斜率取值可能是(　　) A.－ B.－2 C.0 D.2 答案　AC 解析　设P(0，－1)， 则kAP＝＝－1， kBP＝＝1，如图， 由图可知，当－1≤k≤1时，直线l与线段AB相交. 13.(5分)若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则的值为　　　　　　.  答案　 解析　∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即，即ab＝2a＋2b，两边同除以ab，得1＝，即. 14.(5分)已知直线l经过点(2，1)和，则直线l的斜率为　　　　；若m>0，则直线l的倾斜角θ的取值范围为　　　　.  答案　－m－＋3　{θ|0°≤θ≤45°或90°<θ<180°} 解析　由题易知直线l的斜率存在，故θ≠90°. 则k＝tan θ＝＝－m－＋3. 当m>0时，tan θ＝－＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当m＝，即m＝1时，等号成立. 所以0°≤θ≤45°或90°<θ<180°， 即直线l的倾斜角θ的取值范围是{θ|0°≤θ≤45°或90°<θ<180°}. 15.(多选)如图，有一张长方形球台ABCD，AB＝3AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则tan α的值可以为(　　) A. B. C.1 D. 答案　AC 解析　因为AB＝3AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中， 当如图1时，A关于DC 的对称点为E，C关于AB的对称点为F， 根据直线的对称性可得，tan α＝＝1； 当如图2时，A关于BC 的对称点为G，C关于AD的对称点为E， 根据直线的对称性可得，tan α＝. 综上，tan α的值可以为1或. 16.(12分)已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求的取值范围. 解　的几何意义是过M(x，y)，N(2，1)两点的直线的斜率. 因为点M在函数x＋2y＝6的图象上， 且1≤x≤3， 所以可设该线段为AB，且A，B， 又kNA＝－，kNB＝， 所以的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $