第6章 再练一课(范围：§3～§5)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦概率统计核心概念，以分布模型为主线，通过选择、填空、解答题递进式训练，系统覆盖正态分布、二项分布等知识逻辑，培养数据意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解与计算|9题（含正态分布对称性、二项分布均值等）|单选、多选题为主，考查分布列、均值方差基本计算|从离散型随机变量定义到数字特征，构建概念-计算逻辑链| |公式应用与拓展|3题（含切比雪夫不等式应用）|填空题，涉及二项分布参数求解、正态分布σ确定|公式推导与实际情境结合，强化知识迁移能力| |综合建模与决策|3题（含会展天数期望、销售方案决策）|解答题，需建立概率模型解决实际问题|从数学思维到数学语言表达，体现应用意识与实践能力|

再练一课(范围：§3~§5) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若X~N(－1，σ2)，且P(－4≤X<－1)＝0.45，则P(X>2)等于(　　) A.0.45 B.0.3 C.0.1 D.0.05 答案　D 解析　∵X~N(－1，σ2)，∴正态曲线的对称轴为x＝－1，又P(－4≤X<－1)＝0.45，∴P(X>2)＝P(X<－4)＝0.5－P(－4≤X<－1)＝0.5－0.45＝0.05. 2.已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P m 则X的均值EX等于(　　) A. B.1 C. D.2 答案　B 解析　由++m+＝1，得m＝， 所以EX＝0×+1×+2×+3×＝1. 3.有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于(　　) A. B. C. D.1 答案　C 解析　由题意，知X的所有可能取值为0，1，2，X服从超几何分布， 则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， 于是P(X<2)＝P(X＝0)+P(X＝1)＝+. 4.高考前某班一次数学模拟成绩X(单位：分)近似服从正态分布N(100，100)，则P(90<X≤120)约为(　　) A.0.954 5 B.0.818 6 C.0.841 35 D.0.682 7 答案　B 解析　因为X~N(100，100)， 所以μ=100，σ=10， P(100-10<X≤100+10)=P(90<X≤110) ≈0.682 7， P(100-20<X≤100+20)=P(80<X≤120) ≈0.954 5， 所以P(110<X≤120)≈ =0.135 9， 所以P(90<X≤120)≈0.682 7+0.135 9=0.818 6. 5.两位教师和两位学生排成一排拍合照，记ξ为两位学生中间的教师人数，则Eξ等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据题意知，随机变量ξ的取值为0，1，2， 可得P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝， 所以Eξ＝0×+1×+2×. 6.小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为p(0<p<1)，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使P(X＝6)最大的N值估计N的取值并计算EX(若有多个N使P(X＝6)最大，则取其中的最小N值).下列说法正确的是(　　) A.EX>6 B.EX<6 C.EX＝6 D.EX与6的大小无法确定 答案　B 解析　X服从二项分布B(N，p)，则P(X＝6)＝p6(1－p)N－6， P(X＝6)最大即为满足解得－1≤N≤， 又N∈N+，故当为整数时， 结合题设要求N＝－1，EX＝p＝6－p<6； 当不为整数时，N<，EX＝Np<6，故EX<6. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.离散型随机变量X的分布列如表所示，m，n是非零实数，则下列说法正确的是(　　) X 2 025 2 026 P m n A.m+n＝1 B.X服从两点分布 C.2 025<EX<2 026 D.DX＝mn 答案　ACD 解析　对于A，由分布列的性质知，m+n＝1，所以A正确； 对于B，根据两点分布的定义知，若随机变量X服从两点分布，则其取值为0和1，所以B不正确； 对于C，由均值的公式，可得EX＝2 025m+2 026n＝2 025(1－n)+2 026n＝2 025+n， 因为0<n<1，所以2 025<2 025+n<2 026，即2 025<EX<2 026，所以C正确； 对于D，由方差的公式，可得DX＝[2 025－(2 025+n)]2·m+[2 026－(2 025+n)]2·n＝n2·m+(1－n)2·n＝mn2+m2n＝mn(m+n)＝mn，所以D正确. 8.已知X~B(3，p)(0<p<1)，4P(X＝3)+P(X＝2)＝，且Y＝2X+1，则下列结论正确的是(　　) A.p＝ B.EX＝ C.DX＝ D.EY－1＝2DY 答案　BC 解析　由题意得 4p3+p2(1－p)＝p3+3p2＝. 因为函数f(p)＝p3+3p2在(0，1)上单调递增，且f ，所以p＝，故A错误； 因为EX＝3p＝，DX＝3p(1－p)＝，故B，C正确； 所以EY－1＝E(2X+1)－1＝2EX+1－1＝3，DY＝22DX＝3， 则EY－1＝DY，故D错误. 9.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有(　　) A.从中任取3个球，恰有一个白球的概率是 B.从中有放回地取球6次，每次任取1球，则取到红球次数的方差为 C.现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为 D.从中有放回地取球3次，每次任取1球，则至少有一次取到红球的概率为 答案　ABD 解析　对于A，恰有一个白球的概率P＝，故A正确； 对于B，每次任取1球，取到红球的次数X~B，其方差为6××，故B正确； 对于C，设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}，则P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝，故C错误； 对于D，每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为1－，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.若离散型随机变量X~B(n，p)，且EX＝3，DX＝2，则n＝　　　　. 答案　9 解析　由题意知np＝3，np(1－p)＝2，可得p＝，n＝9. 11.某工厂生产的产品的质量指标X服从正态分布N(100，σ2).质量指标高于99且不高于101的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为　　　　.(附：若X~N(μ，σ2)，则P(μ－2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5)  答案　 解析　依题意可知，μ＝100，再根据题意以及正态曲线的特征可知，(100-2σ，100+2σ]⊆(99，101]， 所以解得σ≤，故σ至多为. 12.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量X，若其均值EX和方差DX均存在，则对任意正实数ε，有P(|X－EX|<ε)≥1－.根据该不等式可以对事件|x－EX|<ε的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X，为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4，0.6)内，估计信号发射次数n的值至少为　　　. 答案　1 250 解析　由题意知X~B， 所以E(X)＝0.5n，D(X)＝0.25n， 若0.4<<0.6，则0.4n<X<0.6n， 即－0.1n<X－0.5n<0.1n，即|X－0.5n|<0.1n， 由切比雪夫不等式P(|X－0.5n|<0.1n)≥1－知， 要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4，0.6)内，则1－≥0.98，解得n≥1 250， 所以估计信号发射次数n的最小值为1 250. 四、解答题(共37分) 13.(12分)某市会展公司计划在未来一周组织5天广场会展.若会展期间有风雨天气，则暂停该天会展.根据该市气象台预报得知，未来一周从周一到周五的5天时间内出现风雨天气情况的概率是：前3天均为，后2天均为(假设每一天出现风雨天气与否是相互独立的). (1)求未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展的概率；(5分) (2)求这次会展活动展出的平均天数(结果精确到0.1).(7分) 解　(1)记“未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展”为事件A，则事件表示未来一周5天展出会展，于是 P()＝×， 则P(A)＝1－P()＝1－， 所以未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展的概率是. (2)设随机变量X表示会展展出的天数， 则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5， P(X＝0)＝×， P(X＝1)＝+·， P(X＝2)＝+·+， P(X＝3)＝+·+， P(X＝4)＝+·， 由(1)知，P(X＝5)＝P()＝， 所以EX＝1×+2×+3×+4×+5×＝1.9， 即这次会展活动展出的平均天数是1.9. 14.(12分)某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100箱则有以下两种优惠方案：①以100箱为基准，每多购买50箱送5箱；②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4. (1)甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；(5分) (2)某单位需要这种零件650箱，以购买总价的均值为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？(7分) 解　(1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4×0.6＝0.24， 所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率为1－0.24＝0.76. (2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188. 则X的分布列为 X 184 188 P 0.6 0.4 则EX＝184×0.6+188×0.4＝185.6(元). 若选择方案②，则购买总价的均值为185.6×650＝120 640(元). 若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱， 从而购买总价为200×600＝120 000(元). 因为120 640>120 000， 所以选择方案①更划算. 15.(13分)“全国文明城市”已成为一块在国内含金量最高、综合性最强、影响力最大的“金字招牌”.为提升城市管理水平和区域竞争力，提升市民素养和群众幸福指数，某市决定参与创建“全国文明城市”.为确保创建工作各项指标顺利完成，市“创建办”拟通过网络对市民进行一次“文明创建知识”问卷调查(一位市民只参加一次).通过随机抽样，得到参加调查的100人的得分统计如表所示： 组别 [30， 40) [40， 50) [50， 60) [60， 70) [70， 80) [80， 90) [90， 100] 频数 1 12 22 25 25 11 4 (1)由频数分布表可以大致认为：此次问卷调查的得分ξ~N(μ，198)，μ近似为这100人得分的均值.求得分在区间(80，94]内的概率P(80<ξ≤94)；(注：同一组的数据用该组区间的中点值作代表)(5分) (2)在(1)的条件下，市“创建办”为鼓励市民积极参与创建问卷调查，制定了如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率如表所示：(8分) 赠送话费的金额(元) 30 50 概率 现有市民甲参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与均值. 附：①35×1+45×12+55×22+65×25+75×25+85×11+95×4＝6 600；②≈14；③若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5. 解　(1)根据表格中的数据，可得μ＝×(35×1+45×12+55×22+65×25+75×25+85×11+95×4)＝66， σ＝≈14， 所以P(80<ξ≤94)＝P(μ+σ<ξ≤μ+2σ) ≈＝0.135 9. (2)由题意，可得P(ξ<μ)＝P(ξ≥μ)＝， 则获赠话费X的可能取值为30，50，60，80，100， P(X＝30)＝×， P(X＝50)＝×， P(X＝60)＝××， P(X＝80)＝××+××， P(X＝100)＝××， 则X的分布列为 X 30 50 60 80 100 P 故均值EX＝30×+50×+60×+80×+100×＝55(元). 学科网（北京）股份有限公司 $