第2章 2.2.1 第1课时 直线的倾斜角与斜率（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角与斜率，以交通工程“坡度”为导入情境，通过问题引导（两点确定直线）、知识梳理（定义及范围）、例题解析（倾斜角旋转、斜率计算）构建学习支架，衔接生活经验与数学概念。 其亮点在于以“数学眼光”抽象坡度为斜率，“数学思维”通过分类讨论（倾斜角范围）、数形结合（斜率变化表格）深化理解，“数学语言”规范公式推导与符号表达。例题如旋转直线求倾斜角，跟踪训练三点共线问题，助学生形成逻辑思维，教师可直接使用讲练资源提升教学效率。

第1课时 第二章　2.2.1　直线的倾斜角与斜率 <<< 直线的倾斜角与斜率 1.理解直线的倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式. 2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度，并掌握它们之间的关系. 学习目标 导 语 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的 高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝.若k>0， 则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ 一、直线的倾斜角 二、直线的斜率 课时对点练 三、倾斜角和斜率的应用 随堂演练 内容索引 直线的倾斜角 一 提示　两点确定一条直线. 在平面中，怎样才能确定一条直线？ 问题1 定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的 按 方向旋转到与直线重合时所转的 记为θ，则称θ为这条直线的 . (1)倾斜角θ的取值范围是 . (2)当直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为 ；当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为 . (3)每一条直线都有 的倾斜角. 交点 逆时针 最小正角 倾斜角 0°~180° 0° 90° 唯一 知识梳理 　(1)(多选)下列命题中，正确的是 A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) 例 1 任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确. D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误. 解析 √ √ 8 (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为 A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° √ √ 根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 解析 9 (1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答. (2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. 反 思 感 悟 10 　(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　 　　　. 跟踪训练 1 有两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 解析 11 (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为　　　. 设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. 解析 135° 12 二 直线的斜率 提示　tan α＝. 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (1)已知直线l经过O(0，0)，P(，1)，α与O，P的坐标有什么关系？ 问题2 提示　tan α＝＝1－. (2)类似地，如果直线l经过P1(－1，1)，P2(，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？ 问题2 提示　tan α＝. (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？ 问题2 1.定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝______ 为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率 . 2.两点的斜率公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的 斜率为k＝ ，当x1＝x2时，直线l的斜率 ；当y1＝y2时，直线l的斜率为 . tan θ 不存在 不存在 0 知识梳理 (1)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关. (2)k＝，要求分子、分母下标的顺序一致. (3)与x轴平行或重合的直线斜率为0. (4)与x轴垂直的直线的斜率不存在. 注 意 点 <<< 17 　(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. ①A(2，3)，B(4，5)； 例 2 存在.直线AB的斜率kAB＝＝1， 则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1， 又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°. 解 18 ②C(－2，3)，D(2，－1)； 存在.直线CD的斜率kCD＝＝－1， 则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1， 又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°. 解 ③P(－3，1)，Q(－3，10). 不存在.因为xP＝xQ＝－3， 所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°. 解 19 (2)求经过两点A(a，2)，B(3，6)的直线的斜率. 当a＝3时，斜率不存在； 当a≠3时，直线的斜率k＝. 解 20 (1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 ①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； ②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置. 反 思 感 悟 21 (2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 反 思 感 悟 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 22 (1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为　　　　. (2)若过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为　　. 跟踪训练 2 － 1 由斜率公式k＝＝1，得m＝1. 解析 23 倾斜角和斜率的应用 三 提示　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大. 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？ 问题3 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 ______ 不存在 ______ k的增减性   随α的增大而_____   随α的增大而_____ k>0 k<0 增大 增大 知识梳理 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； 例 3 如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1， 要使l与线段AB有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞). 解 27 (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 解 28 倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 特别注意：找到斜率不存在的直线. 反 思 感 悟 29 已知A(－1，－2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，则x＝　　　， 直线AB的倾斜角为　　　. 跟踪训练3 因为A(－1，－2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，所以kAB＝kBC， 即，解得x＝3， 设直线AB的倾斜角为θ，由tan θ＝1得θ＝，所以直线AB的倾斜角为. 解析 3 30 1.知识清单： (1)直线的倾斜角. (2)直线的斜率以及两点的斜率公式. (3)倾斜角和斜率的应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：垂直于x轴的直线斜率不存在，倾斜角存在且为90°. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列说法正确的是 A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 √ √ √ 1 2 3 4 2.已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是 A.0°≤α<90° B.90°≤α<180° C.90°<α<180° D.0°<α<180° √ 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 解析 1 2 3 4 3.已知点A(2，3)，B(－1，x)，直线AB的倾斜角为，则x等于 A.3－3 B.3－ C.3＋3 D.6 √ 由题意知，tan ， 解得x＝3－3. 解析 1 2 3 4 4.经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是　 　 　　. (其中m≥1)  0°<α≤90° 当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan α＝>0，∴0°<α<90°.故α的取值范围是0°<α≤90°. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D B A C CD AC 题号 8 11 12 13 14 15 答案 (－2，1) B A AD B 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，∴m＝1. (2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在， ∴m＝－1. (3)由题意可知，直线l的斜率k＝1， 即＝1，解得m＝0. (4)由题意可知，直线l的斜率k>0， 即>0，解得－1<m<1. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD＝kBC＝tan 60°＝. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 所以kOB＝kCD＝0， 由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)如图，设点A(x1，log9x1)，B(x2，log9x2)， 则C(x1，log3x1)，D(x2，log3x2). 由A，O，B三点共线，知kOA＝kOB， 所以，即， 所以，即kOC＝kOD. 所以点C，D，O在同一条直线上. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当直线BC的斜率为0时，BC∥x轴， 则log9x2＝log3x1， 即log3x2＝log3x1，所以x2＝. 由(1)知， 所以，解得x1＝2， 所以点A的坐标为(2，log92). 基础巩固 1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是 A.(4，2)与(－4，1) B.(0，3)与(3，0) C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2，2)与(－2，5) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在. 解析 2.已知点A(，1)，B(3，3)，则直线AB的倾斜角θ是 A.60° B.30° C.120° D.150° √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，kAB＝， ∴tan θ＝且0°≤θ<180°，∴θ＝30°. 解析 3.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 √ 设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3， 则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°， 所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0，即k1<0，k2>k3>0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是 A. B. C.∪ D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线的斜率k∈(－∞，]，∴k≤tan ， ∴该直线的倾斜角α的取值范围是∪. 解析 5.(多选)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为 A.(0，1) B.(－1，0) C.(3，0) D.(0，－3) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若设点P的坐标为P(x，0)， 则k＝＝tan 45°＝1，∴x＝3，即P(3，0). 若设点P的坐标为P(0，y)， 则k＝＝tan 45°＝1， ∴y＝－3，即P(0，－3). 解析 √ 6.(多选)下列各组中的点在同一条直线上的是 A.(1，－3)，(－7，5)，(3，－5) B.(3，0)，(6，－4)，(－1，－3) C.(1，0)，，(7，2) D.(－2，－5)，(7，6)，(－5，3) √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 过点(1，－3)，(－7，5)的直线的斜率m1＝＝－1，过点(－7，5)，(3，－5)的直线的斜率m2＝＝－1，两者相等，故三点在同一条直 线上，A选项正确； 过点(3，0)，(6，－4)的直线的斜率n1＝＝－，过点(6，－4)，(－1，－3)的直线的斜率n2＝＝－，两者不相等，故三点不在同一条直 线上，B选项错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 过点(1，0)，的直线的斜率k1＝，过点(1，0)，(7，2)的直线的斜率k2＝，两者相等，故三点在同一条直线上，C选项正确； 过点(－2，－5)，(7，6)的直线的斜率a1＝，过点(7，6)，(－5，3)的直线的斜率a2＝，两者不相等，故三点不在同一条直线上， D选项错误. 解析 7.若A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1)三点能构成三角形，则实数k的取值范围为　　　 　　　. 因为A，B，C三点能构成三角形，所以A，B，C三点不共线， 所以kAB≠kAC，即≠， 因此k－1≠0，解得k≠1. 故实数k的取值范围为(－∞，1)∪(1，＋∞). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是　　　　 . (－2，1) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，kAB＝. 因为直线的倾斜角为钝角，所以kAB＝<0， 解得－2<t<1. 解析 9.已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，∴m＝1. 解 (2)直线l与y轴平行？ 若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在， ∴m＝－1. 解 (3)直线的倾斜角为45°？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，直线l的斜率k＝1， 即＝1，解得m＝0. 解 (4)直线的倾斜角为锐角？ 由题意可知，直线l的斜率k>0， 即>0，解得－1<m<1. 解 10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD＝kBC＝tan 60°＝. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，所以kOB＝kCD＝0， 由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－. 解 11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2，0)，过点A的直线交x轴于点C(a，0)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则a等于 A. B. C.1 D. √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α，且tan 2α＝，由题可知tan 2α＝kAC＝，tan α＝kAB＝，解得a＝. 解析 12.已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1，1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 A. B. C. D.{k|k<2} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵kAP＝＝2， kBP＝，如图， ∵直线l与线段AB始终没有交点， ∴斜率k的取值范围是. 解析 13.(多选)已知在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A与原点重合，且 AB的斜率为，则BC的斜率可能为 A.－ B.－ C.－2 D.－3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设AB的倾斜角为α，BC的倾斜角为β，如图所示， 则β＝＋α或β＝＋α，tan α＝， 当β＝＋α时，tan β＝tan ＝－3； 当β＝＋α时，tan β＝tan＝－. 解析 14.已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P按顺时针方向旋转60°所得直线的斜率是　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线PQ的倾斜角为θ，则0°≤θ<180°， 因为kPQ＝－，所以tan θ＝－，则θ＝120°， 将直线绕点P按顺时针方向旋转60°， 所得直线的倾斜角为60°， 所以其斜率为tan 60°＝. 解析 15.已知正△ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点P(x，y) 是△ABC内部及其边界上一点，则的最大值为 A. B. C. D. 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 正△ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)且顶点C在第一象限， 故顶点C的坐标为(1＋，2)， 可看作△ABC内部及其边界上一点与点(－1，0) 的连线斜率， 当P运动到点B(1，3)时，直线的斜率最大， 故. 16.已知过坐标原点O的一条直线与函数y＝log9x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y＝log3x的图象交于C，D两点. (1)证明：点C，D，O在同一条直线上； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设点A(x1，log9x1)，B(x2，log9x2)， 则C(x1，log3x1)，D(x2，log3x2). 由A，O，B三点共线，知kOA＝kOB， 所以， 即， 所以，即kOC＝kOD. 所以点C，D，O在同一条直线上. 证明 (2)当直线BC的斜率为0时，求点A的坐标. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线BC的斜率为0时，BC∥x轴， 则log9x2＝log3x1， 即log3x2＝log3x1，所以x2＝. 由(1)知， 所以，解得x1＝2， 所以点A的坐标为(2，log92). 解 第二章　2.2.1　直线的倾斜角与斜率 <<< $