5.2.3 简单复合函数的导数（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“简单复合函数的导数”，通过分析y=(3x-1)^2等实例引入复合函数概念，对比展开求导与复合求导过程引出法则，衔接已学基本函数求导知识，搭建递进式学习支架。 其亮点在于结合实例探究与分层典例（如例4分解函数求导），通过方法技巧总结（四步求导法）和易错警示，培养学生用数学眼光抽象函数结构，用数学思维推理求导逻辑，帮助学生掌握核心方法，助力教师高效开展教学。

苏教版2019选择性必修第一册•高二 第五章 导数及其应用 5.2　导数的运算 5.2.3　简单复合函数的导数 学 习 目 标 1 2 3 了解复合函数的概念。 掌握复合函数的求导法则. 能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导. 观察函数 y＝(3x－1)2，我们发现，如果记 u＝3x－1，那么 y＝u2，从而函数 y＝(3x－1)2 就可以看成是由函数 y＝u2 和 u＝3x－1 经过“复合”得到的，即 y 可以经过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数. 一般地，对于两个所数 y＝f(u) 和 u＝g(x)，如果通过中间变量 u，y 可以表示成关于 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u) 和 u＝g(x) 的复合函数 ，记作 y＝f(g(x)). 新知探究 那么，怎样求符合函数的导数呢? 为了求复合函数的导数，我们先考察函数 y＝(3x－1)2，将 y 关于 x 的导数记为 y . 一方面，y′x＝ ((3x－1)2)′＝ (9x2－6x＋1)′＝18x－6＝6(3x－1). 另一方面，将 y＝(3x－1)2 看成由 y＝u2 及 u＝3x－1 复合而成，并将 y 关于 u 的导数记为 y′u，即 y′u＝(u2)′＝2u. 同理，将 u 关于 x 的导数记为 u′x，即 u′x＝ (3x－1)′＝3. 因而有y′x＝6(3x－1)＝2(3x－1)×3＝2u×3，即 y′x＝y′u·u′x. 新知探究 再考察函数 y＝sin 2x. 一方面，y′x＝ (sin 2x)′＝ (2sin x cosx)′＝2(sin x)′cosx＋2sinx(cosx)′ ＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x. 另一方面，将 y＝sin2x 看成由 y＝sinu 及 u＝2x 复合而成， 仿上可得，y′u＝ (sinu)′＝cos u，u′x＝ (2x)′＝2. 因而也有 y′x＝y′u・u′x . 新知探究 一般地， 对于由函数 y＝f(u) 和 u＝g(x) 复合而成的函数 y＝f(g(x))，它的导数与函数 y＝f(u)，u＝g(x) 的导数间的关系为 y′x＝y′u · u′x. 特别地，若 y＝f(u)，u＝ax＋b，则 y′x＝y′u·u′x，即 y′x＝y′u·a. 新知归纳 典例分析 方法技巧 解题的关键：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构； (2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则； (3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导. 求下列函数的导数： (1) y＝(2x－3)3； (2) y＝ln(5x＋1). 例 4 解：（1）可由及复合而成，所以． （2）可由及复合而成，所以． 教材P191 例题 例 5 求下列函数的导数： (1)； (2)． 解：（1）因为由及复合而成， 所以． （2）因为由及复合而成， 所以． 方法技巧 求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数； ②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁. 教材P192 例题 典例分析 1.指出以下函数可以分别看作是由哪两个函数复合而成的： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）原函数可看作与复合而成. （2）原函数可看作与复合而成. （3）原函数可看作与复合而成. （4）原函数可看作与复合而成. 教材P192 练习 2.求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）因为，所以 （2） （3）因为，所以 （4）因为，所以 教材P192 练习 3. 求曲线 y＝sin 2x 在点 P(π，0) 处的切线方程. 解：由题设，，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即 4.利用，，证明：． 解：由题设， ，得证. 教材P192 练习 5.求下列函数的导数： (1)； (2)． 解：（1）. （2）. 教材P192 练习 简单复合函数的导数 题型一 题型探究 1.（多选）［江苏镇江2025开学考试］下列求导运算正确的是( ) CD A. B. C. D. 解析 对于A选项， ，A错误； 对于B选项， ，B错误； 对于C选项， ，C正确； 对于D选项， ，D正确.故选 . 2.已知函数，且，求实数 的值. 【解】 , 由，解得 . 3.曲线在点 处的切线的斜率等于( ) C A. B. C.2 D.1 简单复合函数的导数的应用 题型二 题型探究 解析 ，故曲线在点 处的切线斜率为 . 4.［江苏淮安淮阴中学2025月考］已知是曲线上一点，直线经过点 ， 且与曲线在点处的切线垂直，则实数 的值为( ) C A. B. C. D. 解析 由，求导得 ，直线，即为，其斜率 . 设，由题意可得解得 故选C. 14 （1）求复合函数的导数的步骤 （2）求复合函数的导数的注意点:①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁. 方法技巧 5.［江苏盐城2025高二期中］经研究发现某生物种群数量的增长规律可以用逻辑斯谛模型 刻画，其中是该种群的内禀增长率，若，则时， 的瞬时变化率为 ______. 0.04 简单复合函数的导数的应用 题型二 题型探究 解析 当时，，则 ， 当时，的瞬时变化率为 . 6.曲线在点处的切线与直线的距离为，求直线 的方程. 【解】， . 曲线在点处的切线方程为，即 . 由题意知直线与切线 平行. 设满足题意的直线的方程为 .根据题意得，解得或 . 满足题意的直线的方程为或 16 关于复合函数导数的应用及其解决方法 （1）应用:求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率 求切点,以及涉及切线问题的综合应用. （2）方法:先求出复合函数的导数,若切点已知,则求出切线 斜率、切线方程；若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜 率,再根据条件求切点坐标. 方法技巧 7.若，则 ( ) A A. B. C. D. 求复合函数的导数时忽略中间变量致错 题型三 题型探究 解析 ， .故选A． 易错警示 本题中设，则函数是复合函数，其导数为 .注意将 代入分母并且对其求导数后代入分子. 18 课堂小结 1.知识清单： (1)复合函数的概念. (2)复合函数的求导法则. (3)复合函数的导数的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化. 感谢聆听! $