1 一元线性回归-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

§1　一元线性回归 学习目标 1.能结合实例，根据散点图，判断两个变量是否具有相关关系．　2.了解最小二乘法的原理，会求线性回归方程，并能根据线性回归方程进行预测． 一　直线拟合 1．散点图 每个点对应的一对数据(xi，yi)，称为成对数据．这些点构成的图称为散点图． 2．曲线拟合 从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述．这样近似描述的过程称为____________． 3．直线拟合 若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为____________． [答案自填] 曲线拟合　直线拟合 思考1　如何判断两个变量X和Y之间是否具有线性关系？ 提示：常用的简便方法就是绘制散点图． 思考2　如何判断拟合效果？ 提示：散点图中包含的数据越多，拟合效果就越好． 　某种木材的体积与树龄之间有如下对应关系： 树龄/年 2 3 4 5 6 7 8 体积/m3 30 34 40 60 55 62 70 (1)请根据这些数据作出散点图； (2)你能由散点图发现木材的体积与树龄近似地呈现什么关系吗？ 【解】　(1)以x轴表示木材的树龄，y轴表示木材的体积，可得相应的散点图如图所示． (2)由散点图可以发现木材的体积随着树龄的增加呈增加的趋势，且所有点大致分布在一条直线附近，所以木材的体积与树龄近似地呈现线性关系． 判断成对数据X和Y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是近似地呈线性关系，注意不要受个别点的位置的影响． [跟踪训练1] (1)下列每组的两个变量之间具有相关关系的是(　　) A．乌鸦叫，灾难到 B．圆心角的大小与半径 C．物体的质量一定，其密度与体积之间的关系 D．儿童的年龄与身高 解析：选D．A，B中的两个变量之间没有关系，C中的两个变量之间是函数关系，D中的两个变量之间具有相关关系．故选D． (2)在如图所示的四个图中，两个变量具有线性关系的是(　　) 解析：选B．因为B选项中的点大致分布在一条直线附近．故选B． 二　一元线性回归方程 1．最小二乘法 对于给定的两个变量X和Y(如身高和体重)，可以把其成对的观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示为平面直角坐标系中的n个点．现在希望找到一条直线Y＝a＋bX，使得对每一个xi(i＝1，2，…，n)，由这个直线方程计算出来的值a＋bxi与实际观测值yi的差异尽可能小．为此，希望[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小．换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到最小．这个方法称为最小二乘法． 2．线性回归方程 直线方程____________称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的____________，，是这个______________．其中 点拨　(1)线性回归方程中的一次项系数为，常数项为，这与一次函数的表示习惯不同． (2)回归直线Y＝X＋必经过点(，). [答案自填] Y＝＋X　回归直线　线性回归方程的系数 思考　任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？ 提示：用最小二乘法求线性回归方程的前提是先判断所给数据具有线性关系(可利用散点图来判断)，否则求出的线性回归方程是无意义的． 角度1　求线性回归方程 　某种产品的广告费用支出X(单位：百万元)与销售额Y(单位：百万元)之间有如下的对应数据： X/百万元 2 4 5 6 8 Y/百万元 30 40 60 50 70 (1)画出散点图； (2)求线性回归方程； (3)当广告费用支出为10百万元时，试预测这种产品的销售额． (参考数据：x＝145，xiyi＝1 380) 【解】　(1)散点图如图所示． (2)由(1)散点图可看出，点分布在一条直线附近，所以Y与X具有近似的线性关系． 由题表得＝＝5，＝＝50. 所以＝＝＝6.5，＝－＝50－6.5×5＝17.5，所以所求的线性回归方程为Y＝6.5X＋17.5. (3)根据(2)中求得的线性回归方程，当X＝10时，6.5×10＋17.5＝82.5，即当广告费用支出为10百万元时，销售额估计为82.5百万元． 求线性回归方程的步骤 (1)列：列表表示xi，yi，x，xiyi； (2)算：计算，，x，xiyi； (3)代：代入公式计算，的值； (4)写：写出线性回归方程． [跟踪训练2] 某超市新上一种瓶装洗发水，为了打响知名度，进行为期六天的低价促销活动，随着活动的有效开展，第六天该超市对前五天中销售的洗发水进行统计，Y表示第X天销售洗发水的瓶数，得到统计表如下： 第X天 1 2 3 4 5 Y/瓶 4 6 10 15 20 若Y与X之间具有线性关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求Y关于X的线性回归方程． 解：依题意，＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝(4＋6＋10＋15＋20)＝11， 所以＝＝ ＝4.1， ＝11－4.1×3＝－1.3， 故所求的线性回归方程为Y＝－1.3＋4.1X. 角度2　线性回归分析 　环保部门研究发现某地的PM10浓度与车流量之间具有线性关系，现采集到该地一周内车流量X与PM10浓度Y的数据如表： 时间 车流量X (单位：万辆) PM10浓度Y (单位：μg/m3) 星期一 25.4 35.7 星期二 24.6 34.5 星期三 23.5 35.2 星期四 24.4 33.6 星期五 25.8 36.1 星期六 19.7 30.9 星期日 20.3 29.4 (1)在如图所示的坐标系中作出表中数据的散点图； (2)根据表中统计数据，求出线性回归方程Y＝X＋(，精确到0.01)； (3)为净化空气，该地决定下周起在工作日(星期一至星期五)限号，假设限号时每个工作日的车流量为表中对应工作日的，试预测下周星期三的PM10浓度(精确到0.1). 参考公式：＝＝，＝－． 参考数据：≈23.4，≈33.6， (xi－)(yi－)≈34.5，x－72≈ 35.5. 【解】　(1) (2)由题得＝＝≈0.97，＝－≈33.6－0.97×23.4≈10.90，所以Y关于X的线性回归方程为Y＝0.97X＋10.90. (3)下周星期三的车流量预计为23.5×＝18.8(万辆).预测下周星期三的PM10浓度为0.97×18.8＋10.90≈29.1(μg/m3). 线性回归分析的注意事项 (1)解决问题时应首先对X，Y进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关性或者它们之间的相关性不显著，即使求出线性回归方程进行估计和预测的量也是不可信的． (2)利用线性回归方程预测时要注意所得的值为估计值，不是精确值． [跟踪训练3] 某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价X(单位：元/件)及相应月销售量Y(单位：万件)，对近5个月的月销售单价xi和月销售量yi(i＝1，2，3，4，5)的数据进行了统计，得到如下表数据： 月销售单价X/(元/件) 10 15 20 25 30 月销售量Y/万件 11 10 8 6 5 (1)求Y关于X的线性回归方程Y＝X＋； (2)当该产品月销售单价为40元/件时，月销售量的预测值为多少？ 附：参考公式：＝＝，＝－． 解：(1)由题中数据可画散点图(图略)，知X和Y之间有近似的线性关系． ＝＝20， ＝＝8， ＝ ＝ ＝－，＝8＋×20＝，所以Y关于X的线性回归方程为Y＝－X＋. (2)当X＝40时，Y＝－×40＋＝，所以当该产品月销售单价为40元/件时，月销售量的预测值为万件． 1．根据一组数据判断两个变量是否具有线性关系时，应画出下列哪个图(　　) A．茎叶图 B．频率分布直方图 C．散点图 D．频率折线图 解析：选C．判断两个变量是否具有线性关系时，应先画出散点图．若这些点大体分布在一条直线附近，则具有线性关系． 2．某服装厂引进新技术，其生产服装的产量X(单位：百件)与单位成本Y(单位：元)满足线性回归方程Y＝100.36－14.2X，则以下说法中正确的是(　　) A．产量每增加100件，单位成本约下降14.2元 B．产量每减少100件，单位成本约上升100.36元 C．产量每增加100件，单位成本约上升14.2元 D．产量每减少100件，单位成本约下降14.2元 解析：选A．＝－14.2<0，表示产量每增加100件，单位成本约下降14.2元．故选A． 3．(多选)如图四个散点图中，适合用直线拟合这两个变量的是(　　) 解析：选AC．由题图易知A，C两个图中的点大致分布在一条直线附近，因此适合用直线拟合两个变量． 4．某设备的使用年限X(单位：年)与所支出的维修费用Y(单位：万元)的统计数据如下表： 使用年限X/年 2 3 4 5 6 维修费用Y/万元 1.5 4.5 5.5 6.5 7.0 根据上表可得线性回归方程为Y＝1.3X＋，据此模型预测，若使用年限为14年，估计维修费为________万元． 解析：＝＝4，＝＝5，将(4，5)代入线性回归方程可得＝5－1.3×4＝－0.2，所以Y＝1.3X－0.2.当X＝14时，Y＝1.3×14－0.2＝18，即当使用年限为14年时，估计维修费用为18万元． 答案：18 1．已学习：判断两个变量是否具有相关关系，会求线性回归方程并进行分析． 2．须贯通：判断两个变量是否具有相关关系，若具有相关关系，再求线性回归方程． 3．应注意：(1)先做散点图看图中的点是否呈线状分布，判断两个变量是否有线性关系； (2)判定具有相关性后再求线性回归方程． 学科网（北京）股份有限公司 $