5.2 解一元一次方程 第2课时（教学课件）-2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦“利用移项解一元一次方程”，通过“群羊逐草”古算题和图书分发情境导入，回顾合并同类项、等式性质等旧知，搭建从“ax=b”到“ax+b=cx+d”型方程的转化支架，引导学生理解移项必要性。 其亮点在于以实际问题（如制药废水排量、《九章算术》盈不足术）培养模型意识，通过古算题渗透数学文化发展数学眼光，分层例题强化运算能力与推理意识。学生能提升方程应用能力，教师可借助结构化流程与丰富素材实施高效教学。

解一元一次方程 第2课时 利用移项解一元一次方程 人教版七年级上册 2 第5章 一元一次方程 学 习 目 标 理解移项的意义，掌握移项的方法.学会运用移项解“ax+b=cx+d” 型的 一元一次方程，培养学生的化归思想，提高学生的运算能力 能够根据实际问题列出一元一次方程，进一步体会方程模型的作用及 应用价值，培养学生的模型意识. 通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模 型的重要性. 1 2 3 教学目标 | 用移项的方法解一元一次方程. 同一个量的两个不同的式子相等找 出实际问题中的等量关系， 重难点 重点 难点 知识回顾 练一练 我国古代数学名著《算法统宗》中，有一道“群羊逐草”的问题，大意是：牧童 甲在草原上放羊，乙牵着一只羊来，并问甲：“你的羊群有100只吗?”甲答： “如果在这群羊里加上同样的一群羊，再加上一群的一半，一群的四分之一， 再加上你的一只，就是100只.”问牧童甲赶着多少只羊?若设这群羊有x只，则 下列方程中正确的是 ( B) 等量关系模型：各部分量的和=总量 方程吗? 解：设这群羊有x只，由题意得 合并同类项 系数化为1 x= 3 6 你会解这个 知识回顾 1.用合并同类项解一元一次方程的步骤： 第一步：合并同类项，即将等号同侧的含未知数的项、常数项 分别合并，把方程转化为ax=b(a≠0)的形式； 第二步：系数化为1, 即在方程两边同时除以未知数的系数(或 乘未知数系数的倒数),将未知数的系数化为1,得到 解的形式 ● 转化 解方程 一元一次方程 2. 等式的性质是什么? 等式的性质1: 等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),结果仍相等. 等式的性质2: 等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为0的数，结果仍相等. 3. 利用等式的性质解一元一次方程的步骤： (1)利用等式的性质1,将方程的左边变形为只含未知数，右边只含常数项 (即kx=b) 的形式； (2)利用等式的性质2,将方程逐步转化为x=m(m 为常数)的形式. 知识回顾 班级学生数 图书总数 表示同一个量 的两个不同的 式子相等 本. | 创设情境 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果 (2)发放图书方式不同，图书总数变化吗? 两种方式中的图书总数不变 (3)如果设这个班有x 名学生，如何表示图书总数? (1)图书分发有几种方式? 方式1每人分3本，则剩余20本未知量 方式2 每人分4本，则还缺25本 方式1每人分3本，则剩余20本 方式2每人分4本，则还缺25本 3x+20=4x—25 它们之间有什么关系? 每人分4本，则还缺25本.这个班有多少学生? 问题分析 两种方式 (3x+20) (4x -25) 解：设这个班有x 名学生，由题意得： 3x+20=4x-25. (1) 怎样解这个方程? 它与上节课遇到的方程有何不同? 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果 每人分4本，则还缺25本.这个班有多少学生? 这批书的总数是一个定值， 表示它的两个式子应相等， 根据这一相等关系列得方程 3x+20=4x-25, 这个方程不 能直接合并同类项 创设情境 | 转化方法 利用等式性质1,两边同减去4x 3x+20-4x=4x—25-4x -x+20=-25 利用等式性质1,两边同减去20 -x+20-20=—25-20 -x =-45 探究点1 移项法则 如何求出方程3x+20=4x-25 的解? 两边都有含x的项(3x与4x) 3x+20=4x—25 两边都有常数项(20与-25). x=a 利用等式性质1,两边同加(-4x-20) 3x+20-4x-20=4x-25-4x-20 3x-4x =-25—20 新知讲授 思考 方程特征 转化目标 转化方法 新知讲授 探究点1 移项法则 思考 如何求出方程3x+20=4x-25 的解? 解： 3x+20=4x-25 等式两边减去4x 移 项 等式两边减20,得 3x -4x=-25-20. 合并同类项，得 -x =- 45 系数化为1,得 x=45 利用等式的性质解方程 这两项在用等式性质1变 形后出现了怎样的变化? 右边的4x变号后移到了左边 左边的20变号后移到了右边 新知讲授 探究点1 移项法则 思考 把某项从等式的一边移到另一边时，这项有什么变化? 移 项 原方程： 3x +20 4x 25 把等式一边的某项变号后移到另一 边，叫做移项. “移项”有“两变化”: (1) 位置变化： 变形后：3 x -25 -20 从方程的一边移到方程的另一边. (2) 符号变化： 注意：等式基本性质1是移项的依据 由正变负，由负变正。 移项 3x -4x=-25-20 合并同类项 系数化为1 -x=- 45 x=45 通过移项，含未知数的项与常数 项分别位于方程左右两边，使方 程更接近于x=m 的形式. 新知讲授 探究点1 移项法则 讨 论 利用移项解一元一次方程的步骤. 原方程： 3x+20=4x-25 解方程中“移项” 起了什么作用? 简化了解方程过程 概念辨析 下面的移项对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正? (1)从7+x=13,得到x=13+7 改：从7+x=13,得到x=13-7 (2)从5x=4x+8,得到5x-4x=8 √ (3)由5x=-8+x, 得到5x+x=-8(X 改：由5x=-8+x, 得到5x-x=-8 注意： 化简多项式交换两项位置时不改变项的符号； 解方程移项时必须改变项的符号. 探究点1 移项法则 新知讲授 用移项法解方程： 并说一说解方程的主要步骤 右边的含未知数项移到方程左边 解： 确定要移的项 移 项 合并同类项 系数化为1 新知讲授 讨 论 用移法项解一元一次方程 →方程左边的常数项移到方程右边 探究点2 1.移项： 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项. 2.移项的目的： 把所有含有未知数的项移到方程的左边， 把所有常数项移到方程的右边， 使得一元一次方程更接近“x=a”的形式. 3.用移项解方程的步骤及依据 ▶移项(等式的性质1) 把含未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边 ▶合并同类项(分配律) ▶系数化为1(等式的性质2) 新知讲授 探究点2 用移项解一元一次方程 归) 纳 小 结 例 1 解下列方程： (1)3x+7=32-2x; 解：移项，得 3x+2x=32-7 合并同类项，得 5x =25 系数化为1,得 x =5 (2) 解：移项，得 系数化为1,得 x=- 8 用移法项解一元一次方程 探究点2 合并同类项，得 典例评析 新知巩固 探究点1 1. 解下列方程： (1)3x=4x+3; 解：移项， 得 3x -4x=3 合并同类项，得 - x=3 系数化为1,得 x=-3 (3)6y-7=4y-5; 解：移项，得 6y-4y=-5+7 合并同类项，得 2y=2 系数化为1,得 y=1 教材P124练习 用移项解一元一次方程 (2)6x -8=4x; 解：移项，得 6x -4x=8 合并同类项，得 2x =8 系数化为1,得 x=4 (4) 解：移项，得 合并同类项，得 系数化为1,得 y=- 24 针对性训练 的废水排量各是多少? 问题中所求的未知数是什么?如何设未知数呢? 未知数：旧工艺的废水排量 新工艺的废水排量 因为新、旧工艺的废水排量之比为2:5 所以可设它们分别为2xt 和 5x t 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制 的最大量还多200t; 如用新工艺，则废水排量比环保限制的最 大量少100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为2:5,采用两种工艺 有比例条件时，一般 用间接设法，将每份 设为x 用不同方法表示同一个量 探究点3 问题分析 新知讲授 讨 论 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制 的最大量还多200t; 如用新工艺，则废水排量比环保限制的最 大量少100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为2:5,采用两种工艺 的废水排量各是多少? 新、旧工艺的废水排量与环保限制的最大量之间的关系 旧工艺废水排量-200=|环保限制的最大量 新工艺废水排量+100=环保限制的最大量 由环保限制的最大量的不同表示得等量关系 旧工艺废水排量-200 =新工艺废水排量+100 用不同方法表示同一个量 探究点3 问题分析 新知讲授 讨 论 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制 的最大量还多200t; 如用新工艺，则废水排量比环保限制的最 大量少100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为2:5,采用两种工艺 的废水排量各是多少? 解：设采用新、旧工艺的废水排量分别为2xt 和 5x t. 由题意得 5x-200=2x+100. 移项，得 5x-2x=100+200. 合并同类项，得 3x=300. 系数化为1,得 x=100. 所以 2x=200,5x=500. 答：采用新、旧工艺的废水排量分别为200t 和500 t. 用不同方法表示同一个量 探究点3 问题解决 新知讲授 讨 论 问题分析 数量关系 每人出8元时出钱总数-3=物品总价 每人出7元时出钱总数-3=物品总价 设共有x 人 出钱方式 每人出钱数 效果 人数 方式1 8元 还盈余3元 x 方式2 7元 还差4元 X 典例评析 例2.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共 买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何?译文为：现有 一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元.问 共有多少人?这个物品的价格是多少?请解答上述问题. 同一个量用不 同方法表示 物品总价 8x-3 7x+4 探究点3 用不同方法表示同一个量 例2.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共 买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何?译文为：现有 一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元.问 共有多少人?这个物品的价格是多少?请解答上述问题. 问题解决 解：设共有x 人.根据题意，得： 8x-3=7x+4. 移项，得8x-7x=4+3. 合并同类项，得 x=7. 所以物品的价格为8×7-3=53(元). 答：共有7人，物品的价格为53元. 用不同方法表示同一个量 探究点3 典例评析 从与李明年龄的关系看 李明年龄的3倍 3x 解：设现在李明的年龄为x 岁. 根据题意，得28+x=3x. 解得 x= 14. 答：现在李明的年龄为14岁. 新知巩固 探究点2 列方程解决用不同方法表示同一个量的问题 3. 李明出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是李明年龄的3倍，求现在李明的年龄. 不同方法表示同一个量 问题解决 教材P124练习 问题分析 设现在李明的年龄为x 岁 从时间变化看 李明父亲现在的年龄 28岁+从李明出生到现在的年数 28+x 我国古代数学著作《九章算术》的“方程” 章 ，更早使用了“对消”和“还原”的方法。 《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之 一 ，成书于东汉时期(约公元1世纪),系统 总结了先秦至汉代的数学成就，标志着中国古 代数学体系的形成。 约820年，阿拉伯数学家花拉子米著有《代数学》(又 称《还原与对消计算概要》),其中， “还原”指的是 “移项”,“对消”隐含着移项后合并同类项 数難價各幾何答曰九人難惯火十 会有有盐鼻人出九盈二+ 一人出六不足十六問人 各幾何答自七人物惯五十三 今有共買物人出八盈三人出七不足四間人数物價 盈不否以御隐雜互見 唐 李 淳 風 注 释 九章箕衔卷七 骨 劉 薇 注 欽定凹全書書 列方程解决用不同方法表示同一个量的问题 平 上 禾 二 秉 中 禾 三 秉 下 禾 一 秉 實 三 十 [ 工 禾 一 秉 中 禾 二 秉 下 禾 三 秉 實 只 十 六 C 上 中 下 禾 實 一 秉 各 幾 何 数学史话 探究点2 新知讲授 个 有 上 禾 三 秉 中 禾 二 秉 下 禾 一 秉 實 三 程 榛以 正御 错 九 九 算 術 卷 八 答日 溯 源 m 1 申 唐 4 7 四 J 典例评析 例3.当x= -2 时，式子2x-1的值比式子5x+6的值小1. 解：根据题意可得：2x-1= 5x+6-1, 移项得，2x -5x=5+1, 合并同类项得，-3 x=6, 系数化为1得，x=- 2. 把x=9 代入4a+9=4(x-3)-5a 4a+9=4×(9-3)-5a 4a+9=24-5a 4a+5a=24-9 9a=15 解 ： ? ?x-2=3 x+16 移项得，5x-3x=16+2, 合并同类项得，2x=18, 系数化为1得，x=9. 的解相同，贝 若[ml]表示不大于m的最大整数，那么 例4.已知关于x的方程5x-2=3x+16 的解与方程4a+9=4(x-3)-5a 典例评析 所以 得： 2.解根据本章引言中的问题列出的方程1.2x+1=0.8x+3. 1.2x+1=0.8x+3 解：移项，得 1.2x-0.8x=3-1 合并同类项，得 0.4 x=2 系数化为1,得 x=5 新知巩固 教材P124 | 检测反馈 1.通过移项将下列方程变形，正确的是 ( C) A.由5x-7=2,得5x=2-7 B.由6x-3=x+4,得3-6x=4+x C.由8-x=x-5,得-x-x=-5-8 D.由x+9=3x-1,得3x-x=-1+9 2.解关于x的方程 时，下面的变形正确的是 ( C) A. 解：移项可知： 所以 | 检测反馈 3.若代数式3x+2 与代数式x-10 的值互为相反数，则x=2 解：因为代数式3x+2 与代数式x-10 的值互为相反数， 所以3x+2+x-10=0, 整理得：4x -8=0, 移项得：4 x = 8 解得：x =2, 4.解下列一元一次方程： (1)7-2x=3-4x. 解：移项-2x+4x=3-7 2x=- 4 x =-2 (3) 解：移项 (2)1.8t=30+0.3t. 解：移项1.8t-0.3t=30 1.5t= 30 t=20 -2x=- 4 x=2 检测反馈 解：移项 (4) -x=-4 | | 检测反馈 5.天平的左边放2枚硬币和13克砝码，右边放6枚硬币和5克 砝码，此时天平恰好平衡.每枚硬币的质量是多少克? 解：设硬币的质量为x克，由题意得： 2x+13=6x+ 5 2x-6x=5-13 - 4x =-8 x=2 答：每枚硬币的质量是2克 6.一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍，如果把个 位上的数字与十位上的数字对调，得到的数比原数小36,求原来 的两位数. 解：设原来的两位数个位上的数字为x, 则十位上的数字为2x. 根据题意，得10×2x+x-36=10x+2x, 即 20 x+x- 36=10x+2x. 为何乘以10? 移项，得20x+x-10x-2x=36. 检测反馈 | 2.明代数学家程大位所著的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得 客分银，不知人数不知银.七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为： 有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还 差八两.请问：所分的银子共有 46_ 两.(注：明代时1斤=16两，故有“半斤 八两”这个成语) 解析：设有x人.依题意，得 7x+4=9x-8. 移 项 ，得 7x-9x=-8-4. 合并同类项，得-2x=-12. 系数化为1,得x=6. 所以所分的银子共有7x+4=42+4=46(两). 拓展提升 真题感知 1. (2024秋 ·长沙期中)当x=3 时，代数式2x+5 与代数式 4x- 1的值相等。 解：根据题意可得：2x+5=4x-1, 移项得，2x -4x=-1-5, 合并同类项得，-2 x=-6, 系数化为1得，x=3. 概念 把原方程的某一项改变符号后，从方程的 一边移到另一边，这种变形称为移项。 移项的依据是等式的性质1. 移项 移项 注意：移项一定要变符号 解形如 “ax+b=cx+d” 的 方程的一般步骤 合并同类项 课堂小结 系数化为1 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审题 找等量关系 设未知数 列方程 写出答案 检验 解方程 注意：1.列一元一次方程解决实际问题的关键是审题，寻找等量关系. 各部分量的和=总量 同一个量的不同表示方式相等 2. 求出方程的解后要进行检验(检验的过程在草稿纸上进行),既要 检验所求出的解是不是方程的解，又要检验所求出的解是否符合实 际意义. 课堂小结 4.王芳和张华同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘8kg, 张华平均每小 时采摘7kg.采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出0.25 kg 给了张华， 这时两人的樱桃一样多，她们采摘用了多少时间? 解：设她们采摘用了xh. 根据题意，得 8x-0.25=7x+0.25. 解得x=0.5. 答：她们采摘用了0.5 h. 课后练习 练习 教材P124 课后练习 1. 解下列方程： (3)3x+5=4x+1; 解：移项，得 3x-4x=1-5. 合并同类项，得 一x=- 4. 系数化为1,得 x=4. (4)9-3y=5y+5. 解：移项，得 -3y-5y=5-9. 合并同类项，得 —8y=-4. 系数化为1,得 y=0.5. 习题 5.2 课本p130页 课后练习 习题 5.2 课本p130页 4. 用方程解答下列问题： (1) x 的5倍与2的和等于x 的3倍与4的差，求x; 解：根据题意，得 5x+2=3x-4. 解得x =- 3. (2) y 与-5的积等于y 与5的和，求y; 根据题意，得-5y=y+5. 解得 课后练习 习题 5.2 课本p130页 6. 几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下6棵树苗未 种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗.求参加种树的人数. 解：设参加种树的有x 人.根据题意，得： 10x+6=12x-6. 解得x =6. 答：参加种树的有6人. 4.28) x> 0; 数学使世界更清晰! 人教版七年级上册 3.25 &caeg s,6(m),(→A; i inx0 ( 3 1:.2) ¹ 队13 43 第3439% : 4.235 , 4,279, 4.282 . 4 卦 护 4*' $