第3章 空间向量与立体几何 章末复习课（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理空间向量单元知识，以平面向量推广为起点，分概念运算、位置关系证明、空间角求解、距离计算四个专题，呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，如多选判断向量运算（例1）、高考题求二面角（跟踪训练3），培养数学运算与逻辑思维素养。反思感悟总结向量法步骤，帮助学生掌握转化思想，支持分层复习与教师精准教学。

一、空间向量的概念及运算 1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基表示和坐标表示是向量运算的基础. 2.向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算能力. 例1　(1)(多选)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是(　　) A.＝0 B.＝0 C.＝0 D.·· 答案　CD 解析　因为＝0，所以C正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos∠ASB，·＝2×2×cos∠CSD，又∠ASB＝∠CSD，则··，因此D正确，其余两个都不正确. (2)已知空间向量a＝(2，4，－2)，b＝(－1，0，2)，c＝(x，2，－1).若b⊥c，则cos〈a，c〉＝　　　　. 答案　 解析　因为b⊥c，则b·c＝－x＋0－2＝0， 解得x＝－2，所以c＝(－2，2，－1)， 故cos〈a，c〉＝ ＝. 反思感悟　空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的. (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y. 跟踪训练1　(1)在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足||＝||，则P点坐标为(　　) A.(3，0，0) B.(0，3，0) C.(0，0，3) D.(0，0，－3) 答案　C 解析　设P(0，0，z)， 则有 ＝，解得z＝3. (2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. ①求的长； ②求与夹角的余弦值. 解　记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝. ①||2＝(a＋b＋c)2 ＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) ＝1＋1＋1＋2×＝6，∴||＝. ②＝b＋c－a，＝a＋b， ∴||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b) ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， ∴cos〈，〉＝. 二、利用空间向量证明位置关系 1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明. 2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力. 例2　在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点. (1)求证：BM∥平面PAD； (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由. (1)证明　以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1)， ∵＝(0，1，1)，平面PAD的一个法向量为n＝(1，0，0)， ∴·n＝0，即⊥n， 又BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD. (2)解　由(1)知，＝(－1，2，0)，＝(1，0，－2)， 假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD. 设N(0，y，z)，则＝(－1，y－1，z－1)， 则MN⊥BD，MN⊥PB， ∴即 ∴∴N， ∴在平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD. 反思感悟　利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基或建立空间直角坐标系转化为坐标运算，再借助向量的有关性质求解(证). 跟踪训练2　如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. (1)证明：平面PQB⊥平面DCQ； (2)证明：PC∥平面BAQ. 证明　如图，以D为坐标原点，线段DA的长度为单位长度，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系. (1)依题意有D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)， 则＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)， 所以·＝0，·＝0， 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC. 又DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ， 故PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQB， 所以平面PQB⊥平面DCQ. (2)根据题意，＝(1，0，0)，＝(0，0，1)，＝(0，1，0)，故有·＝0，·＝0， 所以为平面BAQ的一个法向量. 又因为＝(0，－2，1)，且·＝0， 即⊥，且PC⊄平面BAQ， 故有PC∥平面BAQ. 三、利用空间向量求空间角 1.空间向量与空间角的关系 (1)两条异面直线的夹角为θ：cos θ＝|cos〈u，ν〉|＝(其中u，v分别是两异面直线的方向向量). (2)直线与平面的夹角为θ：sin θ＝|cos〈u，n〉|＝(其中u是直线的方向向量，n是平面的法向量). (3)两个平面的夹角为θ：cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝(其中n1，n2分别是两平面的法向量). 2.通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力. 例3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，点E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题： (1)求异面直线AF和BE的夹角； (2)求直线AF和平面BEC夹角的正弦值. 解　(1)由题意得A(2，0，0)，F，B(2，2，0)，E(1，1，)，C(0，2，0). ∴，＝(－1，－1，)， ∴·＝1－2＋1＝0. ∴直线AF和BE的夹角为90°. (2)设平面BEC的法向量为n＝(x，y，z)， 又＝(－2，0，0)，＝(－1，－1，)， 则n·＝－2x＝0，n·＝－x－y＋z＝0， ∴x＝0，取z＝1，则y＝， ∴平面BEC的一个法向量为n＝(0，，1). ∴cos〈，n〉＝. 设直线AF和平面BEC的夹角为θ，则sin θ＝，即直线AF和平面BEC夹角的正弦值为. 反思感悟　(1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标. (2)直线和平面的夹角、两个平面的夹角类问题有两种思路：转化为两条直线的夹角、利用平面的法向量. 跟踪训练3　(2024·新课标全国Ⅰ)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝. (1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC； (2)若AD⊥DC，且二面角A－CP－D的正弦值为，求AD. (1)证明　因为PA⊥平面ABCD， 而AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥AD， 又AD⊥PB，PB∩PA＝P， PB，PA⊂平面PAB， 所以AD⊥平面PAB， 而AB⊂平面PAB， 所以AD⊥AB. 因为BC2＋AB2＝AC2， 所以BC⊥AB， 根据平面知识可知AD∥BC， 又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AD∥平面PBC. (2)解　方法一　以D为原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 设AD＝p，DC＝q， 满足p2＋q2＝AC2＝4. 则A(p，0，0)，P(p，0，2)，C(0，q，0)，D(0，0，0). 设平面APC的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 因为＝(0，0，2)，＝(－p，q，0)， 所以 取m＝(q，p，0). 设平面DPC的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 因为＝(p，0，2)，＝(0，q，0)， 所以 取n＝(2，0，－p). 所以|cos 〈m，n〉|＝ ＝， 又因为p2＋q2＝4，所以， 解得p＝(负值舍去)， 即AD＝. 方法二　如图所示，过点D作DE⊥AC于点E， 再过点E作EF⊥CP于点F，连接DF， 因为PA⊥平面ABCD， PA⊂平面PAC， 所以平面PAC⊥平面ABCD， 又平面PAC∩平面ABCD＝AC， DE⊂平面ABCD， 所以DE⊥平面PAC， 因为CP⊂平面PAC，所以DE⊥CP， 又EF⊥CP，EF∩DE＝E， EF，DE⊂平面DEF， 所以CP⊥平面DEF， 所以DF⊥CP， 根据二面角的定义可知， ∠DFE即为二面角A－CP－D的平面角， 即sin∠DFE＝， 即tan∠DFE＝. 因为AD⊥DC，设AD＝x，0<x<2， 则DC＝， 由等面积法可得，DE＝， 又CE＝， 而△EFC为等腰直角三角形， 所以EF＝， 又DE⊥平面PAC，EF⊂平面PAC， 所以DE⊥EF， 故tan∠DFE＝， 解得x＝，即AD＝. 四、利用空间向量计算距离 1.空间距离的计算思路 (1)直线l外一点P到直线l的距离：d＝(其中l0是直线l的单位方向向量，A是直线l上一点) (2)平面α外一点P到平面α的距离：d＝(其中A是平面α内的定点，n是平面α的法向量). 2.通过利用向量计算空间距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力. 例4　在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离. 解　如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，则A，B，C，D， ∴ ＝， ＝， ， 设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量， 则 ∴y＝－x，z＝－x，可取n＝(－，1，3)， 则d＝ ＝， 即点D到平面ABC的距离是. 反思感悟　利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可. 跟踪训练4　(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点，下列判断正确的是(　　) A.B1C∥平面A1BD B.平面A1BD⊥平面AA1C1C C.直线B1C到平面A1BD的距离是 D.点A1到直线BC的距离是 答案　ABD 解析　如图所示，连接AB1交A1B于点E，连接DE， 所以DE∥B1C， 又DE⊂平面A1BD， B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD，故A正确； 因为AB＝BC，D是AC的中点， 所以BD⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABC， 平面ABC∩平面AA1C1C＝AC， 所以BD⊥平面AA1C1C， 又BD⊂平面A1BD， 所以平面A1BD⊥平面AA1C1C，故B正确； 因为B1C∥平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离等于点B1到平面A1BD的距离， 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B1(0，2，3)，B(0，2，0)，A1(－1，0，3)， 所以＝(0，2，3)， ＝(0，2，0)，＝(－1，0，3)， 设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 不妨取n＝(3，0，1)， 则所求距离为，故C错误； 由C(1，0，0)，＝(1，－2，0)， 取a＝＝(－1，－2，3)， u＝， 则点A1到直线BC的距离d＝，故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $