第5章 再练一课(范围：§1～§3)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦排列组合与计数原理，以分步分类原理为核心，通过实际情境问题构建"原理应用-模型转化-综合拓展"的递进式训练体系，培养数学逻辑思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计数|3题（2,3,10）|分步乘法/分类加法原理|从简单独立事件到多步骤关联事件| |排列应用|4题（4,6,11,13）|插空法/定序问题消序法|元素位置限制→特殊优先策略→模型化处理| |组合应用|3题（5,12,14）|分类枚举/正难则反|无序选取→重复元素处理→实际情境转化| |综合拓展|2题（8,15）|立体几何计数/多条件融合|平面到空间的维度拓展，多原理综合应用|

再练一课(范围：§1~§3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.计算：等于(　　) A.120 B.240 C.60 D.480 答案　A 解析　＝120. 2.有4个家庭准备在五一小长假期间选择吉林、白山、四平三个城市中的一个城市旅游，则这4个家庭不同的安排方法有(　　) A.24种 B.6种 C.64种 D.81种 答案　D 解析　由题意可知，每一个家庭有3种选择方法， 则4个家庭共有3×3×3×3＝81(种)选择方法. 3.某地安排7名干部(3男4女)到三个村调研走访，每个村安排男、女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有(　　) A.72种 B.108种 C.144种 D.210种 答案　C 解析　∵每个村男、女干部各1名，∴可先安排男干部，共＝6(种)，再安排女干部，共有＝24(种)，∴共有6×24＝144(种)不同的安排方案. 4.小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为了安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为(　　) A.8 B.12 C.16 D.20 答案　C 解析　方法一　将4个座位编号如图，4人的座位可分四种情况，①④坐家长②③坐孩子、①④坐孩子②③坐家长、①③坐家长②④坐孩子、①③坐孩子②④坐家长，所以不同的坐法种数为4＝16. ① ② ③ ④ 方法二　当两个孩子挨着坐且坐在两端时有一个孩子两侧均无家长，所以不同的坐法种数为－2＝16. 5.小明在学校里学习了二十四节气歌后，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在冬季的6个节气：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒与春季的6个节气：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨中一共选出4个节气，搜集与之相关的古诗，如果冬季节气和春季节气各至少被选出1个，那么小明选取节气的不同情况的种数是(　　) A.345 B.465 C.1 620 D.1 860 答案　B 解析　根据题意可知，小明可以选取1冬3春、2冬2春、3冬1春. 1冬3春的不同情况有＝120(种). 2冬2春的不同情况有＝225(种). 3冬1春的不同情况有＝120(种). 所以小明选取节气的不同情况有＝465(种). 6.贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂4盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为(　　) A.8 B.1 680 C.140 D.70 答案　D 解析　若8盏灯笼任意挂，不同的挂法有种， 又因为左右两边4盏灯顺序一定，故有＝70(种)挂法. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.若(n∈N+)，则n的值为(　　) A.2 B.3 C.6 D.14 答案　AB 解析　由题意知 或 解得n＝2或3. 8.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一枚棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为2个单位长度)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位长度，如果掷出的点数为i(i＝1，2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位长度，一直循环下去.某人抛掷三次骰子后棋子恰好回到点A处，则(　　) A.抛掷三次骰子后棋子所走的单位长度数可以是12 B.抛掷三次骰子的点数之和只可能有两种结果 C.抛掷三次骰子的点数之和超过10的不同走法有6种 D.回到点A处的所有不同走法共有24种 答案　BC 解析　由题意知正方形ABCD(边长为2个单位长度)的周长是8个单位长度，抛掷三次骰子后棋子恰好回到点A处表示三次骰子的点数之和是8或16，故A错误，B正确； 在抛掷三次骰子的所有点数中，能够使和为8，16的三个点数有116，125，134，224，233，466，556，共7种组合. 在组合125，134中，每种组合全排列有＝6(种)结果，则共有2＝2×6＝12(种)走法； 116，224，233，466，556各有3种结果，则共有5×3＝15(种)走法， 其中点数之和超过10的有466，556，则不同的走法共有3×2＝6(种)，故C正确； 根据分类加法计数原理知，共有12+15＝27(种)不同的走法，故D错误. 9.安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是(　　) A.若每人都安排一项工作，则不同的方法种数为45 B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法种数为 C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则不同的方法种数为( D.若每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同的安排方法种数为 答案　AD 解析　若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A正确； 先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故B错误； 先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，故C错误； ①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有()种安排方法，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.汽车制造的专业化流程是：设计效果图→制作油泥模型→生产样车→对样车检验→投入生产.已知A市、B市、C市分别有3个、10个、7个能设计效果图的设计院，A市有2个能制作油泥模型的制作中心，B市有6个能生产样车的生产车间，C市有1处能对样车检验的检验中心，A市、B市、C市、D市、E市分别有8，8，6，3，2家能实际投入生产的生产厂家，从设计到实际生产，有　　　　　　种选择方法. 答案　6 480 解析　共分五步：第一步，设计效果图，共计3+10+7＝20(种)选择； 第二步，制作油泥模型，有2种选择； 第三步，生产样车，有6种选择； 第四步，对样车检验，有1种选择； 第五步，投入生产，共计8+8+6+3+2＝27(种)选择. 所以从设计到实际生产共有20×2×6×1×27＝6 480(种)选择方法. 11.某城市一条道路上有12盏路灯，为了节约用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中的三盏灯，但两端路灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有　　　　种. 答案　56 解析　依题意知，问题相当于在已排好的9个元素的两两之间的8个空中，选3个插入3个相同的元素，方法种数为＝56. 12.初等数论中的四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数6＝22+12+12+02.设25＝a2+b2+c2+d2，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是　　　　　.(用数字作答) 答案　28 解析　显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论： 当最大数为5时， 25＝52+02+02+02，此时共有＝4(种)情况； 当最大数为4时， 25＝42+32+02+02，此时共有＝12(种)情况， 25＝42+22+22+12，此时共有＝12(种)情况； 当最大数为3时，32+32+22+22>25>32+32+22+12，没有满足题意的情况. 由分类加法计数原理，满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是4+12+12＝28. 四、解答题(共37分) 13.(12分)有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内. (1)共有几种放法？(4分) (2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？(8分) 解　(1)44＝256(种). (2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法： 第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有种，再放到2个盒子中有种放法，共有种放法； 第二类，2个盒子中各放2个小球有种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有＝84(种)放法. 14.(12分)4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？ 解　本题分两种情况讨论. (1)4位同学中有2人选甲，2人选乙.若这4位同学的总分为0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错.有＝24(种)不同的情况. (2)4位同学都选甲或者都选乙.若这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错， 有＝12(种)不同的情况. 综上可知，一共有24+12＝36(种)不同的情况. 15.(13分)已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点. (1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？(4分) (2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(5分) (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？(4分) 解　(1)任意三点不共线时所作出的平面最多，有三类： ①α内1点，β内2点确定的平面，有·个. ②α内2点，β内1点确定的平面，有·个. ③α，β本身，有2个. 故所作的平面最多有··+2＝98(个). ∴最多可作98个不同的平面. (2)任意三点不共线且平面α内任意两点与平面β内任意两点不共面时，所作的三棱锥最多，有三类： ①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有·个. ②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有·个. ③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有·个. ∴最多可作出的三棱锥有 ···＝194(个). ∴最多可作194个三棱锥. (3)∵在等底面积、等高的情况下三棱锥体积才能相等， ∴体积不相同的三棱锥最多有 ·＝114(个). ∴最多有114个体积不同的三棱锥. 学科网（北京）股份有限公司 $