第1章 1.2.1 直线的点斜式方程（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦直线的点斜式与斜截式方程，以斜拉桥实例导入，通过斜率公式推导点斜式，延伸至斜截式，构建从具体情境到抽象方程的学习支架，衔接斜率公式与后续直线方程应用。 其亮点在于以问题驱动培养数学思维，如“确定斜拉索位置”引导推导，结合实例（如旋转直线求方程）强化数学语言表达。分层练习助力学生掌握，提升逻辑推理与应用能力，为教师提供系统资源，提高教学效率。

1.2.1 直线的点斜式方程 第1章　直线与方程 <<< 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程. 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程的形式特点和适用范围. 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题. 4.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 学习目标 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥所在直线为x轴， 导 语 桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线.已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索的位置确定吗？ 一、直线的点斜式方程 二、直线的斜截式方程 课时对点练 三、点斜式直线方程的应用 随堂演练 内容索引 直线的点斜式方程 一 提示　k＝，即y－y1＝k(x－x1). 给定一个点P1(x1，y1)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎样将直线上不同于P1的所有点的坐标P(x，y)满足的关系式表达出来？ 问题1 我们把方程_______________称为过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l的方程. 方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的____________. y－y1＝k(x－x1) 点斜式方程 知识梳理 (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0. 注 意 点 <<< 8 　　 (课本例1)已知一直线经过点P(－2，3)，斜率为2，求这条直线的方程. 例 1 由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y－3＝2(x＋2)， 即2x－y＋7＝0. 解 9 　　 写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(2，5)，倾斜角为45°； 例 1 因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的方程为y－5＝x－2. 解 10 (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3，4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程； 直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°. 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k'＝tan 135°＝－1. 所以直线的方程为y－4＝－(x－3). 解 11 (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行； 由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0， 所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0， 即y＝－1. 解 (4)经过点D(1，1)，且与x轴垂直. 由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程. 解 12 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1). (2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外. 反 思 感 悟 13 求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x倾斜角的2倍； 跟踪训练 1 ∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－2－3＝0. 解 14 (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； 与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示. 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. 解 15 (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点. 过P(－2，3)，Q(5，－4)两点的直线斜率 kPQ＝＝－1. ∵直线过点P(－2，3)， ∴由直线的点斜式方程可得直线方程为 y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 解 16 二 直线的斜截式方程 提示　y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b. 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程. 问题2 1.直线l与y轴的交点(0，b)的__________称为直线l在y轴上的截距. 2.方程__________叫作直线的斜截式方程. 纵坐标b y＝kx＋b 知识梳理 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距. (2)截距是一个实数，它是直线与x轴交点的横坐标或与y轴交点的纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程. 注 意 点 <<< 20 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y轴上的截距是－3； 例 2 由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝3x－3. 解 (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； ∵倾斜角是60°， ∴斜率k＝tan 60°＝，由斜截式可得方程为y＝x＋5. 解 21 (3)过点A(－1，－2)，B(－2，3). 斜率为k＝＝－5，由点斜式得y－3＝－5(x＋2)， 化为斜截式为y＝－5x－7. 解 22 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可. 反 思 感 悟 23 (1)写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程； 跟踪训练 2 易知k＝－1，b＝－2， 故直线的斜截式方程为y＝－x－2. 解 (2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线的斜截式方程； 由于直线的斜率k＝－，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－(x－6)，化成斜截式为y＝－x＋4. 解 24 (3)已知直线的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标. 直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0，1). 解 25 点斜式直线方程的应用 三 (1)已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点 A.(1，3) B.(－1，－3) C.(3，1) D.(－3，－1) 例 3 √ 直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3，1). 解析 27 (2)直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是　 　　　 　　　.  令x＝0，得y＝k.令y＝0，得x＝－2k. 所以|k|·|－2k|≥1，即k2≥1. 所以k≤－1或k≥1. 解析 (－∞，－1]∪[1，＋∞) 28 若本例(1)中直线不经过第四象限，求k的取值范围. 延伸探究 1 直线kx－y＋1－3k＝0可化为y＝kx＋1－3k， ∵直线不经过第四象限， ∴解得0≤k≤. 解 29 若本例(1)中直线与x，y轴正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值. 延伸探究 2 30 直线kx－y＋1－3k＝0可化为y＝kx＋1－3k， 当x＝0时，y＝1－3k>0，k<， 当y＝0时，x＝>0，k>或k<0， 综上，k<0， S△AOB＝(1－3k)· ＝＝－k＋3－ ≥2＋3＝6， 当且仅当－＝－，即k＝－时取等号， 所以△AOB面积的最小值为6. 解 31 (1)解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0). (2)在求面积时，要将截距转化为距离. 反 思 感 悟 32 1.知识清单： (1)直线的点斜式方程. (2)直线的斜截式方程. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.方程y＝k(x－2)表示 A.过点(－2，0)的所有直线 B.过点(2，0)的所有直线 C.过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线 D.过点(2，0)且除去x轴的所有直线 √ 易验证直线过点(2，0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴. 解析 1 2 3 4 2.已知直线l的方程为y＋(x－1)，则l在y轴上的截距为 A.9 B.－9 C. D.－ √ 由y＋(x－1)，得y＝x－9， ∴l在y轴上的截距为－9. 解析 1 2 3 4 3.若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有 A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0 直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限， 由图知，k>0，b<0. 解析 √ 1 2 3 4 4.(多选)已知直线l：y＝x－1，则 A.直线l过点(，－2) B.直线l的斜率为 C.直线l的倾斜角为60° D.直线l在y轴上的截距为1 √ √ 1 2 3 4 对于A，将(，－2)代入y＝x－1，可知不满足方程，故A不正确； 对于B，由y＝x－1，知直线l的斜率为，故B正确； 对于C，设直线l的倾斜角为α，0°≤α<180°，则tan α＝，可得α＝60°，故C正确； 对于D，由y＝x－1，令x＝0，可得y＝－1，则直线l在y轴上的截距为－1，故D不正确. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B B B BC C 题号 7 8 答案 y＝x－6或y＝－x－6 3　－ 题号 11 12 13 14 15 答案 BC B C y－(x－1) D 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知直线方程的斜率存在且不为0，设直线方程为y－10＝k(x＋10)， 令y＝0，则x＝－－10，令x＝0，则y＝10k＋10， ∵直线与x轴交点的横坐标是其在y轴上的截距的4倍， ∴－－10＝4(10k＋10)，解得k＝－或k＝－1， ∴直线方程为y＝－x或y＝－x＋. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)， 令y＝0，得x＝， 由三角形的面积为2，得××2＝2， 解得k＝. 可得直线l的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0. 综上可知，直线l的方程为x＝2或x－2y＋2＝0. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2). 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1). (2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足 即解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 基础巩固 1.已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为 A.x＝3 B.x＝－2 C.y＝3 D.y＝－2 √ ∵直线与x轴平行，∴其斜率为0， ∴直线的方程为y＝－2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是 A.y－1＝x B.y＋1＝x C.y－1＝－x D.y＋1＝－x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线l的倾斜角为45°， ∴直线l的斜率为1， 又∵直线l过点(0，－1)， ∴直线l的方程为y＋1＝x. 解析 3.直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为 A.60°，2 B.120°，2－ C.60°，2－ D.120°，2 √ 该直线的斜率为－， 当x＝0时，y＝2－， ∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知k∈R，b＝k2－2k＋3，则下列直线的方程不可能是y＝kx＋b的是 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵b＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2， ∴直线的方程y＝kx＋b在y轴上的截距不小于2，且当k＝1时，在y轴上的截距为2，故D正确； 当k＝－1时，b＝6，故B不正确； 当b＝3时，k＝0或k＝2，由图象知A，C正确. 解析 5.(多选)设直线l过两点(3，)和(9，－)，则 A.直线l的斜率为－ B.直线l的倾斜角为150° C.直线l在x轴上的截距为6 D.直线l在y轴上的截距为3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线l的斜率k＝＝－，A错误； 设直线l的倾斜角为α，则0°≤α<180°，且tan α＝－，则α＝150°， B正确； 根据点斜式方程，直线l的方程为y－＝－(x－3)，即y＝－x＋ 2，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝2，故直线l在x轴上的截距为6，在y轴上的截距为2，C正确，D错误. 解析 6.已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为 A.[0，＋∞) B.R C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则3－2k≤0，∴k≥. 解析 7.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是 　　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为或－， 又因为在y轴上的截距为－6， 所以直线的斜截式方程为 y＝x－6或y＝－x－6. 解析 y＝x－6或y＝－x－6 8.已知两点A，B，则直线AB的斜率k的值是　　 ，直线AB在y轴的截距是　　　.  根据题意，直线AB上的两点A，B， 则直线AB的斜率k＝＝3， 则直线AB的方程为y－(－1)＝3，变形可得y＝3x－， 则直线AB在y轴的截距是－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 － 9.已知某直线过点(－10，10)，且它与x轴交点的横坐标是其在y轴上的截距的4倍，求该直线方程. 易知直线方程的斜率存在且不为0，设直线方程为y－10＝k(x＋10)， 令y＝0，则x＝－－10，令x＝0，则y＝10k＋10， ∵直线与x轴交点的横坐标是其在y轴上的截距的4倍， ∴－－10＝4(10k＋10)，解得k＝－或k＝－1， ∴直线方程为y＝－x或y＝－x＋. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)， 令y＝0，得x＝， 由三角形的面积为2，得××2＝2， 解得k＝. 可得直线l的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0. 综上可知，直线l的方程为x＝2或x－2y＋2＝0. 解 11.(多选)下列结论正确的是 A.方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B.直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C.直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，方程k＝表示的直线不含点(－1，2)，所以A错误； B，C显然正确； 对于D，当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，此时它的方程不能用点斜式和斜截式表示，所以D错误. 解析 12.已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则 A.kb<0 B.kb≤0 C.kb>0 D.kb≥0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当k≠0时，∵直线l不经过第三象限，∴k<0，b>0，∴kb<0. 当k＝0，b>0时，直线l也不过第三象限，∴kb≤0. 解析 13.在同一平面直角坐标系中，直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象表示(如图所示)正确的是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于选项A，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零，不符合题意； 对于选项B，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，不符合题意； 对于选项C，y＝ax过坐标原点，且a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，符合题意； 对于选项D，两直线均不过坐标原点，不符合题意. 解析 14.将直线y＝x＋－1绕其上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是　　　 　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y－(x－1) 由y＝x＋－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°. ∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°， ∴所求直线的斜率为. 又∵直线过点(1，)， ∴由直线的点斜式方程可得y－(x－1). 解析 15.已知直线l1：y＝x－1绕点(0，－1)逆时针旋转，得到直线l2，则l2不过 A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于直线l1：y＝x－1，其斜率k1＝1，设其倾斜角为α1，可得tan α1＝1， 又因为α1∈[0，π)，所以α1＝.直线l1绕点(0，－1)逆时针旋转，则直线l2的倾斜角α2＝.直线l2的斜率k2＝tan α2＝tan＝－.因 为直线l2过点(0，－1)，可得直线l2的方程为y＋1＝－x，即y＝－x－1，所以直线l2不过第一象限. 解析 16.已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2). 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1). 证明 (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足 即解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 解 第1章　直线与方程 <<< $