5.2-解一元一次方程2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦“解一元一次方程”，涵盖合并同类项、移项、去括号、去分母等核心解法，通过现实情境（如计算机购买、数列求和）导入，以等式性质为基础，构建从具体问题到抽象方法的学习支架，衔接复习与新知。 其亮点在于以情境问题驱动学习，如例4环保废水排量问题培养数学眼光，通过推理步骤（如移项依据等式性质1）发展数学思维，规范解题步骤强化数学语言表达。总结步骤清晰，助力学生形成结构化认知，教师可高效教学，学生提升应用与探究能力。

一元一次方程 5.2 解一元一次方程 七年级数学上册 · 人教版 ✨ 本课目标：掌握移项、合并同类项及系数化为1的解法 1.7.2013 同学们好！今天我们将继续学习第五章《一元一次方程》。上节课我们学习了等式的性质，今天我们将利用这些性质来学习如何解一元一次方程。这是本章的重点和难点，掌握了它，你就能解决各种复杂的方程问题。 ‹#› 复习回顾：等式的性质 01 等式的性质 1 · 加减同量 等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。 若 a = b，则 a ± c = b ± c 02 等式的性质 2 · 乘除同量 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 若 a = b，则 ac = bc；若 a = b 且 c≠0，则 = 课堂思考：进阶应用 利用上述等式的基本性质，尝试求解更复杂的一元一次方程： 3x + 5 = 5x - 7。思考每一步变形的依据是什么？ 1.7.2013 在开始新知识之前，我们先来回顾一下等式的两个基本性质。性质1是关于加减的，性质2是关于乘除的。这些性质是我们解方程的理论基础。那么，对于像3x+5=5x-7这样更复杂的方程，我们该如何利用这些性质来求解呢？ ‹#› 情境引入（一）：合并同类项 问题：某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍。前年这所学校购买了多少台计算机？ 解：设前年购买计算机x台。 列方程：x + 2x + 4x = 140 合并同类项：7x = 140 系数化为1：x = 20 1.7.2013 本节课我们将分为五个部分。首先，我们会快速回顾上节课学习的等式性质。然后，我们将依次学习解一元一次方程的三个关键步骤：移项、去括号和去分母。接着，通过一个完整的例题，掌握解题的全过程。最后进行总结和练习。 ‹#› 合并同类项的作用：把含有未知数的项合并成一项，使方程变得更简单，便于求解。 例题1：解下列方程 (1) 2x - x = 6 - 8 (2) 7x - 2.5x + 3x - 1.5x = -15×4 - 6×3 解：合并同类项，得 -0.5x = -2 系数化为1，得 x = 4 解：合并同类项，得 6x = -60 - 18 6x = -78 系数化为1，得 x = -13 1.7.2013 本页我们进入新知探究，学习合并同类项在解方程中的应用。首先明确合并同类项的作用是简化方程，让求解更便捷。接着通过两个例题，展示了如何合并同类项、系数化为1来解一元一次方程，步骤清晰，帮助大家掌握核心方法。 ‹#› 例2　有一列数1，-3，9，-27，81，-243，…，其中第n个数是(-3)n-1（n＞１），如果这列数中某三个相邻数的和是-1701，那么这三个数各是多少？ 解：设所求三个数中的第1个数是x，则后两个数分别是-3x，9x. 由三个数的和是-1701，得x-3+9x= -1701 合并同类项，得7x＝-1701. 系数化为１，得x＝-243. 所以-3x＝729， 9x＝-2187. 答：这三个数是-243，729，-2187. 1.7.2013 本页我们进入新知探究，学习合并同类项在解方程中的应用。首先明确合并同类项的作用是简化方程，让求解更便捷。接着通过两个例题，展示了如何合并同类项、系数化为1来解一元一次方程，步骤清晰，帮助大家掌握核心方法。 ‹#› 课堂练习一 1.（1） 5x-2x= 9； （2） + = 7； 解：（1）合并同类项，得3x = 9 系数化为1，得 x = 3 解：（2）合并同类项， 得2x = 7 系数化为1，得 x = 1.7.2013 本页我们进入新知探究，学习合并同类项在解方程中的应用。首先明确合并同类项的作用是简化方程，让求解更便捷。接着通过两个例题，展示了如何合并同类项、系数化为1来解一元一次方程，步骤清晰，帮助大家掌握核心方法。 ‹#› （3）-3x+0.5x=10； （4）7x-4.5x=2.5×3-5. 解：（3）合并同类项，得-2.5x = 10 系数化为1，得 x = -4 解：（4）合并同类项，得2.5x =2.5 系数化为1，得 x = 1 2.某工厂的产值连续增长，2022年是2021年的1.5倍，2023年是2022年的2倍，这三年的总产值为550万元.2021年的产值是多少万元？ 解：设2021年的产值是x. 根据题意.得x+1.5x+1.5x×2=550. 解得x=100 答：2020年的产值是100万元。 3.某洗衣机厂今年计划生产Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共25500台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为1：2：14.洗衣机厂计划生产这三种洗衣机各多少台？ 解：设Ⅰ型洗衣机计划生产x台，则Ⅱ型2x台，Ⅲ型14x台. 根据题意.得x+2x+14x=25500 解得x=1500 所以2x=3000，14x=21000 答：Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别计划生产1500台、3000台、21000台 新知探究（二）：移项 观察方程：3x + 20 = 4x - 25，为了求解，我们需要将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，这就需要用到“移项”的方法。 第一步：消去右侧未知数项 根据等式性质1，两边同时减去 4x，消去右边的 4x： 3x + 20 - 4x = 4x - 25 - 4x 整理得到：-x + 20 = -25 第二步：消去左侧常数项 根据等式性质1，两边同时减去 20，消去左边的 +20： -x + 20 - 20 = -25 - 20 整理得到：-x = -12 移项的定义 把等式一边的某项变号后，移到另一边，这种变形叫做移项。 移项的依据 等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数或整式，等式依然成立。 黄金法则（必记） “移项要变号”，这是解方程的关键！从等号一边移到另一边，一定要改变该项的符号。 1.7.2013 我们来看这个方程3x+5=5x-7。为了把未知数x都放到一边，我们可以在两边同时减去5x，这相当于把右边的5x变号后移到了左边。然后，我们再在两边同时减去5，相当于把左边的+5变号后移到了右边。这个过程就叫做“移项”。大家一定要记住，移项必须变号。 ‹#› 新知探究（二）：移项 例题3讲解 (1) 解方程：3x + 7 = 32 - 2x 例题3讲解 (2) 解方程：x - 3 = x + 1 解：移项，得 3x + 2x = 32 - 7 合并同类项，得5x = 25 系数化为1，得x = 5 解：移项，得 x - x = 1 + 3 合并同类项，得 - x = 4 系数化为1，得x = -8 1.7.2013 如果方程里有括号，我们就要先去括号。依据是乘法分配律。比如这个方程4(x-1)=2(x+3)，去括号后得到4x-4=2x+6。然后再进行移项、合并同类项，最后系数化为1，得到x=5。大家要特别注意，如果括号前面是减号，去掉括号后，里面的每一项都要变号。 ‹#› 例4　某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100t．新、旧工艺的废水排量之比为2：5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？ 解：设采用新、旧工艺的废水排量分别为2x t和5x t. 根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得 5x-200＝2x+100 移项，得5x－2x＝100+200 合并同类项，得3x=300 系数化为１，得x=100 所以2x=200，5x=500. 答：采用新、旧工艺的废水排量分别为200 t和500 t. 1.7.2013 如果方程里有括号，我们就要先去括号。依据是乘法分配律。比如这个方程4(x-1)=2(x+3)，去括号后得到4x-4=2x+6。然后再进行移项、合并同类项，最后系数化为1，得到x=5。大家要特别注意，如果括号前面是减号，去掉括号后，里面的每一项都要变号。 ‹#› 课堂练习二 1.（1） 3x=4x+3； （2）6x-8=4x； 解：（1）移项，得 3x -4x = 3 合并同类项，得-x = 3 系数化为1，得x = -3 解：（2）移项，得 6x -4x = 8 合并同类项，得2x = 8 系数化为1，得x = 4 1.（3） 6y-7=4y-5； （4）y-6=y； 解：（3）移项，得 6y-4y = -5+7 合并同类项，得2y = 2 系数化为1，得y = 1 解：（4）移项，得 y - y=6 合并同类项，得 - y = 6 系数化为1，得y = -24 3.李明出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是李明年龄的3倍．求现在李明的年龄． 解：设现在李明得年龄为x岁， 根据题意得：3x=28+x. 解得x=14 答：李明现在得年龄为14岁。 4.王芳和张华同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘8 kg，张华平均每小时采摘7 kg.采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出0.25kg给了张华，这时两人的樱桃一样多．她们采摘用了多长时间？ 解：设她们采摘了x小时， 根据题意有：8x-0.25=7x+0.25 解得x=0.5 答：采摘用了0.5小时 情境引入（三）：去括号 📝 情境问题 某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000 kW·h，全年的用电量是150000 kW·h。这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少？ 📊 方程与求解 设上半年平均每月用电量为 x kW·h， 则下半年每月用电量为 (x - 2000) kW·h。 列方程：6x + 6(x - 2000) = 150000 去括号：根据乘法分配律，将括号外的系数乘进括号内，注意符号： 6x + 6x - 12000 = 150000 1.7.2013 如果方程里有分母，我们就要先去分母。方法是在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数。比如这个方程，分母是2和4，最小公倍数是4。我们两边都乘以4，注意不要漏乘不含分母的项，比如-1和2。去分母后，方程就变成了我们熟悉的形式，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤来解。 ‹#› 新知探究（三）：去括号 去括号的依据：乘法分配律(a(b+c)=ab+ac。 注意事项：如果括号前是“-”号，去括号时括号内各项都要变号 a-(b+c)=a-b-c)。 例题5讲解：解下列方程 (1) 2x - (x + 10) = 5x + 2(x - 1) (2) 3x - 7(x - 1) = 3 - 2(x + 3) 解：去括号： 2x - x - 10 = 5x + 2x - 2 移项：2x - x - 5x - 2x = -2 + 10 合并同类项：-6x = 8 系数化为1：x = - 解：去括号： 3x - 7x + 7 = 3 - 2x - 6 移项：3x - 7x + 2x = 3 - 6 - 7 合并同类项：-2x = -10 系数化为1：x = 5 1.7.2013 本页我们重点探究“去括号”这一步骤。首先要明确，去括号的依据是乘法分配律。特别要注意，如果括号前面是负号，去掉括号后，括号里的每一项都要改变符号，这是同学们最容易出错的地方。接下来我们通过两个例题来巩固。第一个方程，去括号后要注意括号前的负号，第二项要变号；第二个方程同理，去括号时要正确应用分配律和符号规则。解完后可以把解代回原方程检验是否正确。 ‹#› 例6　一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2 h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度． 解：设船在静水中的平均速度为x km/h，则顺水速度为 (x+3) km/h， 逆水速度为 (x-3) km/h. 根据往返路程相等，列得方程2(x+3)＝2.5(x-3) 去括号，得2x+6=2.5x-7.5 移项及合并同类项，得-0.5x=-13.5 系数化为１，得x=27 答：船在静水中的平均速度为27 km/h. 1.7.2013 如果方程里有括号，我们就要先去括号。依据是乘法分配律。比如这个方程4(x-1)=2(x+3)，去括号后得到4x-4=2x+6。然后再进行移项、合并同类项，最后系数化为1，得到x=5。大家要特别注意，如果括号前面是减号，去掉括号后，里面的每一项都要变号。 ‹#› 1.（1） 2(x+3)=5x； （2）4x+3(2x-3)=12-(x+4)； 解：（1）去括号： 2x +6= 5x 移项：2x - 5x = -6 合并同类项：-3x =-6 系数化为1：x =2 解：（2）去括号： 4x+6x-9=12-x-4 移项：4x+6x+x = 12-4+9 合并同类项：11x =17 系数化为1：x = 课堂练习三 1.（3） 6(x-4)+2x=7-(x-1)； （4）2-3(x+1)=1-2(1+0.5x) 解：（3）去括号： 3x -24+2x= 7- x+1 移项：3x+2x+x = 7+1+24 合并同类项：x =32 系数化为1：x =6 解：（4）去括号： 2-3x-3=1-2-x 移项：-3x+x=1-2+3-2 合并同类项：-2x=0 系数化为1：x =0 2.一个长方形的长减少2 cm，宽增加2 cm后，面积保持不变．已知这个长方形的长是6 cm，求它的宽. 解：设这个长方形得宽为x cm. 根据题意得：6x=(6-2)(x+2) 解得x=4 答：这个长方形得宽是4 cm. 3.编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20 m.已知编织1个大号中国结需用绳4 m，编织1个小号中国结需用绳3 m.问这两种中国结各编织了多少个． 解：设大号得中国结为x个，根据题意4x+3(6-x)=20 解得x=2，6-x=4 答：大号得中国结编织了2个，消耗的中国结编织了4个。 情境引入（四）：去分母 问题情境： 客车和货车同时从王家庄出发，客车的速度是70 km/h，货车的速度是50 km/h。客车到翠湖后立即返回，在距离翠湖70 km处与货车相遇。 王家庄距翠湖的路程有多远？ 1. 列出方程： = 2. 去分母步骤： 方程两边同乘各分母的最小公倍数15，消去分母： 5(x - 50) = 3(x + 70) 1.7.2013 我们来总结一下解一元一次方程的一般步骤，一共有五步：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。为了方便大家记忆，我编了一个口诀：“去分母，去括号，移项变号要记牢。同类项，合并好，最后系数化为1。” 大家可以跟着我一起念一遍。 ‹#› 新知探究（四）：去分母 💡 理论基石 依据等式的性质2：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式依然成立。这是消除分母、简化方程的关键。 例7（1）： - 1 = 2 + 01 同乘去分母 分母2和4的最小公倍数是4，两边同乘4消去分母： 2(x+1) - 4 = 8 + (2-x) 02 去括号与移项 展开并整理同类项： 2x + 2 - 4 = 8 + 2 - x 移项得：3x = 12 03 求解与检验 系数化为1得解： x = 4 最后代入原方程，验证等式成立。 🚫 易错警示：切勿漏乘！ 去分母时，方程两边的每一项（包括不含分母的常数项，如示例中的 -1 和 2）都要乘最小公倍数，否则会导致计算结果错误。 1.7.2013 如果方程里有分母，我们就要先去分母。方法是在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数。比如这个方程，分母是2和4，最小公倍数是4。我们两边都乘以4，注意不要漏乘不含分母的项，比如-1和2。去分母后，方程就变成了我们熟悉的形式，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤来解。 ‹#› 例7（2）：3x+=3-. 解：（2）去分母（方程两边乘6），得 18x+3(x-1)=18-2(2x-1). 去括号，得18x+3x-3=18-4x+2 移项得18x+3x+4x=18+2+3 合并同类项得25x=23 系数化为1，得x= 1.（1）x=(x-2)； （2） - 2= 解：（1）去分母，得 19x=21(x-2) 去括号，得19x=21x-42 移项得19x-21x=-42 合并同类项得-2x=-42 系数化为1，得x=21 解：（2）去分母，得 2x+2-8=x 去括号，得2x-x=8-2 移项得x=6 课堂练习四 1.（3）= - ； （4） - 1= - 解：（3）去分母，得 3(5x-1)=6(3x+1)-4(2-x) 去括号，得 15x-3=18x+6-8+4x 移项得15x-18x-4x=6-8+3 合并同类项得-7x=1 系数化为1，得x= 解：（3）去分母，得 10(3x+2)-20=5(2x-1)-4(2x+1) 去括号，得 30x+20-20=10x-5-8x-4 移项得 30x-10x+8x=-5-4+20-20 合并同类项得28x=-9 系数化为1，得x= 2.伦敦的不列颠博物馆保存着一件极其珍贵的文物———莱茵德纸草书.这是古埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作．书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33．这个数是多少？请你用方程解决这个问题． 解：设这个数是x 根据题意x+x++x=33 解得x= 答：这个数是. 3. 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向匀速行驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1 h经过B地．求A，B两地相距的路程． 解：设A，B两地相距的路程为x km 根据题意有 - = 1 解得x=420 答：A，B两地相距的路程为420 km 归纳总结：解一元一次方程的一般步骤 1. 去分母 2. 去括号 3. 移项 4. 合并同类项 5. 系数化为1 1.7.2013 我们再来看两道需要去分母的方程。第三题比较简单，分母是2和3。第四题稍微复杂一些，分母是3、6和4，最小公倍数是12。大家在去分母时一定要注意不要漏乘。 ‹#› $