第1章 1.1.3 第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系、空间点与向量坐标及应用，通过平面向量坐标化类比导入，以问题驱动建立前后知识联系，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于结合几何直观与逻辑推理，通过正方体、直三棱柱等实例培养数学眼光与思维，用坐标公式精确表达空间关系。反思感悟与分层练习帮助学生巩固，也为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 第一章　 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 <<< 1.了解空间直角坐标系. 2.会求空间中的点的坐标，两点间的距离以及两点的中点坐标. 3.掌握空间向量坐标的简单应用. 学习目标 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题. 导 语 一、空间直角坐标系 二、空间点的对称问题 课时对点练 三、空间向量的坐标 随堂演练 内容索引 四、空间向量坐标的应用 空间直角坐标系 一 提示　斜二测画法，它是空间几何直观图的画法基础.它的口诀是：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现. 我们画空间几何图形用的什么方法？ 问题1 1.空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系 .然后过O作一条与 的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系，记作 . (1)x轴、y轴、z轴是两两互相 的，都称为 . (2)通过每两个坐标轴的平面都称为 ，分别记为 ， ， . xOy xOy平面垂直 Oxyz 垂直 坐标轴 坐标平面 xOy平面 yOz平面 zOx平面 知识梳理 (3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为 ，z轴与y轴(或x轴) .如图(1)(2)所示. 135°(或45°) 垂直 2.在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的 ，且x称为点M的 (或 )，y称为点M的 (或y坐标)，z称为点M的 (或 ). 3.卦限及各卦限内的符号：在空间直角坐标系中，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，各卦限的点(x，y，z)的坐标符号为：第Ⅰ卦限(＋，＋，＋)，第Ⅱ卦限(－，＋，＋)，第Ⅲ卦限(－，－，＋)，第Ⅳ卦限(＋，－，＋)，第Ⅴ卦限(＋，＋，－)，第Ⅵ卦限(－，＋，－)，第Ⅶ卦限(－，－，－)，第Ⅷ卦限(＋，－，－). 坐标分量 横坐标 x坐标 纵坐标 竖坐标 z坐标 (1)基向量：|e1|＝|e2|＝|e3|＝1，e1·e2＝e1·e3＝e2·e3＝0. (2)建系的条件：特殊图形以及有垂直关系的条件可考虑建系. (3)建系的要求：使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，充分利用几何图形的对称性. (4)坐标原点选择的不同，会导致点的坐标不同，但不会影响结果. 注 意 点 <<< 10 　(课本例5)已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是A1B1的中点.以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求以下各点的坐标：A，B，B1，E，F. 例 1 注意到正方体的棱长为1，因此A(1，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1). 又因为E，F分别是CC1，A1B1的中点，所以EF. 解 11 　如图所示，AF，DE分别是圆O，圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是圆O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标. 例 1 12 因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD， 所以OE⊥平面ABC. 又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以OE⊥AF，OE⊥BC， 又BC是圆O的直径，所以OB＝OC， 又AB＝AC＝6， 所以OA⊥BC，BC＝6 所以OA＝OB＝OC＝OF＝3. 解 13 如图所示，以O为坐标原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，所以A(0，－30)，B(30，0)，C(－30，0)，D(0，－38)，E(0，0，8)，F(0，30).(答案不唯一) 解 14 (1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上. ②充分利用几何图形的对称性. (2)求某点P的坐标的方法 一般先找到点P在xOy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确 定垂足N，其中||，||，||即为点P的横坐标、纵坐标、竖坐标的绝对值，再由，，的方向确定相应坐标的 符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，即可得到点P的坐标. 反 思 感 悟 15 　如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点.已知AB＝2，VO＝3，建立如图所示的空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标. 跟踪训练 1 ∵点V在z轴上，且OV＝3， ∴点V的坐标为(0，0，3). 同理得A(－1，－1，0)，B(1，－1，0)， C(1，1，0)，D(－1，1，0). 解 16 二 空间点的对称问题 　在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4). (1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标； 例 2 由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的分量不变，在y轴、z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P1(－2，－1，－4). 解 18 (2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标； 由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的分量不变，在z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P2(－2，1，－4). 解 19 (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标. 设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3的坐标为(6，－3，－12). 解 20 空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论. 反 思 感 悟 21 已知点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为　　 　　. 跟踪训练 2 点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1). 解析 (2，－3，1) 22 空间向量的坐标 三 提示　相同；若O(0，0)，P(x，y)，则＝(x，y)，也就是说有向线段的向量坐标表示为终点坐标减去起点坐标. 在平面直角坐标系下，O为坐标原点，的坐标和P点的坐标是否相同？ 问题2 1.空间直角坐标系下向量坐标 在空间直角坐标系下，如果指定单位向量e1，e2，e3的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{e1，e2，e3}为 ，且向量的坐标与P点的坐标 .即＝xe1＋ye2＋ze3＝ ⇔ . 2.空间向量坐标的计算及应用 在空间直角坐标系中，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则(1)＝ . 单位正交基底 相同 (x，y，z) P(x，y，z) (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 知识梳理 (2)||＝ . (3)线段AB中点M的坐标为 . 在空间直角坐标系中，有向线段表示的向量坐标为终点坐标减去起点坐标.特别地，当始点为坐标原点时，其坐标与终点坐标相同. 注 意 点 <<< 27 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A'B'C'D'中，E，F，G分别为棱DD'，D'C'，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标. (1)，，； 例 3 28 方法一　 ＝ ＝. 方法二　以A为原点，以AB为x轴，AD为y轴，AA'为z轴建立空间直角坐标系Axyz， 解 29 ∴A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A'(0，0，1)，B'(1，0，1)，C'(1，1，1)，D'(0，1，1)， 由中点坐标公式得E FG. ∴ 解 30 (2)，，. 31 方法一　－ ， ＝ ＝. 解 32 方法二　 . 解 33 本例中，若以{的坐标. 延伸探究 以点D为原点，DA，DC，DD'分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)， ∵A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A'(1，0，1)，B'(1，1，1)，C'(0，1，1)，D'(0，0，1)， ∴EFG ∴. 解 34 用坐标表示空间向量的步骤 反 思 感 悟 35 四 空间向量坐标的应用 (课本例7)如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝C1C＝2，AC⊥CB，且D，E分别是棱AB，B1C1的中点.建立适当的空间直角坐标系，求A1B与DE的长. 例 4 37 以Cx轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可知 C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)， A1(2，0，2)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2). 因此A1B＝＝2. 又因为D是AB的中点，所以D＝(1，1，0)，即D(1，1，0). 同理可得E(0，1，2).从而DE＝. 解 38 棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. (1)求证：⊥； 例 4 39 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D(0，0，0)，EC(0，1，0)， FG. ＝. ·×××0＝0⊥. 证明 40 (2)求与夹角的余弦值； · ＝×1＋×0＋× ||＝ ||＝ 所以cos＝. 解 41 (3)求CE的长. CE＝||＝. 解 42 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题. 反 思 感 悟 43 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值. 跟踪训练3 44 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)， EB(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)， 由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)， 因为3 所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)， 所以3a－3＝－a， 解得a＝ 解 45 所以点P. 由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)， ·＝0， ·＝0， 即－＝0， 解得b＝ 所以点Q. 解 46 ＝λ 所以(－1，－1，0)＝λ ＝－1，故λ＝－4. 解 47 1.知识清单： (1)空间直角坐标系. (2)空间点的对称问题与空间向量的坐标. (3)空间向量坐标的应用. 2.方法归纳：数形结合、类比. 3.常见误区：x，y，z轴的选择不是随意的，应符合正确的建系要求. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(－1，2，1)，B(1，3，4)，则 A.＝(－1，2，1) B.＝(1，3，4) C.＝(2，1，3) D.＝(－2，－1，－3) √ ＝(2，1，3). 解析 1 2 3 4 2.在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是 A.(－1，3，－5) B.(1，3，5) C.(1，－3，5) D.(－1，－3，5) √ 1 2 3 4 3.已知A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若，则C的坐标是 A. B. C. D. √ ∵＝(－3，7，－5)， ∴－3，7，－5)＝ ∴C. 解析 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面 BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为　　. 1 2 3 4 以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(1，1F 所以||＝. 解析 课时对点练 六 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C C BD BD 0 题号 11 12 13 14 　15 答案 B AD B 　C 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意得，D(1，2，1)，∴＝(1，1，－1)，||＝. (2＝(1，－2，1)， ∴·＝2－2a＋1＝1，解得a＝1， ∴＝(2，1，1). ∴cos＝ . 10. (1)∵D是原点，则D(0，0，0). 由AB＝BC＝2，D1D＝3， 得A(2，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，3)，C1(0，2，3). ∵N是AB的中点，∴N(2，1，0). 同理可得M(1，2，3). (2)由两点间距离公式得， MD＝ MN＝. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设侧棱长为b，则A(0，－1，0)，B10，b)， B0，0)，C1(0，1，b)， ＝1，b＝(－1，b). 因为AB1⊥BC1， ·＝1，b)·(－1，b) ＝－2＋12＋b2＝0，解得b＝. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)因为M为BC1的中点， ＝. (3)由(1＝＝(－1，0)， 因为||＝ ||＝＝2， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ·＝·(－1，0) ＝－2＋1×1＝－2， 所以cos＝＝－. －. 基础巩固 1.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2，4)关于y轴对称的点为 A.(－1，－2，－4) B.(－1，－2，4) C.(1，2，－4) D.(1，2，4) √ 关于y 轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(－1，－2，－4). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且＝2a，则点B的坐标为 A.(－7，10，24) B.(7，－10，－24) C.(－6，8，24) D.(－5，6，24) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a＝(－3，4，12＝2a， ∴＝(－6，8，24). 设B(x，y，z＝(x－1，y＋2，z)， ∴ 即点B的坐标为(－5，6，24). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则与的夹角为 A.30° B.45° C.60° D.90° √ θ. ＝(－1，1，0＝(0，3，3)， ∴cos θ＝ 又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥P－ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，E为PD的中点，则||等于 A.2 B. C. D.2 √ 由B(2，0，0)，E(0，1，1＝(－2，1，1)，∴||＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列说法正确的是 A.A，B，C三点共线 B.AB＝ C.与夹角的余弦值是 D.△ABC是直角三角形 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝(2，1，0＝(－1，2，1)， ＝(－3，1，1)， ∴A，B，C三点不共线，AB＝||＝. ∵·＝0，∴AB⊥AC， 即△ABC为直角三角形， 而cos＝＝－. 解析 6.(多选)在△ABC中，点A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(2，－3，1)，若△ABC为直角三角形，则k的值为 A. B. C.－1 D.－ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝(－3，－1，3k＝(1，－5，1＋3k)，＝(4，－4，1). 若A＝90°·＝0， 则－3＋5＋3k(1＋3k)＝0， 即9k2＋3k＋2＝0，方程无解； 若B＝90°·＝0， 则－12＋4＋3k＝0，解得k＝ 若C＝90°·＝0， 则4＋20＋1＋3k＝0，解得k＝－. 解析 7.若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n＝　　　. ＝(m－1，1，m－2n－3)， ＝(2，－2，6)， ∥ 所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0. 解析 0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则 △ABC的重心G的坐标是　 　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c). 由重心坐标公式得点G. 解析 9.已知点A(0，1，2)，B(1，－1，3)，C(1，5，－1). (1)若D为线段BC的中点，求线段AD的长； 由题意得，D(1，2，1)， ∴＝(1，1，－1)，||＝. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若＝(2，a，1)，且·＝1，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值. ＝(1，－2，1)， ∴·＝2－2a＋1＝1，解得a＝1， ∴＝(2，1，1). ∴cos＝ . 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出点D，N，M的坐标； ∵D是原点，则D(0，0，0). 由AB＝BC＝2，D1D＝3， 得A(2，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，3)，C1(0，2，3). ∵N是AB的中点，∴N(2，1，0). 同理可得M(1，2，3). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求线段MD，MN的长度. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由两点间距离公式得， MD＝ MN＝. 解 11.已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，若＋λ与(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为 A. B.－ C.± D.± √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＋λ＝(1，－λ，λ＝(0，－1，1)， cos 120°＝＝－ 可得λ<0，解得λ＝－. 解析 12.(多选)已知点A(－1，2，0)，B(－3，4，2)，点P在直线AB上，且||＝||，则点P的坐标为 A.(－2，3，1) B.(2，－3，－1) C.(0，－1，1) D.(0，1，－1) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x，y，z)， ∵＝(x＋1，y－2，z＝(－2，2，2)， ∵||＝||， ∴＝－. x＋1，y－2，z)＝－2，2，2)， ∴ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴点P(－2，3，1＝－ (x＋1，y－2，z)＝－－2，2，2)， ∴ ∴点P(0，1，－1). 解析 13.如图，在边长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝3，点P在底面正方形ABCD上移动(包含边界)，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为 A. B. C.3 D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，3)，E(1，3，0)，B1(3，3，3)， 设P(x，y，0)(x，y∈[0，3 ＝(x－3，y－3，－3＝(1，3，－3 ·＝x＋3y－3＝0⇒x＝3－3y， 所以0≤3－3y≤3⇒y∈[0，1]， 而||＝ ＝ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由二次函数的单调性可知 t＝10y2－6y＋18＝10＋18－ 当y＝1时，tmax＝22，则||max＝. 解析 14.已知点O(0，0，0)，A(1，2，2)，B(2，1，1)，P(1，0，2)，点Q在直 线OP上运动，当·取得最小值时，点Q的坐标是　　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝(1，0，2＝λ＝(λ，0，2λ)，λ∈R， 令Q(x，y，z＝(x，y，z)，所以x＝λ，y＝0，z＝2λ，则Q(λ，0，2λ)， ＝(1－λ，2，2－2λ＝(2－λ，1，1－2λ)， ·＝(1－λ)(2－λ)＋2＋2(1－λ)(1－2λ) ＝λ2－3λ＋2＋2＋2(2λ2－3λ＋1) ＝5λ2－9λ＋6＝5 故当λ＝·. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的动点，且AE＝BF，AC与EF交于G，EF在AB与CD之间滑动，但与AB和CD均不重合.现将四边形EFCD沿直线EF折起，使平面EFCD⊥平面ABFE，在EF从AB滑动到CD的过程中，∠AGC的大小 A.先变小后变大 B.先变大后变小 C.不发生变化 D.由小变大 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设正方形ABCD的边长为1，AE＝a，以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，  则A(a，0，0)，C(0，1，1－a)，G(0，a，0)，F(0，1，0)，B(a，1，0)， 解析 ＝(a，－a，0＝(0，1－a，1－a)， cos∠AGC＝ 由题意知0<a<1，则cos∠AGC＝－ 可知∠AGC＝120°，即角度不会发生变化，所以C正确. 16.已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求三棱柱的侧棱长； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设侧棱长为b，则A(0，－1，0)，B10，b)， B0，0)，C1(0，1，b)， ＝1，b＝(－1，b). 因为AB1⊥BC1， ·＝1，b)·(－1，b) ＝－2＋12＋b2＝0， 解得b＝. 解 (2)若M为BC1的中点，试用基底{，，}表示向量； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为M为BC1的中点， ＝. 解 (3)求与夹角的余弦值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1＝＝(－1，0)， 因为||＝ ||＝＝2， ·＝·(－1，0) ＝－2＋1×1＝－2， 所以cos＝＝－. －. 解 第一章　 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 <<< $