第五讲 代数式的值与整式的概念2026-2027学年华东师大版七年级上册数学

第五讲 代数式的值与整式的概念 （华东师大版七年级上册 2.2-2.3 节） 教学目标： 1. 理解代数式的值的含义，掌握直接代入求值的方法与步骤 2. 初步掌握整体代入求值的思想，能解决简单的整体代入题型 3. 理解单项式、多项式、整式的概念，能准确识别与分类 4. 熟练掌握单项式的系数、次数，多项式的项数、次数的判定方法 5. 掌握多项式按指定字母升幂排列与降幂排列的方法 一、课前回顾（第四讲 列代数式核心复盘） 1. 核心知识速记 代数式定义：用运算符号连接数和字母的式子，单独一个数或字母也是代数式 书写规范五要点：数字在前省略乘号、带分数化假分数、除法写分数形式 系数 ±1 省略 1、加减式子带单位加括号 列代数式关键：抓关键词、辨语序、区分易混语句（平方和/和的平方、除/除以） 2. 高频易错点 书写不规范：带分数不化假分数、除法不写分数形式、加减式子带单位忘加括号 语序搞反："除" 和“除以"、"平方和" 和“和的平方" 混淆 实际应用：利润、增长率、行程等公式不熟悉，列式出错 除号去括号不彻底：除法形式的式子去括号时容易漏乘或符号错误 二、新课精讲 知识点 1：代数式的值与直接代入求值 🎬 场景引入：学校组织春游，门票每人 a 元，全班 40 人，一共需要多少钱？ → 总费用：40a 元 如果门票每人 20 元（也就是 a=20），那总费用就是 40×20=800 元 如果门票每人 25 元（也就是 a=25），那总费用就是 40×25=1000 元 把字母 a 换成具体的数，算出来的结果，就是代数式的值。 同一个代数式，字母取不同的值，算出来的结果可能不一样！ 核心知识点 1. 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果 2. 直接代入步骤：① 抄式子 ② 代数值（负数、分数代入要加括号） ③ 按运算顺序计算 3. 注意：字母的取值必须使代数式有意义（比如分母不能为 0） 经典例题 例 1 当 x=2 时，求代数式 3x2-2x+1 的值。 例 2 当 a=-1，b=3 时，求代数式 的值。 随堂练习 1 1. 当 x=-2 时，求 x2-3x+5 的值 2. 当 a=2，b=-1 时，求 (a+b)2 的值 知识点 2：整体代入求值 🎬 场景引入：小明买了 3 支铅笔和 2 块橡皮，一共花了 3x+2y 元。 已知 3x+2y=10 元，那买 6 支铅笔和 4 块橡皮要花多少钱？ → 6x+4y = 2×(3x+2y) = 2×10 = 20 元 不分别算出 x 和 y 各是多少，把 3x+2y 当成一个整体来算，这就是整体代入的思想！ 核心知识点 1. 整体思想：把一个代数式看作一个整体，用它的值直接代入另一个式子计算 2. 常见整体形式：倍数关系（2a+2b=2(a+b)）、相反数关系、倒数关系等 3. 关键：观察已知式子和所求式子之间的联系，找到“整体” 经典例题 例 1 已知 a+b=5，求代数式 2(a+b)-3 的值。 例 2 已知 x2+2x=3，求代数式 2x2+4x-1 的值。 随堂练习 2 1. 已知 x-y=4，求 3(x-y)+2 的值 2. 已知 2a+3b=7，求 4a+6b+5 的值 知识点 3：单项式的概念、系数与次数 🎬 场景引入 观察下面这些代数式： 3x，-ab2，xy，-5，m 它们有什么共同点？ → 都是数字和字母的乘积，有的只有数字，有的只有字母。 像这样的式子，我们给它起个名字叫单项式—— 单独的一项，只有乘法，没有加减。 再看：x+y 是单项式吗？→ 不是，因为有加法，是两项加起来的。 核心知识点 1. 单项式定义：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式； 单独一个数或一个字母也是单项式 2. 单项式的系数：单项式中的数字因数（包括前面的符号） 3. 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和 4. 注意： · 系数是 1 或 - 1 时，1 省略不写，但系数存在 · π是常数，不是字母，算系数的一部分 · 单独一个非零数的次数是 0 经典例题 例 1 下列式子中，哪些是单项式？ 3x+y，-5ab，，，0，-m 例 2 分别写出下列单项式的系数和次数： -3x2y；；-a 随堂练习 3 1. 判断： 是不是单项式？系数和次数分别是多少？ 2. 若单项式 -2xmy3 的次数是 5，求 m 的值 知识点 4：多项式的概念、项与次数 🎬 场景引入 刚才我们认识了单项式，那 2x+3y 是什么呢？ → 它是两个单项式 2x 和 3y 加起来的，像这样几个单项式的和，就叫多项式。 单项式是“单独一项”，多项式是“好几项加起来”。 再比如 3x2-2x+1，它是哪几项加起来的？ → 3x2、-2x、+1 这三项，注意每一项都要带着前面的符号！ 核心知识点 1. 多项式定义：几个单项式的和叫做多项式 2. 多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项； 不含字母的项叫做常数项 3. 多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数 4. 注意： · 多项式的项要带着前面的符号 · 多项式的次数不是所有项的次数相加，是“最高次项的次数" · 有几项就叫几项式，几次几项式是多项式的命名方式 经典例题 例 1 多项式 3x2y-2xy2+x-1 是几次几项式？分别写出它的各项和常数项。 例 2 若多项式 xm+1+3x-2 是四次三项式，求 m 的值。 随堂练习 4 1. 多项式 -2x3+5x2-7 是几次几项式？最高次项是什么？ 2. 判断正误：多项式 a2+ab+b2 的次数是 6 次（） 知识点 5：整式的概念与分类 🎬 场景引入：我们已经认识了单项式和多项式，它们俩有个共同的特点 —— 分母里都没有字母。 像这种分母有字母的，既不是单项式也不是多项式。 我们把单项式和多项式合起来，起个统一的名字叫整式。 核心知识点 1. 整式定义：单项式和多项式统称为整式 2. 分类关系：整式 单项式 多项式 3. 判断整式的关键：分母中不含字母（注意 π是常数不是字母） 4. 所有的单项式都是整式，所有的多项式都是整式； 但整式不一定是单项式，也可能是多项式。 经典例题 例 1 下列式子中，哪些是整式？哪些是单项式？哪些是多项式？ 2x2，，-3，a+b，， 例 2 判断正误： (1) 整式一定是单项式（） (2) 多项式一定是整式（） (3) 分母含有字母的式子不是整式（） 随堂练习 5 1. 将下列各式填入相应的类别：0，，，ab+1，-m2n 单项式： ；多项式： ；整式：___ _____ 2. 下列说法正确的是（） A. 整式就是多项式B. 单项式都是整式C. 是整式D. 整式一定包含加减运算 知识点 6：多项式的升幂排列与降幂排列 🎬 场景引入:排队按身高从矮到高排，或者从高到矮排，这样整齐又好找。 多项式里的各项也可以“排队"—— 按某个字母的指数从小到大排，或者从大到小排。 比如多项式 3x2+5x3-2x+1，按 x 的指数从大到小排就是： 5x3+3x2-2x+1 → 这叫降幂排列（指数越来越小） 按 x 的指数从小到大排就是： 1-2x+3x2+5x3 → 这叫升幂排列（指数越来越大） 核心知识点 1. 降幂排列：把多项式按某一字母的指数从大到小的顺序排列 2. 升幂排列：把多项式按某一字母的指数从小到大的顺序排列 3. 注意事项： · 移动每一项时，必须带着它前面的符号一起移动 · 常数项的指数是 0，升幂排列在最前面，降幂排列在最后面 · 排列时要明确是按哪个字母排列（多项式可能有多个字母） 经典例题 例 1 将多项式 3x-2x3+5x2-1 按 x 降幂排列。 例 2 将多项式 2x2y-3xy2+x3-4y3 按 y 升幂排列。 随堂练习 6 1. 将多项式 -1+3x2-x3+5x 按 x 升幂排列 2. 将多项式 a3b-2a2b2+ab3 按 a 降幂排列 三、课堂小结 1. 代数式的值：直接代入要注意负数、分数加括号； 整体代入要找到式子之间的倍数关系 2. 单项式：数字与字母的乘积， 注意系数带符号、次数是所有字母指数和、π 是常数 3. 多项式：几个单项式的和，项要带符号，次数是最高次项的次数（不是相加！） 4. 整式 = 单项式 + 多项式，分母含字母的不是整式 5. 升降幂排列：按指定字母的指数排序，移动项要带符号，常数项次数为 0 第五讲 代数式的值与整式的概念・参考答案 知识点 1经典例题 例 1 3×22-2×2+1=12-4+1=9 解析：先算乘方 22=4，再算乘法 3×4=12、2×2=4，最后加减。 例 2 ===- 解析：负数代入要加括号，分子分母分别计算后再约分。 随堂练习 1 1. (-2)2-3×(-2)+5=4+6+5=15 2. (2-1)2=12=1 知识点 2经典例题 例 1 2×5-3=10-3=7 解析：把 a+b 看作一个整体，直接用 5 代入。 例 2 2(x2+2x)-1=2×3-1=6-1=5 解析：2x2+4x=2(x2+2x)，找到倍数关系，整体代入。 随堂练习 2 1. 3×4+2=14 2. 2(2a+3b)+5=2×7+5=19 知识点 3经典例题 例 1 单项式：-5ab，，0，-m 解析：3x+y 含加法是多项式； 分母含字母不是整式，更不是单项式。 例 2 -3x2y：系数-3，次数 3；：系数，次数 2；-a：系数-1，次数 1 解析：π是常数算系数；-a的系数是 - 1，1 省略不写。 随堂练习 3 1. 是单项式；系数，次数 2 2. m+3=5，m=2 解析：单项式次数是所有字母指数和，x的指数是m，y的指数是 3，所以m+3=5。 知识点 4经典例题 例 1 三次四项式；各项为3x2y、-2xy2、x、-1；常数项是-1 解析：最高次项3x2y和-2xy2都是 3 次，所以是三次多项式；共 4 项，所以是三次四项式。 例 2 m+1=4，m=3 解析：四次三项式说明最高次项次数是 4，即xm+1的次数为 4。 随堂练习 4 1. 三次三项式；最高次项是-2x3 2. ✕ 解析：多项式次数是最高次项的次数，不是所有次数相加。这个多项式最高次项是 2 次，所以是二次多项式。 知识点 5经典例题 例 1 整式：2x2，-3，a+b，， 单项式：2x2，-3， 多项式：a+b， 解析：分母含字母不是整式；=+，是多项式。 例 2 (1) ✕，整式还包括多项式 (2) ✓ (3) ✓ 随堂练习 5 1. 单项式：0，，-m2n；多项式：ab+1；整式：0，，-m2n，ab+1 解析：分母含字母，不是整式。 2. B 知识点 6经典例题 例 1 -2x3+5x2+3x-1 解析：按x的指数从大到小排，每一项带符号移动。 例 2 x3+2x2y-3xy2-4y3 解析：按y的指数从小到大排，x3不含y（y的指数为 0）排最前，然后是2x2y（y的 1 次），再是-3xy2（y的 2 次），最后是-4y3（y的 3 次）。 随堂练习 6 1. -1+5x+3x2-x3 2. a3b-2a2b2+ab3 解析：按a的指数从大到小排，a3b中a是 3 次，-2a2b2中a是 2 次，ab3中a是 1 次。 学科网（北京）股份有限公司 $