第7章 统计案例 章末复习课（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学单元复习讲义围绕回归分析与独立性检验构建知识体系，通过要点归纳呈现线性相关判定、最小二乘法等核心内容，结合步骤总结（如回归分析“画散点图-求方程-实际应用”三步法）和例题解析，清晰展现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于以实际情境例题驱动能力培养，如湿地公园野生动物数量估计、体育节目收视与性别的独立性检验，引导学生通过相关系数计算、χ²值分析提升数据分析与数学运算素养。跟踪训练分层设计，反思感悟提炼通用方法，助力不同层次学生巩固基础或深化理解，为教师精准教学提供有效支持。

一、回归分析 1.主要考查两个变量线性相关的判定，以及利用最小二乘法求线性回归方程. 2.掌握求线性回归方程的方法和步骤，提升数学运算、数据分析的素养. 例1　某湿地公园经过近十年的规划和治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的300个地块，并设计两种抽样方案. 方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个地块作为样本区，依据抽样数据计算得到植物覆盖面积与野生动物的数量之间的样本相关系数r＝0.81； 方案二：在该地区应用分层随机抽样的方法抽取30个地块作为样本区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，30)，其中xi和yi分别表示第i个样本区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得xi＝60，yi＝1 200，(xi－)2＝90，(yi－)2＝8 000，(xi－)(yi－)＝800. (1)依据方案二中所给数据，求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样本区这种野生动物数量的平均数乘地块数)； (2)求方案二抽取的样本(xi，yi)(i＝1，2，…，30)的样本相关系数(精确到0.01)，并说明哪种抽样方法更能准确地估计. 参考数据：≈1.414. 解　(1)样本区这种野生动物数量的平均数为yi＝×1 200＝40， 地块数为300，所以该地区这种野生动物数量的估计值为300×40＝12 000. (2)样本(xi，yi)(i＝1，2，…，30)的样本相关系数为 r'＝≈0.94. 因为方案一的样本相关系数为r＝0.81>0，且明显小于方案二的样本相关系数为r'＝0.94， 所以方案二分层随机抽样的方法更能准确地估计. 反思感悟　解决回归分析问题的一般步骤 (1)画散点图.根据已知数据画出散点图. (2)判断变量的相关性并求线性回归方程.通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出线性回归方程. (3)实际应用.依据求得的线性回归方程解决实际问题. 跟踪训练1　某研究机构对高三学生的记忆力X和判断力Y进行统计分析，得下表数据： X 6 8 10 12 Y 2 3 5 6 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程Y＝X+； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力. 参考公式：，. 解　(1)如图， 样本点分布在一条直线附近，Y与X具有线性相关关系. (2)由表中数据可得，xiyi＝6×2+8×3+10×5+12×6＝158， ＝9， ＝4， ＝62+82+102+122＝344， 所以＝0.7， ＝4－0.7×9＝－2.3， 故Y关于X的线性回归方程为Y＝0.7X－2.3. (3)由(2)中线性回归方程可知，当X＝9时， Y＝0.7×9－2.3＝4， 故预测记忆力为9的同学的判断力约为4. 二、独立性检验 1.主要考查根据样本制作2×2列联表，由2×2列联表计算χ2，分析并判断相关性结论的可信程度. 2.通过计算χ2的值，进而分析相关性结论的可信程度，提升数学运算、数据分析素养. 例2　电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性. (1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，试问：“体育迷”与性别是否有关？ 性别 是否为“体育迷” “非体育迷” “体育迷” 总计 男 女 总计 (2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率. 解　(1)提出假设H0：“体育迷”与性别无关. 由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100×(10×0.020+10×0.005)=25. “非体育迷”人数为75，根据题意完成2×2列联表： 性别 是否为“体育迷” “非体育迷” “体育迷” 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 将2×2列联表的数据代入公式计算： χ2==≈3.030， 因为3.030>2.706，所以我们认为H0不成立，即认为“体育迷”与性别有关. (2)由所给的频率分布直方图知“超级体育迷”人数为100×(10×0.005)＝5，记ai(i＝1，2，3)表示男性，bj(j＝1，2)表示女性. 方法一　所有可能结果构成的样本空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a2，b1)，(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共有10个样本点，且每个样本点出现是等可能的；用A表示事件“任选2人，至少有1名女性”，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共有7个样本点，故“任选2人，至少有1名女性”的概率为P(A)＝. 方法二　设“任选2人，至少有1名女性”为事件A，则P(A)＝1－＝1－. 反思感悟　独立性检验问题的一般步骤 (1)认真读题，指出相关数据，得出2×2列联表. (2)根据2×2列联表中的数据，计算统计量χ2. (3)通过统计量χ2与已知临界值的比较判断“X与Y有关系”的把握的大小. 跟踪训练2　某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下. 了解情况 性别 男 女 总计 了解 20 不了解 20 40 总计 (1)将列联表补充完整； (2)试问：该校学生对该宣传活动的了解情况是否与性别有关？ (3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为X，求随机变量X的分布列、均值、方差. 解　(1)由题得列联表如下， 了解情况 性别 男 女 总计 了解 40 20 60 不了解 20 20 40 总计 60 40 100 (2)提出假设H0：该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关. 由(1)得χ2==≈2.778>2.706， 所以我们认为H0不成立，即认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关. (3)由(1)可知抽取的100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为40人和20人， 所以从了解该活动的学生中随机抽取1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为， 则由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3， 且X~B， 所以P(X＝0)＝， P(X＝1)＝×， P(X＝2)＝×， P(X＝3)＝， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以随机变量X的均值为EX＝np＝3×＝1， 随机变量X的方差为DX＝np(1－p)＝3××. 学科网（北京）股份有限公司 $