6.5 正态分布-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 §5　正态分布 知识点一　正态分布的有关概念 1．函数f(x)＝e－(其中μ<0)的图象可能为(　　) 答案　A 解析　函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝μ，因为μ<0，所以排除B，D；又正态曲线位于x轴上方，因此排除C．故选A． 2．设有一正态总体，它的分布密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e (x∈R)，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　) A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 答案　B 解析　因为f(x)＝e＝e，所以σ＝2，μ＝10，即正态总体的均值与标准差分别为10与2． 知识点二　正态分布的性质 3．若随机变量X～N(10，22)，则下列结论错误的是(　　) A．P(X≥10)＝0．5 B．P(X≤8)＋P(X≤12)＝1 C．P(8≤X≤12)＝2P(8≤X≤10) D．D(2X＋1)＝8 答案　D 解析　根据随机变量X～N(10，22)可知，正态分布密度曲线的对称轴为直线x＝10，均值为10，方差为4，所以P(X≥10)＝0．5，故A正确；P(X≤8)＋P(X≤12)＝P(X≥12)＋P(X≤12)＝1，故B正确；P(8≤X≤12)＝2P(8≤X≤10)，故C正确；D(2X＋1)＝4DX＝16，故D错误．故选D． 4．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ<－1．96)＝0．026，则P(|ξ|<1．96)＝________． 答案　0．948 解析　∵ξ～N(0，1)，∴P(|ξ|<1．96)＝P(－1．96<ξ<1．96)＝1－2P(ξ<－1．96)＝0．948． 知识点三　正态分布的应用 5．已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在(98，104]内的产品估计有(　　) (附：若X服从N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0．6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0．9544) A．4093件 B．4772件 C．6827件 D．8185件 答案　D 解析　由题意可得，该正态分布的对称轴为x＝100，且σ＝2，则质量在(96，104]内的产品的概率为P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0．9544，而质量在(98，102]内的产品的概率为P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0．6826，结合对称性可知，质量在(98，104]内的产品的概率约为0．6826＋＝0．8185，据此估计质量在(98，104]内的产品的数量约为10000×0．8185＝8185．故选D． 6．乘出租车从学校到汽车站有两条路线可走，第一条路线的路程较短，但交通拥挤，所需的时间X(单位：min)服从正态分布N(50，102)；第二条路线的路程较长，但阻塞较少，所需时间Y(单位：min)服从正态分布N(60，42)．现有70 min时间可以利用，则应走第________条路线． 答案　二 解析　若走第一条路线，X～N(50，102)，及时赶到汽车站的概率P(X≤70)＝P(X≤50)＋P(50<X≤70) ＝0．5＋． 若走第二条路线，Y～N(60，42)，及时赶到汽车站的概率P(Y≤70)>P(Y≤68)＝P(Y≤60)＋P(60<Y≤68) ＝0．5＋． 又P(50－2×10<X≤50＋2×10)＝P(60－2×4<Y≤60＋2×4)，所以P(X≤70)<P(Y≤70)，所以应走第二条路线． 7．某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径(单位：mm)进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65，4．84)． (1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73 mm，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据； (2)如果钢管的直径X在(60．6，69．4] mm内为合格品(合格品的概率精确到0．01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列和数学期望． (参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0．6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0．9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0．9974) 解　(1)因为μ＝65，σ＝2．2，μ－3σ＝58．4，μ＋3σ＝71．6，而73∈(μ＋3σ，＋∞)， 所以P(X>71．6)＝≈ ＝0．0013． 此事件为小概率事件，所以该质检员的决定有道理． (2)因为μ＝65，σ＝2．2，μ－2σ＝60．6，μ＋2σ＝69．4， 由题意可知钢管直径满足μ－2σ<X≤μ＋2σ为合格品，所以该批钢管为合格品的概率约为0．95． 所以在60根钢管中，合格品约57根，次品约3根，任意挑选3根，则次品数Y的可能取值为0，1，2，3． P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝， P(Y＝2)＝，P(Y＝3)＝． 则次品数Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 所以EY＝0×＋1×＋2×＋3×＝0．15． 一、选择题 1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．不确定 答案　C 解析　均值即为其对称轴，∴μ＝0． 2．如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　) A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0 B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3 C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0 D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3 答案　D 解析　当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝·e在x＝0处取最大值，故σ＝1．由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，反之越“矮胖”，所以0<σ1<σ2＝1<σ3．故选D． 3．若随机变量X服从正态分布N(0，1)，且P(X<1)＝0．8413，则P(－1<X<0)＝(　　) A．0．6587 B．0．8413 C．0．1587 D．0．3413 答案　D 解析　∵X～N(0，1)，∴P(－1<X<0)＝P(0<X<1)＝P(X<1)－P(X<0)＝0．8413－0．5＝0．3413．故选D． 4．一批电阻的电阻值X(Ω)服从正态分布N(1000，52)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011 Ω和982 Ω，可以认为(　　) A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 答案　C 解析　∵X～N(1000，52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015．∵1011∈(985，1015)，982∉(985，1015)，∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂． 5．[多选]某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件的品质要求，对现有产品进行抽检，由抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值Z服从正态分布N(200，224)，则(附：≈14．97，若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0．6826，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0．9544)(　　) A．P(185．03<Z<200)≈0．6826 B．P(200<Z<229．94)≈0．4772 C．P(185．03<Z<229．94)≈0．9544 D．任取10000件机器零件，其质量指标值Z位于区间(185．03，229．94)内的件数约为8185 答案　BD 解析　依题意，该厂机器零件的质量指标值Z服从正态分布N(200，224)，即μ＝200，σ2＝224，而≈14．97，即σ≈14．97，因此Z～N(200，14．972)．对于A，P(185．03<Z<200)＝P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈×0．6826＝0．3413，A错误；对于B，P(200<Z<229．94)＝P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈×0．9544＝0．4772，B正确；对于C，P(185．03<Z<229．94)＝P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＋P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0．3413＋0．4772＝0．8185，C错误；对于D，由C项分析知P(185．03<Z<229．94)≈0．8185，即10000×0．8185＝8185件，D正确．故选BD． 二、填空题 6．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X>－2)＋P(X≥4)＝1，则μ＝________． 答案　1 解析　由于随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(X>－2)＋P(X≥4)＝1，而P(X>－2)＋P(X≤－2)＝1，所以P(X≥4)＝P(X≤－2)，所以μ＝＝1． 7．若随机变量ξ～N(10，σ2)，若ξ在(5，10)上的概率为a，a∈(0，0．5)，则ξ在(－∞，15)上的概率为________． 答案　＋a 解析　P(10<ξ<15)＝P(5<ξ<10)＝a，故P(ξ≤5)＝(1－2a)＝－a，所以ξ在(－∞，15)上的概率为－a＋a＋a＝＋a． 8．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100，102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0．3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________． 答案　10 解析　由题意，知P(ξ>110)＝＝0．2，故该班学生数学成绩在110分以上的人数约为0．2×50＝10． 三、解答题 9．某白糖生产线生产出来的白糖的质量服从正态分布N(500，52)(单位：g)． (1)任意抽取一包白糖，该包白糖的质量小于485 g的概率约为多少？ (2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485 g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由． 附：X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0．6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0．9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0．9974． 解　(1)设该生产线上生产出来的白糖质量为X g，由题意可知X～N(500，52)． 因为485＝500－3×5，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知P(X<485)＝[1－P(500－3×5<X≤500＋3×5)]≈×0．0026＝0．0013． (2)检测员的判断是合理的．因为如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包白糖检查，其质量都小于485 g的概率约为0．0013×0．0013≈1．69×10－6，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为该生产线出现异常，检测员的判断是合理的． 10．国家体育总局和教育部联合印发的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，要求体育纳入高中学业水平考试范围．已知高三男生投掷实心球6．9米达标，女生投掷实心球6．2米达标．某地初步拟定投掷实心球的考试方案为每名考生可以投掷3次，一旦达标无需再投，若3次均未达标，则考试不合格．为研究该方案的合理性，到某校任选4名高三学生进行测试，若恰有2人不合格的概率超过0．1，则该方案需要调整，否则就定为考试方案．已知该校高三男生投掷实心球的距离ξ1(单位：米)服从正态分布N(6．9，0．25)，女生投掷实心球的距离ξ2(单位：米)服从正态分布N(6．2，0．16)． (1)请你通过计算，说明该方案是否需要调整； (2)为提高学生考试合格率，该校决定加强训练，以女生为例，假设所有女生经训练后，投掷距离的增加值相同，则女生投掷实心球的距离至少增加多少米，可使女生的合格率不低于99%? 附：①≈2．15；②若X～N(6．516，0．16)，则P(X≤6．832)≈0．785． 解　(1)因为每个人不合格的概率均为＝，所以4名学生中恰有2人不合格的概率为C××＝≈0．07<0．1，所以该方案不需要调整． (2)设女生投掷实心球的距离至少增加a米，此时女生投掷实心球的距离为ξ2′，则ξ2′＝ξ2＋a，ξ2′～N(6．2＋a，0．16)． 当ξ2′～N(6．516，0．16)时，6．2＋x＝6．516，得a＝0．316， 且P(ξ2′≤6．832)≈0．785，所以P(ξ2′>6．832)≈1－0．785＝0．215．因为点(6．832，0)关于直线x＝6．516的对称点恰好为点(6．2，0)，所以P(ξ2′<6．2)≈0．215， 此时女生的合格率为1－0．2153≈1－0．01＝0．99， 所以要使女生的合格率不低于99%，投掷实心球的距离至少增加0．316米． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$