第1章 1.1.1 第1课时 空间向量的概念及线性运算（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量的概念、线性运算及共线问题应用，以滑翔伞运动场景导入，通过类比平面向量知识，引导学生从已有认知过渡到空间向量学习，构建知识迁移的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和几何模型（如正方体、空间四边形）为载体，培养学生空间观念与推理能力。通过例题解析向量线性表示，跟踪训练强化共线证明，帮助学生用数学语言表达空间关系，既提升学生逻辑思维，也为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

第1课时 第一章　 1.1.1　空间向量及其运算 <<< 空间向量的概念及线性运算 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的相关概念. 2.掌握空间向量的加法、减法及数乘运算，理解其几何意义. 3.掌握空间向量线性运算的应用. 学习目标 你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔伞运动呢？ 导 语 一、空间向量的概念 二、空间向量的加减法运算 课时对点练 三、空间向量的数乘运算 随堂演练 内容索引 四、空间向量线性运算的应用：共线问题 空间向量的概念 一 提示　①向量的概念：在平面内既有大小又有方向的量称为向量； ②画法：用有向线段AB画出来； ③表示方法：或a(书写时用带箭头的小写字母表示)； ④零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的； ⑤单位向量：在平面中模为1的向量称为单位向量； ⑥相等的向量：在平面中方向相同且大小相等的向量称为相等的向量； ⑦相反向量：在平面中大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量. 你还记得平面向量中有哪些与向量相关的概念？ 问题1 1.空间中既有 又有 的量称为空间向量，向量的大小也称为向量的 (或 ).空间向量可用有向线段表示，有向线段的 表示向量的大小，向量a的始点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为 . 大小 方向 长度 模 长度 |a|或|| 知识梳理 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 始点和终点相同的向量称为 ，记为0 单位向量 的向量称为单位向量 相反向量 与向量a大小 、方向 的向量，称为a的相反向量，记为_____ 平行(共线)向量 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(也称为两个向量共线) 相等的向量 大小相等、方向相同的向量称为相等的向量 零向量 模等于1 相等 相反 －a 3.共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在 内，则称这些向量 ；否则，称这些向量 . 同一平面 共面 不共面 (1)平面向量是一种特殊的空间向量. (2)任意两个空间向量可以相等，但不能比较大小，空间向量的模可以比较大小. (3)零向量的方向是任意的. (4)共线向量不一定具有传递性，比如其中一向量为0时，不具有传递性. (5)已知非零向量a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c. 注 意 点 <<< 10 　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是 A.单位向量都相等 B.空间向量就是空间中的一条有向线段 C.若向量，满足||>||，则> D.相等的向量其方向必相同 √ 例 1 A中，单位向量的长度相等，方向不确定，故A错误； B中，零向量不能用有向线段表示，故B错误； C中，向量不能比较大小，故C错误； D中，由相等的向量定义可知，D正确. 解析 11 (2)(多选)下列命题为真命题的是 A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有 C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D.空间中，a∥b，b∥c，则a∥c √ √ 12 A为假命题，根据相等的向量的定义知，两向量为相等的向量，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； B C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行. 解析 13 空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等的向量、向量共线、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 反 思 感 悟 14 　如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中： (1)试写出与相等的所有向量； 跟踪训练 1 3个. 解 15 (2)试写出的相反向量； . 解 (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模. ||＝ ＝＝3. 解 16 二 空间向量的加减法运算 提示　①平面向量的加法法则：向量加法的三角形法则或向量加法的平行四边形法则，记为a＋b；几何意义：(图略).a＋b表示以a与b首尾相连的三角形的第三边所对应的向量或以a与b为邻边的平行四边形所夹的对角线所对应的向量；口诀为：首尾相连，首向量的起点指向末向量的终点或相同起点对角线所对应向量. ②向量减法的三角形法则：记为a－b，几何意义：(图略).a－b表示以a与b为邻边的平行四边形的另一条对角线所对应向量，口诀：共起点的两个向量相减，其差为减向量的终点指向被减向量的终点的向量. 同学们，你们还记得平面向量的运算法则吗？ 问题2 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和，若封闭，和为0 图形叙述   平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述   空间向量的加减法运算 知识梳理 减法 运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述   加法 运算 交换律 a＋b＝________ 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) b＋a (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点. (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即＋…＋. (3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即＋…＋＝0. (4)一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量. 注 意 点 <<< 21 　(1)(多选)如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是 A. B. C. D. √ 例 2 √ 22 A ＝ B C ＝≠ D≠. 解析 23 (2)对于空间中的非零向量，，，其中一定不成立的是 A. B. C.||＋||＝|| D.||－||＝|| √ 24 根据空间向量的加减法运算， 对于A 对于C 有||＋||＝||； 对于D||≥||时， 有||－||＝||； 对于B 所以B一定不成立. 解析 25 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 反 思 感 悟 26 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果. (1)； 跟踪训练 2 . 解 27 (2). 连接GF . 解 28 空间向量的数乘运算 三 提示　在平面中a＋a＋a＝3a，我们称为向量的数乘运算，其结果仍是一个向量. 平面中是如何表示a＋a＋a的？ 问题3 空间向量的数乘运算 定义 实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量 几何 意义 λ>0且a≠0 λa与向量a的方向______ |λa|＝|λ|·|a| λ<0且a≠0 λa与向量a的方向______ λ＝0或a＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝______ 分配律 (λ＋μ)a＝ ，λ(a＋b)＝________ 相同 相反 (λμ)a λa＋μa λa＋λb 知识梳理 (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定共线. (4)空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算. 注 意 点 <<< 32 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)； 例 3 ∵P是C1D1的中点， ∴＝a＋ ＝a＋c＋＝a＋b＋c. 解 33 (2)； ∵N是BC的中点， ∴＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. 解 34 (3). ∵M是AA1的中点， ∴ ＝－a＋a＋b＋c. 解 35 若本例条件不变，试用a，b，c表示向量. 延伸探究 1 因为P，N分别是C1D1，BC的中点， ＋(－＋＝－a＋b－c. 解 36 若把本例中“P是C1D1的中点”改为“点P在线段C1D1上，且”，其他条件不变，如何表示？ 延伸探究 2 ＝a＋b＋c. 解 37 (1)利用数乘运算解题时，要结合具体图形，运用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)空间向量线性表示的常用结论 ①； ②在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，有； ③若O为空间中任意一点，则 (i)点P是线段AB中点的充要条件是)； (ii)若G为△ABC的重心，则). 反 思 感 悟 38 空间向量线性运算的应用：共线问题 四 设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝　　.  例 4 ＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2. ＝λ7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)， 所以λ＝7且λk＝k＋6，解得k＝1. 解析 1 40 对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线. (1)存在实数λ，使＝λ成立. (2)对空间任一点O，有＋t(t∈R). (3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1). 反 思 感 悟 41 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线. 跟踪训练3 42 ＝a＝b＝c， ＝2 b ＝＝a＋b－c. a－b－c＝. ＝－b－c＋a＝a－b－c E，F，B三点共线. 证明 43 1.知识清单： (1)向量的相关概念. (2)向量的线性运算(加法、减法和数乘). (3)向量线性运算的应用. 2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想. 3.常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.(多选)下列命题中，是真命题的是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 √ √ √ 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等的向量或相反向量. 解析 1 2 3 4 2.化简所得的结果是 A. B. C.0 D. √ ＝0. 解析 1 2 3 4 3.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是 A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 √ ∵ ∴. ∴∥||＝||. ∴四边形ABCD为平行四边形. 解析 4.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若 ＋x＋y，则x＝　　，y＝　　.  - - 由图可知， 因为 ＝ ＝ 所以x＝y＝－. 解析 1 2 3 4 课时对点练 六 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C A A ABC 0 题号 11 12 13 14 　15 答案 A BCD ABD 　AD 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1. (2)因为M是BB1. . (3.. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵ ＝ ＝－＝－ ＝－ ＝－ ＝ 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＋x＋y ∴x＝y＝－. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)在空间四边形ABCD中，E，F分AB，DC所成的比为λ ＝λ， .证明如下： ＝＋ ＝ ＝. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1 ＝. 基础巩固 1.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是 A.a＝b B.a＋b为实数0 C.a与b方向相同 D.|a|＝3 √ 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下列说法中正确的是 A.空间中共线的向量必在同一条直线上 B.的充要条件是A与C重合，B与D重合 C.在数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D.在四边形ABCD中，一定有 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误； 对于B.但A与C，B与D不一定重合，所以B错误； 对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确； 对于D的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是 A.，， B.，， C.，， D.，， √ . 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是 A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D √ ＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2B，故A，B，D三点共线. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.如图，在三棱锥O－ABC中，设＝a，＝b，＝c，若，＝2，则等于 A.a＋b－c B.－a－b＋c C.a－b－c D.－a＋b＋c √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接OM，ON＝－－ ＝a＋b－c. 解析 6.(多选)已知平行六面体ABCD－A'B'C'D'，则下列选项中正确的有 A. B. C. D. √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出平行六面体ABCD－A'B'C'D' B正确； C显然正确； 故D不正确. 解析 7.已知A，B，C三点共线，若对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，则λ＋m＋n＝　　.  因为λ≠0＝－. 由A，B，C三点共线得－＝1，所以λ＋m＋n＝0. 解析 0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设G是CD的中点，则)＝　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示.∵G是CD的中点， ∴＝ ∴ ＝. 解析 9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； . 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)； 因为M是BB1. . 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 .. 解 10.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＋x＋y，求x，y的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵ ＝ ＝－＝－ ＝－ ＝－ ＝ ＋x＋y ∴x＝y＝－. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在空间四边形ABCD中，若△BCD是正三角形，且E为其中心，连接DE，则的化简结果为 A.0 B. C. D. √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 延长DE，交BC于点F(图略)， 则F为BC ＝＝0. 解析 12.(多选)已知正方体ABCD－A'B'C'D'的中心为O，则在下列各结论中正确的有 A.与是一对相等向量 B.与是一对相等向量 C.与是一对相反向量 D.与是一对相反向量 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝－＝－， ＝－A错误； B正确； ＝－＝－ ＝－ 故是一对相反向量，C正确； ＝－D正确. 解析 13.(多选)如图，四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是AB，AD的中点， F，G分别是CB，CD上的点，且，，则 A. B. C. D.四边形EFGH是梯形 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵E，H分别是AB，AD的中点，∴ ∴EH是△ABD ＝ ×B正确； 显然直线EF和直线HG相交，故C不正确； ∵∴FG∥BD∥EH，且FG≠EH， 又直线EF与HG相交，∴四边形EFGH是梯形，故D正确. 解析 14.如图所示，P，Q分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，M是PQ上 靠近P的三等分点，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为P，Q分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，M是PQ上靠近P的三等分点， ＝ ＝ ＝ 所以x＝y＝z＝ x＋y＋z＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，P是CA1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，设＝a，＝b，＝c，则下列选项正确的为 A.(a＋b＋c) B.(a＋2b＋c) C.a＋b＋c D.a＋b＋c 拓广探究 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为P是CA1＝＝a＋b＋c)，故A正确，B错误； 解析 因为点Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1＝＋a＋b＋c，故C错误，D正确. 16.在平面四边形ABCD中，E，F分AB，DC所成的比为λ，即＝λ，则有. (1)拓展到空间，写出空间四边形ABCD类似的命题，并加以证明； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在空间四边形ABCD中，E，F分AB，DC所成的比为λ＝λ， .证明如下： ＝＋ ＝ ＝. 解 (2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，利用(1)的结论表示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1 ＝. 解 第一章　 1.1.1　空间向量及其运算 <<< $