3.2.2 奇偶性 教学设计 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数奇偶性核心知识，从已学函数单调性过渡，通过绘制f(x)=x²、g(x)=2-|x|等函数图象，引导学生观察对称性，构建从直观图象到符号语言定义的学习支架。 以分层目标驱动教学，通过画图分析、小组讨论抽象出奇偶性定义，结合例6判断函数奇偶性总结步骤，培养数学抽象、逻辑推理素养，帮助学生理解定义与图象对称的等价性，教师教学有清晰路径，提升学生数学思维与运算能力。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 3.2.2 函数的奇偶性 设计时间 授课时间 课标要求 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 教材分析 函数是刻画现实世界中各种各样变化关系的重要模型，研究清楚函数的性质就能掌握事物变化的规律，进而精确地“预测未来”.函数性质的本质是随变化而变化的过程中的不变性和规律性，包括单调性，最大值、最小值，奇偶性，周期性，增减的快慢（用导数刻画）等. 函数的奇偶性是学生已学函数概念的延续和拓展，是函数的重要性质之一。对函数奇偶性的研究，也为后续反比例函数、三角函数等具体函数的性质的深入学习和应用起了重要的铺垫作用，是高中数学的核心知识之一。 综上所述，本单元的学习有利于发展学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养. 学情分析 在知识储备方面，他们已经学习过轴对称图形、中心对称图形以及它们的性质，对二次函数、反比例函数图象的对称性也有一定的了解；在数学方法方面，通过函数单调性的学习，具备用数量关系刻画函数图象上升或下降趋势的基本活动经验。在能力水平方面，对于具体函数，能够观察函数图象，描述图象的对称性，但是学生刚进入高中不久，对于用数学符号语言抽象概括得出概念的经历也是第二次，数学抽象能力较弱，将函数的图形特征转化为符号特征并抽象为数学概念存在较大困难。 单元教学目标 1.经历从图象直观到文字语言描述再到符号语言刻画函数单调性的过程，感悟通过引入“∀，”的符号表示，把一个含有“无限”的问题转化为一种“有限”的方式表达的思想，感受数学符号的作用和力量. 2.知道用符号语言刻画单调性和最值时，“任意”“都有”“存在”等关键词的含义，会用符号语言正确表达函数的单调性、最大值和最小值；能举例说明函数单调性和最大值、最小值的现实意义. 3.知道判断函数单调性的基本步骤，会用函数单调性的定义证明函数的单调性． 4.知道求函数最大、最小值的基本步骤，会用函数最大值、最小值的定义求最值，体会最值与单调性之间的关系. 5.能类比单调性定义的学习过程，用符号语言表达函数的奇偶性，并说明偶（奇）函数的定义与函数图象关于y轴（原点）对称之间是等价的. 6.知道判断函数奇偶性的基本步骤，会用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性． 单元教学重点 难点 1.教学重点：用符号语言表示函数的单调性、最大（小）值、奇偶性，用定义法证明函数的单调性、用定义法判断函数的奇偶性. 2.教学难点：用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值；利用定义证明函数的单调性. 单元课时分配 本单元分3课时： 第1课时，函数的单调性； 第2课时，函数的最大（小）值； 第3课时，函数的奇偶性． 第一课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，通过具体实例，经历函数奇偶性概念的抽象过程，能准确说出偶函数的定义； 拓展性目标：★★ 通过任务二，类比偶函数概念的建构过程，抽象出奇函数的定义，能用例子说明“任意”“都有”等关键词的含义，并能用奇偶性的定义判断函数的奇偶性； 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，总结出判断函数的奇偶基本步骤，知道偶（奇）函数的定义与函数图象关于y轴（原点）对称之间是等价的，体会奇偶性能简化性质的研究，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算素养． 课时学习重难点 教学重点：函数奇偶性的定义及其应用． 教学难点：用符号语言表达函数的奇函数、偶函数，用定义判断函数的奇偶性． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 我们已经用符号语言描述了函数图象“上升"下降”“最高点”“最低点”等性质，下面继续研究函数的其他性质. 二、目标一：学生通过具体实例，经历函数奇偶性概念的抽象过程，能准确说出偶函数的定义. 任务一：通过具体实例，经历函数奇偶性概念的抽象过程 画出函数和g(x)=2-|x|的图象，列表作图过程中思考以下问题： （1）观察g(x)解析式的特点，你认为自变量的哪个值必须取？如何取点才能反映这个函数的特征？ （2）你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ （3）类比函数单调性，请以为例说明，你能用符号语言精确表达（2）结论的图象特征吗？这个结论对于定义域内的任意x都成立吗？ 表3.2-1 x 答：（1）必须取x=0，应该把互为相反数的两个自变量的值同时取上，比如x取值可以取：0，-1，1，-2，2等. （2） 这两个函数的图象都关于y轴对称. （3）问题（2）结论的图象特征：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.对于符号语言表示，学生可以有不同答案：比如从解析式的角度说明：对于∀x∈R，都有；从图象对称性的角度说明：对于∀x∈R，点P(x,)和点)关于y轴对称，所以y轴就是线段PP＇的垂直平分线，根据坐标的意义可得=. 评估一：学生能准确说出偶函数的定义 问题1：（1）通过上述的问题中的具体函数，你能总结出偶函数的定义吗？ （2）仿照函数是偶函数的表述过程，说明函数g(x)=2-|x|也是偶函数. （3）你能再举出几个偶函数的例子吗？并说明理由． 答： （1）1.偶函数的定义： 一般地，设函数的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且=，那么函数f(x)就叫做偶函数. （2）∀x∈R，都有. （3）比如：g(x)=-|x|，理由：图象都关于y轴对称. 四、目标二：学生能类比偶函数概念的建构过程，抽象出奇函数的定义，能用例子说明“任意”“都有”等关键词的含义，并能用奇偶性的定义判断函数的奇偶性； 任务二：学生能类比偶函数概念的建构过程，抽象出奇函数的定义，能用例子说明“任意”“都有”等关键词的含义 （小组讨论）观察函数=x和的图象（如图3.2-8)，填写表格过程中思考以下问题： （1）你能发现两个图象有什么共同特征吗？ （2）类比偶函数的定义，请以为例说明，你能用符号语言精确描述这一特征吗？ （3）你能给奇函数下一个定义吗？ 图3.2-8 ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... ... ... ... ... 表3.2-2 答：填写表格： ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... ... -1 不存在 1 ... （1）函数图象都关于原点成中心对称 （2）∀x∈R，都有. （3） 2.奇函数的定义： 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且=，那么函数f(x)就叫做奇函数. 评估二：学生能用奇偶性的定义判断函数的奇偶性 例6. 判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) (3) (4) . (5) 解: (1) 函数=x4的定义域为R. 因为x∈R，都有-x∈R，且 =(-x)4=x4=, 所以，函数 =x4为偶函数. (2)函数=的定义域为R. 因为x∈R，都有-x∈R，且 =(-x)5=-x5=-, 所以，函数 = 为奇函数. (3)函数 的定义域为 {x|x≠0}. 因为x∈{x|x≠0}，都有-x∈{x|x≠0}，且 =- =-()=-, 所以，函数为奇函数. (4)函数 的定义域为 {x|x≠0}. 因为x∈{x|x≠0}，都有-x∈{x|x≠0}，且 = = =, 所以，函数 为偶函数. （5）函数 不关于原点对称 所以，函数 为非奇非偶函数. 教师强调：奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域. 五、目标三：学生总结出判断函数的奇偶基本步骤，知道偶（奇）函数的定义与函数图象关于y轴（原点）对称之间是等价的，体会奇偶性能简化性质的研究，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算素养． 任务三：学生总结出判断函数的奇偶基本步骤 问题：根据例6，你能总结归纳判断奇偶性的一般步骤吗？ 答： 第一步，求出函数的定义域 I； 第二步，判断定义域I是否关于原点对称.若不是，则函数不具有奇偶性，即该函数是非奇非偶函数，若是，进行下一步判断； 第三步，∀x∈I，计算，判断与的关系，并下结论： 若=，为偶函数； 若=—，为奇函数. 评估三：学生知道偶（奇）函数的定义与函数图象关于y轴(原点)对称之间是等价的，体会奇偶性能简化性质的研究 思考：(1）判断函数的奇偶性； （2）如图3.2-9 是函数图象的一部分，你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？ （3）一般地，如果知道y=f(x)为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？ 图3.2-9 答： （1）奇函数. （2）请学生代表板书完成图象. （3）教师可以视学生情况引导学生提问：已知函数在(0,+∞)上单调递增，那么在（-∞,0）上的单调性如何？已知函数在(0,+∞)上有最大值3，那么在（-∞,0）上最值情况如何？ 奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，补充图象后可以观察得到最值。 学生动手画图，教师引导学生按照列表一描点一连线的步骤画图 教师呈现画图时的表格，学生观察表格3.2-1并得出结论：在表格中，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.学生经过思考后回答，鼓励学生有不同的说理方法. 教师可以用信息技术动态演示 学生思考并回答，对照教材描述进行检查、完善. 学生举例子，并说明理由. 教师点评并追问学生，这些函数的图象有什么特征？并用几何画板呈现函数图象. 学生自主思考，再小组讨论，派代表上台展示成果。 学生类比偶函数的定义，为奇函数下定义，教师强调对定义域中任意的自变量，都满足的性质，即函数单调性是函数的局部性质，奇偶性是函数的整体性质. 师生一起分析问题（1)，教师板书写解题过程，学生独立解答问题（2)～问题（5)，教师投影展示学生答案，并点评和完善. 学生独立思考，回答问题，教师再进行归纳，投影展示要点. 学生独立思考，投影展示. 从熟悉的函数入手，画出图象，观察图象特征.通过问题引导学生观察解析式的特征，思考应该如何取点，有助于学生画出能够反映函数特征的图象，使图象关于y轴对称的特征更突出，也为后续从数量上刻画对称性做好铺垫. 举例子可以让学生思考偶函数的概念内涵，并考虑哪种代数形式的解析式才有f(-x)=f(x)，延长概念建构的时间，加深对偶函数概念的理解. 让学生感受定义域关于原点对称是奇（偶）函数的必要条件，体会不是所有的函数都具有奇偶性 让学生体会研究函数奇偶性的好处，可以简化对函数的研究，即只要知道y轴右侧的图象就可以得到整个函数图象，只要研究清楚x>0(或x<0)的情况就可以得到整体情况. 课堂小结 1.偶函数的定义 2.奇函数的定义 3.判断奇偶性的一般步骤 学生作业 1.基础性作业：教科书第85页练习第1、2、3题； 答案： １. 2.(１)函数()的定义域为Ｒ,关于原点对称. ∵(-) ＝2(-ｘ) ４+3(-ｘ) ２=2ｘ４+3ｘ２ =() ∴ ()为偶函数. (２)函数()的定义域为Ｒ,关于原点对称. ∵(-)＝(-ｘ)３－２(-ｘ)＝-ｘ３ +2ｘ＝－(ｘ３-2ｘ)＝-(), ∴()为奇函数. 3.证明: (１)充分性:如果()的图象关于ｙ轴对称,则()＝(-), ∴()是偶函数. 必要性:由偶函数的定义知,∀ｘ∈Ａ,都有－ｘ∈Ａ且(-)=(), ∴ Ｐ(ｘ,()) 与 Ｐ′(-ｘ, ()) 关于ｙ轴对称. 由任意性可得,()的图象关于ｙ轴对称. ∴ 函数ｙ＝()是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称. (２)充分性:如果()的图象关于原点对称,则()＝-() ∴()是奇函数. 必要性:由奇函数的定义知,∀ｘ∈Ａ,都有－ｘ∈Ａ且(-)=(), ∴ Ｐ(ｘ,ｆ(ｘ)) 与 Ｐ′( -ｘ, ｆ(-ｘ)) 关于原点对称, 由任意性可得()的图象关于原点对称. ∴ 函数ｙ＝()是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称 2.提升性作业：教科书第86页习题3.2第5、11题； 答案： 5.(１)函数()＝ｘ２+1的定义域为Ｒ, 关于原点对称. ∵ｆ(-ｘ)＝( －ｘ)２+1＝ｘ２+1＝(), ∴ 函数()＝ｘ２+1为偶函数. (２)函数()＝ 的定义域为Ｒ, 关于原点对称. ∵ｆ(-ｘ)＝ = -= -() ∴ 函数()＝ 为奇函数. 11.因为()是Ｒ上的奇函数，所以ｆ(-ｘ)＝-(). 因为当 ｘ≥０ 时,()＝ｘ(１＋ｘ), 所以当 ｘ<０ 时,－ｘ>０, 所以(-)＝( -ｘ)(１－ｘ)＝－ｘ(１－ｘ), 所以()＝-ｆ(-ｘ)＝ ｘ(１－ｘ). 所以()＝ 它的图象如图所示. 3.拓展性作业:教科书第87页习题3.2第12题. 答案：12.偶函数()在(0,＋∞)上是减函数, 那么()在(－∞,０)上是增函数. 证明如下: ∀,∈( －∞ ,０),且<, 则－ >－>０. 因为函数()在(０,＋∞ )上是减函数, 所以() <(－). 又因为()是偶函数, 所以()＝(),()＝(). 于是 ()<(), 所以偶函数()在( －∞,０)上是增函数. 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $