第6章 概率 章末复习课（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理了概率与统计的核心内容，涵盖条件概率与全概率公式、离散型随机变量的分布列均值方差、正态分布三大模块，用对比表格呈现条件概率两种计算方法，思维导图归纳均值方差求解步骤，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于情境化例题设计，如“无人酒店入住概率”“生蚝质量分布”等实际问题，培养数学思维与数据观念，通过全概率公式、二项分布等题型示例，引导学生用数学语言表达现实世界。跟踪训练分层设置，基础题巩固方法，综合题提升能力，助力教师实施精准教学，学生自主复习时可明确方向。

一、条件概率与全概率公式 1.求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝求解；另一种是缩小样本空间，即以A为样本空间计算AB的概率. 2.掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 例1　采购员要购买10个一包的电器元件.他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品.求： (1)采购员拒绝购买的概率； (2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率. 解　设事件B1表示“取到的一包中含4个次品”， 事件B2表示“取到的一包中含1个次品”， 事件A表示“采购员拒绝购买”， 则P(B1)＝，P(B2)＝. P(A|B1)＝1－， P(A|B2)＝1－. (1)由全概率公式得到 P(A)＝P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2) ＝×+×. (2)P(B1|A)＝. 反思感悟　条件概率的计算要注意以下三点 (1)明白是在谁的条件下，计算谁的概率. (2)明确P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化. (3)理解全概率公式P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)中化整为零的计算思想. 跟踪训练1　无人酒店是利用人工智能与物联网技术，为客人提供自助入住等服务的新型酒店.去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择，某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为(　　) A.0.8 B.0.7 C.0.6 D.0.5 答案　B 解析　记事件A1为“第一天入住无人酒店”，A2为“第二天入住无人酒店”，B1为“第一天入住常规酒店”， 根据题意可知P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.8，P(A2|B1)＝0.6， 则由全概率公式可得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)＝0.7. 二、离散型随机变量的分布列、均值和方差 1.均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛. 2.通过求离散型随机变量的分布列，培养数学运算、逻辑推理等核心素养. 角度1　二项分布的均值、方差 例2　某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题.已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答这道题目的概率； (2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X，Y，求随机变量X，Y的均值EX，EY和方差DX，DY，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好. 解　(1)甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答这道题目的概率P＝×. (2)甲班级能正确回答题目的人数为X，则X的可能取值为1，2，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， 则EX＝1×+2×， DX＝×+×. 乙班级能正确回答题目的人数为Y，且Y~B， 则EY＝2×，DY＝2××. 由EX＝EY，DX<DY可知，由甲班级代表学校参加大赛更好. 角度2　超几何分布的均值、方差 例3　某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.聊天机器人的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%. (1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和均值； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值. 解　(1)由题可知X的可能取值为1，2，3，4， P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， P(X＝3)＝，P(X＝4)＝， 故X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则EX＝1×+2×+3×+4×. (2)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“输入的问题有语法错误”为事件B，“回答被采纳”为事件C， 由已知得，P(C)＝0.7，P(C|A)＝0.8，P(C|B)＝0.4，P(B)＝p，P(A)＝1－p， 所以由全概率公式得P(C)＝P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)＝0.8(1－p)+0.4p＝0.7， 解得p＝0.25. 反思感悟　求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能的全部取值. (2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k). (3)写出X的分布列. (4)由分布列和均值的定义求出EX. (5)由方差的定义，求DX，若X~B(n，p)，则可直接利用公式EX＝np，DX＝np(1－p)求解. 跟踪训练2　某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示： 质量(g) [5，15) [15，25) [25，35) [35，45) [45，55] 数量(只) 6 10 12 8 4 (1)若购进这批生蚝500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)； (2)将频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4只，记质量在[5，25)间的生蚝的只数为X，求X的分布列及均值. 解　(1)由表格中的数据可估算出这批生蚝质量的平均数为＝28.5(g)，因为购进生蚝500 kg， 所以这批生蚝的数量为≈17 544(只). (2)由表格中的数据可知，任意挑选一只， 质量在[5，25)间的概率为， 由题意可知，X~B， 随机变量X的可能取值有0，1，2，3，4， 则P(X＝0)＝， P(X＝1)＝××， P(X＝2)＝××， P(X＝3)＝××， P(X＝4)＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 随机变量X的均值为EX＝4×. 三、正态分布的综合应用 1.正态分布是连续型随机变量X的一种分布，其在概率和统计中占有重要地位，尤其是统计学中的3σ原则在生产生活中有广泛的应用. 2.熟记正态分布的特征及应用3σ原则解决实际问题是本章的两个重点，在学习中提升直观想象、数据分析的素养. 例4　为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设，某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组的数据用该组区间中点值代表)； (2)由频率分布直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2. ①一般正态分布N(μ，σ2)的概率都可以转化为标准正态分布N(0，1)的概率进行计算：若X~N(μ，σ2)，令Y＝，则Y~N(0，1)，且P(X≤a)＝P.利用频率分布直方图得到的正态分布，求P； ②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z的均值. 参考数据：≈，若Y~N(0，1)，则P(Y≤0.75)＝0.773 4. 解　(1)根据频率分布直方图知，＝6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04＝9， s2＝(6－9)2×0.03+(7－9)2×0.1+(8－9)2×0.2+(9－9)2×0.35+(10－9)2×0.19+(11－9)2×0.09+(12－9)2×0.04＝1.78， 所以样本平均数和样本方差s2分别为9，1.78. (2)①由题意知μ＝9，σ2＝1.78， 则有X~N(9，1.78)， σ＝≈， P(X≤10)＝P＝P(Y≤0.75) ＝0.773 4. ②由①知P(X>10)＝1－P(X≤10)＝0.226 6， 可得Z~B(20，0.226 6)， 所以Z的均值EZ＝20×0.226 6＝4.532. 反思感悟　利用正态曲线解决实际问题时常利用其对称性，借助(μ－σ，μ+σ]，(μ－2σ，μ+2σ]，(μ－3σ，μ+3σ]三个区间内的概率值求解，注意正态曲线与频率分布直方图的结合. 跟踪训练3　某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生的普通话测试成绩)服从正态分布N(69，49). (1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62，90]内的概率； (2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90.从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数，求X的方差. 附：若Y~N(μ，σ2)，则P(μ-σ<Y≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ<Y≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ<Y≤μ+3σ)≈0.997 3. 4. 解　(1)设学生的普通话测试成绩为Y，则其服从正态分布N(69，49)，所以μ＝69，σ＝7， 所以P(62<Y≤90)＝P(μ－σ<Y≤μ+3σ) ≈＝0.84. (2)因为总体平均分为μ＝69， 所以这12个数据中大于总体平均分的有3个， 所以X的可能取值为0，1，2，3， 则P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， 所以EX＝0×+1×+2×+3×＝1， DX＝(0－1)2×+(1－1)2×+(2－1)2×+(3－1)2×. 学科网（北京）股份有限公司 $