第6章 5 正态分布（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦正态分布核心知识点，从连续型随机变量引入，系统梳理正态曲线的性质（参数μ、σ对曲线位置和形状的影响）、3σ原则下的概率取值规律，以及正态分布在实际问题中的应用，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料通过生活实例（如身高、产品寿命）引导学生用数学眼光观察现实世界，结合问题链和例题解析培养逻辑推理的数学思维，通过设备检查、成绩分析等案例强化数学语言表达。课中辅助教师教学，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

学习目标　1.通过实例了解正态分布密度曲线及其特点，了解参数σ，μ的含义及其对正态曲线的影响.2.理解正态分布的意义，了解正态分布随机变量在(μ－σ，μ+σ]，(μ－2σ，μ+2σ]，(μ－3σ，μ+3σ]上取值的概率及3σ原则. 导语 一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少.生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻画呢？ 一、正态曲线及其性质 问题　下列随机变量中哪个是离散型随机变量： (1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间. 提示　(1)是，(2)不是. 知识梳理 1.连续型随机变量：变量X的值无法一一列举，它可以在某一个区间内取任意值. 2.由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象对应的分布密度函数解析式为φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，+∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线. 3.如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ>0)确定，记为X~N(μ，σ2). 4.正态曲线的性质： (1)非负性：曲线在x轴的上方，与x轴不相交. (2)对称性：曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称. (3)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中，如图②. 注意点：(1)正态分布的几何意义：若X~N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过a的概率P(X≤a)为图中区域A的面积，而P(b≤X≤c)为区域B的面积. (2)若X~N(μ，σ2)，则EX＝μ，DX＝σ2. (3)曲线与x轴之间的面积为1. 例1　(课本例1)　根据正态曲线的函数解析式，找出其均值μ和标准差σ. (1)φ(x)=，x∈R； (2)φ(x)=，x∈R. 解　将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得 (1)μ=0，σ=1. (2)μ=1，σ=. 例1　(1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝　　　　，方差σ2＝　　　　. 答案　20　2 解析　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，，解得σ＝，因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2. (2)(多选)在一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是(　　) A.甲科目总体的标准差最小 B.丙科目总体的平均数最小 C.乙科目总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D.甲、乙、丙三科总体的平均数不相同 答案　BCD 解析　由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“高瘦”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 反思感悟　利用正态曲线的特点求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ. (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ. 跟踪训练1　(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正态分布密度f(x)＝，x∈R，如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99 答案　ABC 解析　由图可知甲的图象关于直线x＝0.4对称，乙的图象关于直线x＝0.8对称， 所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A，C正确； 因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B正确； 因为乙的图象的最大值为1.99， 即＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误. 二、利用正态分布的性质求概率 随机变量X在区间(μ-σ，μ+σ]，(μ-2σ，μ+2σ]，(μ-3σ，μ+3σ]上取值的概率分别约为68.27%，95.45%，99.73%.而随机变量X在区间(μ-3σ，μ+3σ]外取值的概率只有约0.27%，通常认为这种情况在一次试验中几乎是不可能发生的，认为是小概率事件.因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间(μ-3σ，μ+3σ]之间的值，并称之为3σ原则. 例2　设X~N(1，22)，试求： (1)P(－1<X≤3)； (2)P(3<X≤5)； (3)P(X>5). 解　因为X~N(1，22)， 所以μ=1，σ=2. (1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2) =P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7. (2)因为P(3<X≤5)=P(-3≤X<-1)， 所以P(3<X≤5) =[P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)] =[P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)] =[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)] ≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9. (3)P(X>5)=P(X≤-3)=[1-P(-3<X≤5)]=[1-P(1-4<X≤1+4)]=[1-P(μ-2σ<X≤μ+2σ)]≈×(1-0.954 5)=0.022 75. 反思感悟　利用正态分布求概率的两种方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间的概率相等.如： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X>μ+a). (2)“3σ”法：利用随机变量X落在区间(μ-σ，μ+σ]，(μ-2σ，μ+2σ]，(μ-3σ，μ+3σ]内的概率分别约为0.682 7，0.954 5，0.997 3求解. 跟踪训练2　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ≤2)等于(　　) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 答案　C 解析　∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)， ∴μ＝2，对称轴是ξ＝2. ∵P(ξ<4)＝0.8， ∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2， ∴P(0<ξ≤4)＝0.6， ∴P(0<ξ≤2)＝0.3. (2)若随机变量ξ~N(10，σ2)，P(9<ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝　　　　. 答案　0.3 解析　由P(9<ξ≤11)＝0.4且正态曲线以ξ＝μ＝10为对称轴知， P(9<ξ≤11)＝2P(10<ξ≤11)＝0.4. ∴P(10<ξ≤11)＝0.2， ∵P(ξ≥10)＝0.5， ∴P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3. 三、正态分布的应用 例3　(课本例2)　某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为μ=500 g，σ=1 g.为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量.当检查员随机地抽取一个产品，测得其质量为504 g时，他立即要求停止生产，检查设备，他的决定是否有道理？ 解　检查员的决定是有道理的，理由如下： 当该设备正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数分别为μ=500 g，σ=1 g，所以根据正态分布的性质可知产品质量在区间(μ-3σ，μ+3σ］，即(497，503］之间的概率约为99.7%，而产品的质量超出这个范围的概率只有约0.3%，这是一个几乎不可能发生的事件.但是，检查员随机抽取的产品为504 g，这说明设备的运行可能不正常，因此检查员的决定是有道理的. 例3　某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52).质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？ 解　由于外直径X~N(4，0.52)， 则X在(2.5，5.5]之内取值的概率约为0.997 3，在(2.5，5.5]之外取值的概率约为0.002 7， 而5.7∉(2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的. 反思感悟　解题时，应当注意零件尺寸应落在(μ－3σ，μ+3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格. 跟踪训练3　在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，现在已知该班同学中成绩在80~85分的有17人，则该班成绩在90分以上的同学有多少人？ 解　∵成绩服从正态分布N(80，52)， ∴μ=80，σ=5，则μ-σ=75，μ+σ=85. ∴成绩在(75，85]内的同学约占全班同学的68.27%，成绩在(80，85]内的同学约占全班同学的34.135%. 设该班有x名同学，则x·34.135%=17， 解得x≈50. ∵μ-2σ=80-10=70，μ+2σ=80+10=90， ∴成绩在(70，90]内的同学约占全班同学的95.45%，∴成绩在90分以上的同学约占全班同学的×(1-95.45%)=2.275%. 即有50×2.275%≈1(人)， 即成绩在90分以上的同学仅有1人. 1.知识清单： (1)正态曲线及其性质. (2)利用正态分布的性质求概率. (3)正态分布的应用. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：概率区间转化不等价. 1.已知正态分布密度函数f(x)＝，x∈R，则μ，σ分别是(　　) A.0和4 B.0和2 C.0和8 D.0和 答案　B 解析　由题意得f(x)＝·，故μ＝0，σ＝2. 2.已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，则实数a的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　因为随机变量X服从正态分布N(a，4)，所以正态曲线关于x＝a对称，且P(X>a)＝0.5，由P(X>1)＝0.5，可知a＝1. 3.某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量(单位：个)X~N(1 000，2 500)，估计300天内小笼包的销售量在(950，1 100]内的天数大约是(若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3)(　　) A.236 B.246 C.270 D.275 答案　B 解析　由题可知，μ=1 000，σ=50，P(950<X≤1 100)=P(μ-σ<X≤μ+2σ)=P(μ-σ<X≤μ)+P(μ<X≤μ+2σ)≈+=0.818 6. 所以300天内小笼包的销售量在(950，1 100]内的天数大约是300×0.818 6=245.58≈246. 4.设随机变量X~N(2，9)，若P(X>c+1)＝P(X<c－1).则c的值为　　　　，P(－4<X≤8)约为　　　　　. 答案　2　0.954 5 解析　由X~N(2，9)可知，正态分布密度函数的图象关于直线x＝2对称(如图所示)， 又P(X>c+1)＝P(X<c－1)， 故有2－(c－1)＝(c+1)－2， 解得c＝2. 则P(－4<X≤8)＝P(2－2×3<X≤2+2×3)≈0.954 5. 课时对点练 [分值：90分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.设有一随机变量服从正态分布，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝，则这个随机变量的均值与标准差分别是(　　) A.10与2 B.10与1 C.2与10 D.1与10 答案　B 解析　由正态分布密度函数的定义可知，均值μ＝10，方差σ2＝1，即标准差σ＝1. 2.已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，则P(0<X≤1)等于(　　) A.0.85 B.0.70 C.0.35 D.0.15 答案　C 解析　由题意得X~N(1，σ2)，则P(0<X≤1)＝P(1<X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35. 3.某厂生产的零件外径X~N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm，9.3 cm，则可认为(　　) A.上午生产情况正常，下午生产情况异常 B.上午生产情况异常，下午生产情况正常 C.上午、下午生产情况均正常 D.上午、下午生产情况均异常 答案　A 解析　因测量值X为随机变量，又X~N(10，0.04)， 所以μ＝10，σ＝0.2， 记I＝(μ－3σ，μ+3σ]＝(9.4，10.6]， 则9.9∈I，9.3∉I，故上午生产情况正常，下午生产情况异常. 4.设随机变量X~N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　B 解析　因为随机变量X~N(1，52)，所以正态曲线的对称轴为x＝1，又P(X≤0)＝P(X>a－2)，则a－2+0＝2×1，解得a＝4. 5.红心脐橙又名卡拉卡拉红肉脐橙.为“948”项目引进品种.该品种的果实近圆形、闭脐，平均果重200克左右，冷库储藏期达4个月以上.该品种作为新特品种极具推广价值.据统计，红心脐橙的重量(单位：克)服从正态分布N(200，102)，则重量在(190，220]内的概率为(　　) 附：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5. A.0.682 7 B.0.841 35 C.0.818 6 D.0.954 5 答案　C 解析　由红心脐橙的重量服从正态分布N(200，102)，可得μ=200，σ=10， 则重量在(190，220]内的概率P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)]=[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)+P(μ-σ<X≤μ+σ)]≈×(0.682 7+0.954 5)=0.818 6. 6.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化服务水平，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分不高于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中X~N(70，)，Y~N(75，)，0<σ1<σ2，则下列说法错误的是(　　) A.X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更“矮胖” B.甲村的平均分低于乙村的平均分 C.甲村的高度满意率与不满意率相等 D.乙村的高度满意率比不满意率大 答案　A 解析　A选项，曲线越扁平，说明评分越分散，方差较大，因为0<σ1<σ2，所以Y对应的正态曲线比X对应的正态曲线更“矮胖”，A错误； B选项，甲村的平均分为70，乙村的平均分为75，B正确； C选项，因为甲村的平均分为70，由对称性知P(X≥80)＝P(X≤60)，C正确； D选项，因为乙村的平均分为75，由对称性知P(Y≥80)>P(Y≤60)，D正确. 7.(多选)(2024·新课标全国Ⅰ)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 答案　BC 解析　依题可知，＝2.1，s2＝0.01， 所以Y~N(2.1，0.12)， 故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3，所以C正确，D错误； 因为X~N(1.8，0.12)， 所以P(X<1.8+0.1)≈0.841 3， 所以P(X>1.8+0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7， 而P(X>2)＝P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158 7，所以B正确，A错误. 8.(5分)已知随机变量X~N(2，σ2)，如图所示，若P(X<a)＝0.32，则P(a<X≤4－a)＝　　　　. 答案　0.36 解析　∵随机变量X~N(2，σ2)，∴μ＝2，由正态分布图象的对称性可得曲线关于直线x＝2对称， ∴P(X>4－a)＝P(X<a)＝0.32，∴P(a<X≤4－a)＝1－P(X<a)－P(X>4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36. 9.(5分)某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布N(100，1).现用某设备生产出的10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0.若X~N(μ，σ2)，有P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3.根据行业标准，概率低于0.002 7视为小概率事件，工人随机将其中的8个交予质检员检验，则质检员认为该设备需检修的概率为　　　　.  答案　 解析　由题意知，μ＝100，σ＝1，则μ－3σ＝97，μ+3σ＝103，10个螺栓的尺寸中只有103.2不在区间(97，103]内，根据3σ原则，螺栓的尺寸在(97，103]之外时，设备需检修， 故工人随机将其中的8个交予质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为. 10.(14分)已知某军区新兵50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)近似服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表： X 4 5 6 7 8 9 频数 1 2 26 40 29 2 (1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)；(7分) (2)从这个军区随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]内的概率.(7分) 参考数据：≈0.9. 解　(1)由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为(用频率估计概率) X 4 5 6 7 8 9 P 0.01 0.02 0.26 0.40 0.29 0.02 均值EX＝4×0.01+5×0.02+6×0.26+7×0.40+8×0.29+9×0.02＝7， 方差DX＝(4－7)2×0.01+(5－7)2×0.02+(6－7)2×0.26+(7－7)2×0.40+(8－7)2×0.29+(9－7)2×0.02＝0.8. 用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ＝7，σ2＝0.8. (2)由(1)知X~N(7，0.8)， 因为≈0.9，所以σ≈0.9， 因为P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7， P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5， 所以P(7.9<X≤8.8)=×[P(5.2<X≤8.8)-P(6.1<X≤7.9)]≈×(0.954 5-0.682 7) =0.135 9， 即从这个军区随机抽取1名新兵，此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间(7.9，8.8]内的概率约为0.135 9. 11.现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn ~N，则为使|Xn|>的概率控制在0.045 5及以下，至少要测量的次数为(附：若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) ≈0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)(　　) A.32 B.64 C.128 D.256 答案　C 解析　根据题意，P≤0.045 5⇒P=P≥1-0.045 5=0.954 5， 而μ=0，则P(-2σ≤Xn≤2σ)≈0.954 5， 所以2σ≤⇒σ=≤⇒n≥128. 12.设X~N(μ1，)，Y~N(μ2，)，且σ1，σ2>0，这两个随机变量的正态分布密度曲线如图所示.则下列结论中正确的是(　　) A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t) D.对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t) 答案　C 解析　由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2， ∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)， P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故A，B错误； 当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)， 又P(X≤t)＝1－P(X>t)，P(Y≤t)＝1－P(Y>t)， ∴P(X>t)<P(Y>t)，故C正确，D错误. 13.(5分)在某市高二的联考中，参考学生的数学成绩ξ服从正态分布N(100，100)，随机抽取10位学生的成绩，记X表示抽取的10位学生成绩在(80，120]之外的人数，则P(X≥1)＝　　　　　　，X的均值EX＝　　　　　　. 附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)≈0.997 3，取0.954 510≈0.627 7，0.997 310≈0.973 3. 答案　0.372 3　0.455 解析　由题意知，数学成绩ξ服从正态分布N(100，100)，则μ=100，σ=10， ∵80=μ-2σ，120=μ+2σ， ∴P(80<ξ≤120) =P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5， ∴数学成绩在(80，120]之外的概率为 1-0.954 5=0.045 5， ∴X~B(10，0.045 5)， ∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.954 510≈1-0.627 7=0.372 3， X的均值EX=10×0.045 5=0.455. 14.(15分)某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用298名职员，其中275个高薪职位和23个普薪职位.实际报名人数为2 000人，考试满分为400分.本次招聘考试的成绩服从正态分布.考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生有30名. (1)估计这次考试最低录取分数(结果保留整数)；(9分) (2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由.(6分) 附：①当X~N(μ，σ2)时，令Y＝，则Y~N(0，1). ②当Y~N(0，1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.862，P(Y≤1.04)≈0.851. 解　(1)设考生的成绩为X，由题意可知X服从正态分布， 即X~N(180，σ2)，令Y＝，则Y~N(0，1). 由360分及以上的高分考生有30名可得 P(X≥360)＝＝0.015， 则P(X≤360)＝1－0.015＝0.985， 所以P＝0.985， 则≈2.17，可得σ≈83， 所以X~N(180，832). 设最低录取分数为x0，则 P(X≥x0)＝P＝0.149， 则P＝1－0.149＝0.851， 则≈1.04，可得x0≈266.32， 即最低录取分数为266. (2)考生甲的成绩286>266，所以能被录取， P(X≤286)＝P≈P(Y≤1.28)≈0.900， 所以不低于考生甲的成绩的人数大约为(1－0.900)×2 000＝200， 即考生甲大约排在第200名，排在前275名，所以能获得高薪职位. 学科网（北京）股份有限公司 $