第2章 2.6.1 第1课时 双曲线的标准方程（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程及求法，以《悲伤的双曲线》歌曲和生活实例导入，通过回顾椭圆定义，将“距离的和”改为“距离的差”，设计拉链实验操作，构建从椭圆到双曲线的知识支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过实验探究培养几何直观（数学眼光），类比椭圆推导标准方程发展推理能力（数学思维），结合例题辨析强化模型意识（数学语言）。如拉链实验让学生直观感知双曲线形成，类比椭圆定义推导方程，助力学生深度理解，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第1课时 双曲线的标准方程 第二章　2.6.1　双曲线的标准方程 <<< 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 学习目标 同学们有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌，这首歌是王渊超于1995年读高中时创作的.创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近不能相交”，而正是这点给王渊超带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就.课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生.生活中遇到的双曲线的例子有很多，今天我们就来研究数学中的优美曲线——双曲线. 导 语 一、双曲线的定义 二、双曲线的标准方程 课时对点练 三、双曲线标准方程的辨析 随堂演练 内容索引 双曲线的定义 一 提示　如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆.根据焦点位置的不同， 其标准方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0). 回顾椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？ 问题1 提示　准备实验(可以找三名同学在教师指导下操作)，适当选取两定点F1，F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段(小于F1F2的长度)，作为动点P到两定点F1和F2距离之差，而后把它固定在F2处，这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉链逐渐打开，铅笔(粉笔)就画出一条曲线，同理可画出另一支(如图).显然曲线上的 点满足“到两定点的距离之差|PF1|－|PF2|或|PF2|－|PF1|是 同一个常数”这个条件. 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎么样？ 问题2 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个 ，且2a____ |F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝ 的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的 ，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的 . 正常数 < 2a 焦点 焦距 知识梳理 (1)常数要小于两个定点的距离. (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支. (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在. (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 注 意 点 <<< 9 　已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为 A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 √ 例 1 当a＝3时，2a＝6，|AB|＝10， ∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B). 当a＝5时，2a＝10，|AB|＝10， ∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线. 解析 10 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件. 反 思 感 悟 11 　已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线 跟踪训练 1 √ 因为F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线. 解析 12 二 双曲线的标准方程 提示　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2 (c，0)， 焦距为2c，c>0. 设P(x，y)是双曲线上一点，则 类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 问题3 ||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)， 因为|PF1|＝， |PF2|＝， 所以＝±2a， ① 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)， 两边同除以a2(c2－a2)，得＝1. 由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的 建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得＝1(a>0，b>0). 提示　＝1(a>0，b>0). 设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0，以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 问题4 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 ______________________ ______________________ 焦点 __________________ __________________ a，b，c的关系 c2＝_______ ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a2＋b2 知识梳理 (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上. (2)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中a，b的大小关系不确定. 注 意 点 <<< 18 　以椭圆＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲 线的标准方程为　　　 　. 例 2 ＝1 由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2. 设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 则有a2＋b2＝c2＝8，＝1， 解得a2＝3，b2＝5. 故所求双曲线的标准方程为＝1. 解析 19 　(课本例1)分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8； 例 2 由已知得c＝5，2a＝8.因此a＝4，且b2＝c2－a2＝52－42＝9. 又因为双曲线的焦点在x轴上， 所以所求的双曲线的标准方程是＝1. 解 20 (2)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，且双曲线经过点A(－5，6). 由已知得双曲线的焦点在y轴上，且c＝6，所以另一个焦点坐标为(0，6). 因为点A(－5，6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为 2a＝||＝|13－5|＝8， 因此a＝4，从而b2＝62－42＝20. 因此，所求双曲线的标准方程是＝1. 解 21 求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式； (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常通过条件列方程组求解. 注意：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论. 反 思 感 悟 22 满足a＝3，c＝4，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为 　　　　　　　. 跟踪训练 2 由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2 得b2＝c2－a2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为＝1. 解析 ＝1 23 双曲线标准方程的辨析 三 已知方程＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是 A.k>5 B.k>5或－2<k<2 C.k>2或k<－2 D.－2<k<2 √ 例 3 ∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)>0， 即 解得k>5或－2<k<2. 解析 25 双曲线方程的辨识方法 将方程化为标准方程的形式，假如方程为＝1，则 当mn<0时方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线. 反 思 感 悟 26 在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是 A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线 C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的椭圆 跟踪训练 3 方程mx2－my2＝n可化为＝1. 由mn<0知<0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线. 解析 √ 27 1.知识清单： (1)双曲线的定义. (2)双曲线的标准方程. (3)双曲线标准方程的辨析. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：双曲线有两支，定义中若没有绝对值，则只能取一支. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知点P(x，y)的坐标满足＝±，则动点P的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.双曲线的一支 √ 设A(1，0)，B(－1，0)， 则由已知得||PA|－|PB||＝，即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数，又|AB|＝2，且<2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线. 解析 1 2 3 4 2.若方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是 A.－2<m<2 B.m>0 C.m≥0 D.|m|≥2 √ ∵已知方程表示双曲线， ∴(2＋m)(2－m)>0.∴－2<m<2. 解析 1 2 3 4 3.若椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则a的值为 A.1 B.1或－2 C.1或 D. √ 由题意知解得a＝1. 解析 1 2 3 4 4.以椭圆＝1的焦点为焦点，且过点的双曲线的标准方程 为　　　　　　　. ＝1 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上. 设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0). 根据题意得 解得(舍去)， 所以双曲线的标准方程为＝1. 解析 1 2 3 4 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B B A BCD AD 题号 8 11 12 13 14 15 答案 ＝1(x≥3) A D AB ＝1 x2－＝1 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵c＝，且焦点在x轴上， ∴可设双曲线的标准方程为＝1(a2<6). ∵双曲线经过点(－5，2)，∴＝1， 解得a2＝5或a2＝30(舍去). 于是双曲线的标准方程为－y2＝1. (2)设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0). 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，知c＝2. ∵双曲线过点(3，2)，∴＝1. 又a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8. 故双曲线的标准方程为＝1. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝， 所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k. 由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4. 所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20. 若MN所在直线为x轴，如图所示. 设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0). 由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100， 所以b2＝c2－a2＝100－4＝96， 故所求方程为＝1； 若MN所在直线为y轴， 同理可得双曲线的标准方程为＝1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为 所以tan θ＝， 又<m<4，所以1<tan θ<4， 即的夹角θ的正切值的取值范围为(1，4). (2)设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以S△OFQ＝||·|y1|＝2， 则y1＝±·＝m， 即(c，0)·(x1－c，y1)＝c2， 解得x1＝， 所以||＝≥＝2， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当且仅当， 即c＝4时等号成立，||最小， 此时Q的坐标为(，－). 因此 所以双曲线的标准方程为＝1. 基础巩固 1.已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是 A.|PF1|－|PF2|＝±3 B.|PF1|－|PF2|＝±4 C.|PF1|－|PF2|＝±5 D.|PF1|2－|PF2|2＝±4 √ 当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以点P的轨迹是双曲线. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为 A. B. C. D.(，0) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1， ∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝， ∴c＝. 解析 3.双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线C的标准方程为 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得 2a＝||＝4， 所以a＝2，又c＝6， 所以b2＝c2－a2＝36－20＝16. 所以双曲线C的标准方程为＝1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.双曲线C：＝1(a>0)的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且|MF1|＝5，则|MF2|等于 A.9 B.9或1 C.1 D.6 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为2c＝8，所以c＝4， 所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a＝2， 根据双曲线的定义可得||MF1|－|MF2||＝2a＝4， 所以|5－|MF2||＝4，解得|MF2|＝1或|MF2|＝9， 当|MF2|＝1时，|MF1|＋|MF2|＝6<8不符合题意，故舍去； 当|MF2|＝9时，|MF1|＋|MF2|＝14>8，符合题意， 综上，|MF2|＝9. 解析 5.(多选)已知方程＝1表示的曲线为C，给出以下四个判断，其中正确的是 A.当1<t<4时，曲线C表示椭圆 B.当t<1或t>4时，曲线C表示双曲线 C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t< D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当t＝时，曲线C表示圆，故A错误； 若曲线C表示双曲线，则(4－t)(t－1)<0， 即t<1或t>4，故B正确； 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆， 则即1<t<，故C正确； 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线， 则即t>4，故D正确. 解析 6.(多选)点P为双曲线C上一点，双曲线C的焦点F1，F2分别为椭圆＝1的顶点，且|PF1|－|PF2|＝4，则双曲线C的标准方程为 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意知，椭圆的顶点为(±4，0)，(0，±2)， ∴当双曲线的焦点在x轴时，c＝4， 又2a＝4，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝12， 双曲线C的标准方程为＝1. 当双曲线的焦点在y轴时，c＝2， 又a＝2，∴b2＝c2－a2＝8， 双曲线C的标准方程为＝1，故选AD. 解析 7.若双曲线2x2－y2＝k的焦距为6，则k的值为　　　. 当k>0时，方程可化为＝1， 则c2＝＋k＝，即2×＝6，故k＝6. 当k<0时，方程可化为＝1， 则c2＝－，故2×＝6，解得k＝－6. 综上所述，k＝－6或6. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ±6 8.已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则 点M的轨迹方程是　　　　　　　　. 由|MA|－|MB|＝6，且6<|AB|＝10， 故其轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支. 得a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16. 所以点M的轨迹方程为＝1(x≥3). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝1(x≥3) 9.求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)双曲线的一个焦点坐标是(，0)，且经过点(－5，2)； ∵c＝，且焦点在x轴上， ∴可设双曲线的标准方程为＝1(a2<6). ∵双曲线经过点(－5，2)，∴＝1， 解得a2＝5或a2＝30(舍去). 于是双曲线的标准方程为－y2＝1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2). 设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0). 由题意，知c＝2. ∵双曲线过点(3，2)，∴＝1. 又a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8. 故双曲线的标准方程为＝1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，以MN的中点为坐标原点，MN所在直线为坐标轴，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线的标准方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝， 所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k. 由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4. 所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20. 若MN所在直线为x轴，如图所示. 设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0). 由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4. 由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以b2＝c2－a2＝100－4＝96， 故所求方程为＝1； 若MN所在直线为y轴， 同理可得双曲线的标准方程为＝1. 解 11.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是 A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2， 由两圆外切的充要条件，得 |MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2. ∴|MO2|－|MO1|＝1，又|O1O2|＝4， ∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1). 解析 12.在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点A(－5，0)和B(5，0)，点C在双 曲线＝1的右支上，则等于 A. B.－ C. D.－ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点C在双曲线＝1的右支上， 且A(－5，0)和B(5，0)为双曲线的两个焦点， 所以|CA|－|CB|＝8， 又因为|AB|＝10，所以由正弦定理得 ＝－. 解析 13.(多选)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)与x轴的两个交点分别为 A1(－a，0)，A2(a，0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形 A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q内切圆的周长为，则双曲线C的 方程可以为 A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.＝1 D.＝1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形A1PA2Q的面积为2， ∴×2a×2b＝2，得ab＝. 记四边形A1PA2Q内切圆的半径为r， 则2πr＝，解得r＝， 又4×cr＝2，∴c＝. 又∵c2＝a2＋b2＝3，得 ∴双曲线C的方程为－y2＝1或x2－＝1. 解析 14.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0，5)与两焦点的连 线互相垂直，则此双曲线的标准方程为　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)， 则由QF1⊥QF2，得·＝－1， ∴·＝－1，∴c＝5， 设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， ∵双曲线过点(4，－3)，∴＝1， 又∵c2＝a2＋b2＝25，解得a2＝16，b2＝9， ∴双曲线的标准方程为＝1. 解析 15.从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓形状为圆O，将篮球表面的黏 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且|AB|＝|BC|＝|CD|＝2，视AD所在直线为x轴，则双 曲线的标准方程为　　　　　　. x2－＝1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，因为|AB|＝|BC|＝|CD|＝2， 则点C的坐标为(1，0)， 将其代入双曲线方程，得a＝1，又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 所以点在双曲线上， 得＝1，则b2＝， 故所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 解析 16.已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点. (1)设<m<4，求与的夹角θ的正切值的取值范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为 所以tan θ＝， 又<m<4，所以1<tan θ<4， 即的夹角θ的正切值的取值范围为(1，4). 解 (2)若F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)， 所以S△OFQ＝||·|y1|＝2， 则y1＝±·＝m， 即(c，0)·(x1－c，y1)＝c2， 解得x1＝， 所以||＝ 解 ≥＝2， 当且仅当， 即c＝4时等号成立，||最小， 此时Q的坐标为(，－). 因此 所以双曲线的标准方程为＝1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第二章　2.6.1　双曲线的标准方程 <<< $