高中数学单元测试——第七章统计案例（较难版02）

**基本信息** 高中数学第七章统计案例单元复习卷，以现实情境为载体，覆盖线性回归、独立性检验等核心知识，通过分层设问培养数据分析与模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题30分|散点图判断、相关系数比较、回归方程计算|基础概念辨析，如第2题通过相关系数绝对值比较线性相关程度| |多选题|2题12分|K²统计量意义、回归分析影响因素|概念深度理解，如第7题考查K²与独立性检验的关系| |填空题|2题10分|列联表补全、回归方程参数求解|数据处理能力，如第10题利用样本中心点求回归系数| |解答题|3题48分|散点图绘制、独立性检验、回归方程建立与预测|综合应用，如第13题结合错题时长与成绩关联性研究，体现数学建模与数据分析素养|

高中数学单元测试 —— 第七章 统计案例（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下图是根据的观测数据得到的散点图，则变量能用一元线性回归模型来刻画，且的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，则线性相关程度最强的是（    ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 3．（本题5分）回归方程，当x每增加1时，的变化为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（本题5分）根据成对样本数据建立变量y关于x的经验回归方程为.若y的均值为6.2，则x的均值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 5．（本题5分）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，结论为（    ） A．变量与独立 B．变量与不独立 C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 6．（本题5分）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取100名学生．通过测验得到如下的列联表： 单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲 40 10 50 乙 30 20 50 合计 70 30 100 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下列结论正确的是（    ） A．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率无差异 B．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 D．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 二、多选题 7．（本题6分）下列关于的说法正确的是（    ） A．根据列联表中的数据计算得出，则有的把握认为两个分类变量有关系 B．越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大 C．是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量 D．，其中为样本容量 8．（本题6分）研究变量x，y得到n组成对数据，，2，…，n，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．相关系数不变 B．变量x与y的相关性变强 C．线性回归方程不变 D．回归系数不变 三、填空题 9．（本题5分）下面是列联表： 总计 总计 则________． 10．（本题5分）一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则实数的值为__________. 零件数x（个） 2 3 4 5 加工时间y（分钟） 30 a 40 50 四、解答题 11．（本题14分）某公司利润与销售总额之间有如下对应数据： 亿元 1.0 1.5 1.7 2.0 2.5 2.8 3.2 万元 1000 1300 1800 2000 2600 2700 3300 (1)画出散点图； (2)判断与是否具有线性相关关系． 12．（本题16分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 6 女生 10 合计 48 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为． (1)请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）； (2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； (3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值． 13．（本题18分）为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长小时”和“整理错题时长小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量y，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 x 0 1 2 2 3 4 y 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义； (2)请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？ 参考数据与公式：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第七章 统计案例（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下图是根据的观测数据得到的散点图，则变量能用一元线性回归模型来刻画，且的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元线性回归模型的散点图特征判断. 【详解】根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，又，所以散点从左上至右下． 故选：A. 2．（本题5分）已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，则线性相关程度最强的是（    ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【答案】D 【分析】根据相关系数的性质即可得到答案. 【详解】相关系数的绝对值越大，则其相关程度越强， 又因为，所以线性相关程度最强的是丁组. 故选：D. 3．（本题5分）回归方程，当x每增加1时，的变化为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合题意得到，再将两式相减，得到结果即可. 【详解】因为，所以当x每增加1时，， 则，得到的变化为，故B正确. 故选：B. 4．（本题5分）根据成对样本数据建立变量y关于x的经验回归方程为.若y的均值为6.2，则x的均值为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】利用经验在归方程经过点,即可求出结果. 【详解】将代入方程，解得. 故选：B. 5．（本题5分）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，结论为（    ） A．变量与独立 B．变量与不独立 C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 【答案】A 【分析】根据题意，结合独立性检验的知识和比对的参考值，即可得到答案. 【详解】由题意知，，依据的独立性检验， 因为，可得，可以认为变量与独立. 6．（本题5分）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取100名学生．通过测验得到如下的列联表： 单位：人 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲 40 10 50 乙 30 20 50 合计 70 30 100 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下列结论正确的是（    ） A．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率无差异 B．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 D．依据小概率值的独立性检验，认为两校学生的数学成绩优秀率有差异 【答案】B 【分析】根据独立性检验的基本思想，结合已知计算得，逐项进行分析即可求解. 【详解】零假设为：两校学生的数学成绩优秀率无差异， A，若，因为，故有充分的证据推断不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率有差异，故A错误； B，若，因为，故有充分的证据推断不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率有差异，故B正确； C，若，因为，故没有充分的证据推断不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率无差异，故C错误； D，若，因为，故没有充分的证据推断不成立， 即两校学生的数学成绩优秀率无差异，故D错误. 故选：B 二、多选题 7．（本题6分）下列关于的说法正确的是（    ） A．根据列联表中的数据计算得出，则有的把握认为两个分类变量有关系 B．越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大 C．是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量 D．，其中为样本容量 【答案】ABC 【分析】根据独立性检验概念及公式分别判断各个选项. 【详解】根据列联表中的数据计算得出，则有的把握认为两个分类变量有关系，A选项正确； 越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大，B选项正确； 是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量，C选项正确； 公式中分子应该是，D选项错误. 故选：ABC. 8．（本题6分）研究变量x，y得到n组成对数据，，2，…，n，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．相关系数不变 B．变量x与y的相关性变强 C．线性回归方程不变 D．回归系数不变 【答案】ACD 【分析】设，，得到，，根据相关系数的计算公式，可得判定A正确，B错误；根据回归系数的计算公式，可得判定C和D正确，即可得到答案. 【详解】设，，则，，所以，. 对于A、B中，由， ，， 则相关系数， 可得相关系数不变，所以变量x与y的相关性不变，故A正确，B错误； 对于C、D中，因为， 且回归直线过点，所以均不变，所以线性回归方程不变，故C和D都正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．（本题5分）下面是列联表： 总计 总计 则________． 【答案】 【分析】根据列联表中的数据求得，进而求得. 【详解】， 所以. 故答案为： 10．（本题5分）一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则实数的值为__________. 零件数x（个） 2 3 4 5 加工时间y（分钟） 30 a 40 50 【答案】36 【分析】根据回归方程经过样本中心点，代入即可求得的值. 【详解】根据表中数据可知，， 因为回归方程经过样本中心点， 代入回归直线方程可得，解得， 故答案为：36. 四、解答题 11．（本题14分）某公司利润与销售总额之间有如下对应数据： 亿元 1.0 1.5 1.7 2.0 2.5 2.8 3.2 万元 1000 1300 1800 2000 2600 2700 3300 (1)画出散点图； (2)判断与是否具有线性相关关系． 【答案】(1)散点图见解析 (2)与具有线性相关关系 【分析】（1）依据数据描点得到散点图； （2）根据散点图判断线性相关. 【详解】（1）根据表中数据，画出散点图如图所示．    （2）根据散点图中点的分布呈带状，且在一条直线的附近，判断与具有线性相关关系． 12．（本题16分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的列联表： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 6 女生 10 合计 48 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为． (1)请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）； (2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； (3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值． 【答案】(1)答案见解析 (2)能，理由见解析 (3)分布列见解析，1 【分析】（1）根据题意可计算出喜爱打篮球的学生人数，即可得出列联表； （2）根据独立性检验的基本原理，计算的值，与临界值表比较，可得结论； （3）确定的可能取值，计算每个值对应的概率，即可得分布列，继而可计算出期望. 【详解】（1）喜爱打篮球的学生有人，喜爱打篮球的男生有人， 不喜爱打篮球的学生有人，不喜爱打篮球的女生有人， 故列联表如下： 性别 打篮球 合计 喜爱 不喜爱 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 （2）零假设，假设是否喜爱打篮球与性别无关． 因为，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． （3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为0，1，2．其概率分别为，，， 故的分布列为 0 1 2 的均值为． 13．（本题18分）为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长小时”和“整理错题时长小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量y，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 x 0 1 2 2 3 4 y 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义； (2)请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？ 参考数据与公式：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】(1)认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，答案见解析 (2)，145.5分，该结果与实际得分不一定相符合，原因见解析 【分析】（1）根据独立性检验的概念，求出，判断假设是否成立即可； （2）根据最小二乘估计公式求出经验回归方程，进而计算估计结果，判断其是否符合事实即可. 【详解】（1）零假设为：高中生数学成绩与每周自主整理错题时长无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，该推断犯错误的概率不超过0.001． （2）由数据得，，， ， ， 得，， 所以y关于x的经验回归方程为． 将代入经验回归方程得， 所以预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为145.5分． 该结果与实际得分不一定相符合，原因是把每周整理错题时长为4.5小时的学生数学成绩作为一个子总体，数学成绩为145.5分是这个子总体的均值的估计值，影响数学成绩还有其他的因素（言之合理即可）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $