第6章 4.1 第2课时 二项分布的综合应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦二项分布的综合应用核心知识点，从二项分布基本概念及分布列入手，推导均值（EX=np）与方差（DX=np(1-p)）公式，进而延伸至参数求解、实际问题分析，构建完整知识支架。 通过问题链引导公式推导培养推理能力，结合产品次品率、学生肥胖率等实例发展模型观念与应用意识。课中助力教师高效授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

第2课时　二项分布的综合应用 学习目标　1.掌握二项分布的均值与方差公式.2.能利用二项分布解决一些简单的实际问题. 导语 二项分布中n比较大时，比如n＝50，100时，其分布列较难列出，其均值、方差计算更难算，今天我们就来研究二项分布的均值、方差的计算公式. 一、二项分布的均值与方差 问题　若随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？ 提示　当n＝1时，X服从两点分布，分布列为 X 0 1 P 1－p p EX＝p，DX＝p(1－p). 当n≠1时，二项分布的分布列为 X 0 1 … k … n P p0qn p1qn－1 … pkqn－k … pnq0 其中p+q＝1. ∵EX＝0×p0qn+1×p1qn－1+2×p2qn－2+…+kpkqn－k+…+npnq0， 根据k＝n， ∴EX＝n×p1qn－1+n×p2qn－2+…+npkqn－k+…+npnq0 ＝np(p0qn－1+p1qn－2+…+pk－1qn－k+…+pn－1q0) ＝np(p+q)n－1＝np， 同理可得DX＝np(1－p). 知识梳理 一般地，若随机变量X~B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p). 特殊地，若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p). 例1　(课本例2)　一批产品中，次品率为.现连续抽取4次，每次抽取1件产品，用随机变量ξ表示抽取的次品的件数，求Eξ和Dξ. 解　由题意知ξ~B，它的分布列为 P(ξ=k)=(k=0，1，2，3，4)，如表： k 0 1 2 3 4 P(ξ=k) Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=； Dξ=×+×+×+×+×=. 例1　某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时： (1)求ξ＝2时的概率； (2)求ξ的均值与方差. 解　(1)依题意知，ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是， 故ξ＝2时的概率P＝. (2)方法一　ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4， 依题意知，P(ξ＝k)＝(k＝0，1，2，3，4).易得出ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P ∴Eξ＝0×+1×+2×+3×+4×， Dξ＝×+×+×+×+×. 方法二　∵ξ服从二项分布，即ξ~B， ∴Eξ＝4×，Dξ＝4××. 反思感悟　解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解.若X服从两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X~B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p). 跟踪训练1　某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为. (1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率； (2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列、均值和方差. 解　(1)设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A，则P(A)＝，P()＝， 设“学生肥胖”为事件B，则 P(B|A)＝，P(B|)＝， 由全概率公式可得P(B)＝P(B|A)P(A)+P(B|)P()＝×+×， 所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为. (2)由题意可知，X~B，且X的可能取值为0，1，2，3，则有 P(X＝0)＝××， P(X＝1)＝××， P(X＝2)＝××， P(X＝3)＝××， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 则EX＝3×， DX＝3××. 二、由二项分布的均值与方差求参数值 例2　(1)已知随机变量X服从二项分布，即X~B(n，p)，且EX＝2，DX＝，则二项分布的参数n，p的值为(　　) A.n＝4，p＝ B.n＝6，p＝ C.n＝8，p＝ D.n＝10，p＝ 答案　D 解析　随机变量X服从二项分布， 即X~B(n，p)， 且EX＝2，DX＝， 可得np＝2，np(1－p)＝，解得p＝，n＝10. (2)已知随机变量ξ~B(12，p)，且E(2ξ－3)＝5，则D(3ξ)等于(　　) A. B.8 C.12 D.24 答案　D 解析　因为E(2ξ－3)＝2Eξ－3＝2×12p－3＝5， 所以p＝. 故D(3ξ)＝32Dξ＝9×12××＝24. 反思感悟　(1)如果ξ~B(n，p)，则用公式Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)求解，可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ+b)＝aEξ+b以及Eξ＝np求出E(aξ+b)，同样还可求出D(aξ+b). 跟踪训练2　(1)如果随机变量ξ~B(n，p)，且E(3ξ)＝12，Dξ＝，则p等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为E(3ξ)＝3Eξ＝12，即Eξ＝4， 又因为随机变量ξ~B(n，p)，且Dξ＝， 则解得 (2)设随机变量X~B(3，p)，若DX＝，则P(X≥2)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意知，3p(1－p)＝，解得p＝， 所以P(X≥2)＝P(X＝2)+P(X＝3)＝+. 三、二项分布的实际应用 例3　(课本例3)　某车间有5台机床，每台机床正常工作与否彼此独立，且正常工作的概率均为0.2.设每台机床正常工作时的电功率为10 kW，但因电力系统发生故障现总功率只能为30 kW，问此时车间不能正常工作的概率有多大(结果精确到0.001). 解　设X为5台机床中正常工作的台数，则X服从参数为n=5，p=0.2的二项分布，即 P(X=k)=0.2k(1-0.2)5-k(k=0，1，2，3，4，5). 于是，由题意可得 P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5) =×0.24×0.8+×0.25×0.80 ≈0.007. 这是一个概率很小的事件，几乎不会发生.因此，如果车间不能正常工作时不会造成破坏性后果，那么在总功率只能为30 kW的情况下仍可以正常安排生产. 例3　已知一批豌豆种子的发芽率为0.9，假设每颗种子是否发芽相互独立. (1)设10颗豌豆种子播种后发芽的种子数为X，求X＝8的概率及X的均值(结果精确到0.1)； (2)试问每穴至少要播种几颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999？ 附：0.98≈0.430. 解　(1)依题意得X~B(10，0.9)， 则P(X＝8)＝×0.98×(1－0.9)2＝0.45×0.98≈0.45×0.430＝0.193 5≈0.2， EX＝10×0.9＝9. (2)设每穴至少要播种n颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999， 则1－(1－0.9)n＝1－0.1n≥0.999， 则0.1n≤0.001， 解得n≥3， 故每穴至少要播种3颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999. 反思感悟　二项分布的实际应用问题的求解步骤 (1)根据题意设出随机变量. (2)分析随机变量服从二项分布. (3)求出参数n和p的值. (4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解. 跟踪训练3　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 解　(1)方法一　由ξ~B，则 P(ξ＝k)＝××，k＝0，1，2，3，4，5. 即P(ξ＝0)＝××； P(ξ＝1)＝××； P(ξ＝2)＝××； P(ξ＝3)＝××； P(ξ＝4)＝××； P(ξ＝5)＝×. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P ∴Eξ＝0×+1×+2×+3×+4×+5×. 方法二　∵ξ~B，∴Eξ＝. (2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k+1个是红灯)＝×，k＝0，1，2，3，4，5， 即P(η＝0)＝×； P(η＝1)＝×； P(η＝2)＝×； P(η＝3)＝×； P(η＝4)＝×； P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝. 故η的分布列为 η 0 1 2 3 4 5 P (3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0) ＝1－. 1.知识清单： (1)二项分布的均值、方差. (2)二项分布的性质. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：判断随机变量X是否服从二项分布. 1.设随机变量X~B，则D(3X)等于(　　) A.10 B.30 C.15 D.5 答案　A 解析　由随机变量X~B， 得DX＝5××， 所以D(3X)＝32DX＝9×＝10. 2.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为X，则DX等于(　　) A. B. C. D.5 答案　A 解析　抛掷两枚均匀硬币，两枚硬币都出现反面的概率为P＝×， 则易知X~B， 故DX＝10××. 3.同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是(　　) A.20 B.30 C.25 D.40 答案　C 解析　抛掷一次硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为，所以X~B，故EX＝80×＝25. 4.已知随机变量ξ~B(n，p)，若Eξ＝2，Dξ＝1，则P(ξ＝2)等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为ξ~B(n，p)，所以Eξ＝np＝2，Dξ＝np(1－p)＝1，解得n＝4，p＝， 所以P(ξ＝2)＝××. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.设X~B(40，p)，且EX＝16，则p等于(　　) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 答案　D 解析　∵EX＝16， ∴40p＝16，∴p＝0.4. 2.将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，那么k的值等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　“正面向上”发生的次数ξ~B，由题意知，所以k+k+1＝5，所以k＝2. 3.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝·，k＝0，1，2，…，n，且EX＝24，则DX的值为(　　) A. B.8 C.12 D.16 答案　B 解析　由题意可知X~B， 所以n＝EX＝24，所以n＝36， 所以DX＝n·×＝36××＝8. 4.若ξ~B(n，p)，且Eξ＝6，Dξ＝3，则P(ξ＝1)等于(　　) A.3×2－2 B.3×2－10 C.2－4 D.2－8 答案　B 解析　∵ξ~B(n，p)，Eξ＝6，Dξ＝3， ∴解得n＝12，p＝， ∴P(ξ＝1)＝＝12×＝3×＝3×2－10. 5.(多选)设随机变量ξ~B(2，p)，η~B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则(　　) A.p＝ B.Eξ＝ C.Dη＝1 D.P(η≥2)＝ 答案　ABD 解析　∵P(ξ＝0)+P(ξ≥1)＝1， ∴(1－p)2+＝1， ∵0<p<1，∴p＝， ∴Eξ＝2×，Dη＝3××. P(η≥2)＝p3+p2(1－p)＝+. 6.32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜.已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜人数ξ的均值Eξ≥10，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为(　　) A.24 B.25 C.26 D.27 答案　A 解析　设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y； 设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32－n，0≤n≤32，n∈N. X所有可能的取值为0，1，2，…，n， 则X~B，EX＝. Y所有可能的取值为0，1，2，…，32－n， 则Y~B，EY＝， 所以Eξ＝E(X+Y)＝EX+EY＝+≥10，解得n≥24. 7.(5分)设二项分布X~B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n＝　　　　　　，p＝　　　　　　. 答案　6　0.4 解析　由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44， ∴1－p＝0.6， ∴p＝0.4，n＝6. 8.(5分)一台仪器每启动一次都随机地出现一个4位的二进制数A＝a1a2a3a4，其中A的各位数字中，a1＝1，ak(k＝2，3，4)出现0的概率为，出现1的概率为.若启动一次出现的数字为A＝1010，则称这次试验成功.若成功一次得2分，失败一次得－1分，则54次这样的重复试验的总得分X的方差为　　　　. 答案　 解析　启动一次出现数字为A＝1010的概率P＝， 设试验成功的次数为Y，则Y~B， 所以Y的方差为DY＝54××， 易得总得分X＝2Y－1×(54－Y)＝3Y－54， 所以DX＝D(3Y－54)＝9DY＝. 9.(10分)为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的300名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示： 支付方式 电子支付 信用卡 购物卡 现金 人数 100 75 75 50 现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率. (1)求三人中用信用卡的人数多于购物卡支付人数的概率；(5分) (2)记X为三人中用电子支付的人数，求X的分布列及均值.(5分) 解　(1)使用电子支付的概率为， 使用信用卡支付的概率为， 使用购物卡支付的概率为， 使用现金支付的概率为， 由题意得三人中使用信用卡支付的人数多于使用购物卡支付的人数的概率为+××+××. (2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， X~B， 且P(X＝0)＝， P(X＝1)＝××， P(X＝2)＝××， P(X＝3)＝， X的分布列为 X 0 1 2 3 P 均值为EX＝3×＝1. 10.(13分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(6分) (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值EX及方差DX.(7分) 解　(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”.因此 P(A1)＝(0.006+0.004+0.002)×50＝0.6， P(A2)＝0.003×50＝0.15， P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为 P(X＝0)＝×(1－0.6)3＝0.064， P(X＝1)＝×0.6×(1－0.6)2＝0.288， P(X＝2)＝×0.62×(1－0.6)＝0.432， P(X＝3)＝×0.63＝0.216， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X~B(3，0.6)，所以均值EX＝3×0.6＝1.8， 方差DX＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 11.在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为，，，，，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试.假设每人每次投篮相互独立，则下列说法错误的是(　　) A.5名同学各投篮10次，相当于各做了10重伯努利试验 B.他们投中的次数均服从二项分布 C.他们投中的均值分别为6，5，，， D.晋级下一轮的大约有5人 答案　D 解析　对于A，5名同学各投篮10次，相当于各做了10重伯努利试验，A正确； 对于B，他们投中的次数均服从二项分布，B正确； 对于C，他们投中的均值分别为10×＝6，10×＝5，10×，10×，10×，C正确； 对于D，他们投中的均值满足10×＝6，10×<6，10×>6，10×>6，10×<6，故晋级下一轮的大约有3人，D错误. 12.(多选)一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若每次爬行过程中，小虫等概率地向左或向右爬行1个单位长度，设爬行n次后小虫所在位置对应的数为随机变量ξn，则(　　) A.P(ξ4＝0)<P(ξ4＝2) B.P(ξ4＝0)>P(ξ6＝0) C.Eξ5>Eξ4 D.Eξ5＝Eξ4 答案　BD 解析　由题意知，随机变量ξn∈[－n，n]，且小虫向左或向右爬行1个单位长度的概率均为， 若ξ4＝0，则爬行4次后小虫一共向左爬行2次，向右爬行2次，P(ξ4＝0)＝，若ξ4＝2，则爬行4次后小虫一共向右爬行3次，向左爬行1次，P(ξ4＝2)＝，所以P(ξ4＝0)>P(ξ4＝2)，故A错误； 若ξ6＝0，则爬行6次后小虫一共向右爬行3次，向左爬行3次，P(ξ6＝0)＝，则P(ξ4＝0)>P(ξ6＝0)，故B正确； 爬行n次后小虫一共向右爬行r次，向左爬行n－r次，有ξn＝r+[－(n－r)]＝2r－n，故P(ξn＝2r－n)＝，则Eξn＝＝0.故C错误，D正确. 13.假设每架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行.若使4引擎飞机比双引擎飞机更为安全，则p的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　首先计算4引擎飞机正常运行的概率，包括2个引擎、3个引擎、4个引擎正常工作3种情况，故概率为p2(1－p)2+p3(1－p)+p4.然后计算双引擎飞机正常运行的概率，包括1个引擎和2个引擎正常工作2种情况，故概率为p(1－p)+p2.由于“4引擎飞机正常运行的概率大于双引擎飞机正常运行的概率”，故p2(1－p)2+p3(1－p)+p4>p(1－p)+p2，由于0<p<1，故上式解得<p<1. 14.某人在n次射击中击中目标的次数为X，且X~B(n，0.7)，记Pk＝P(X＝k)，k＝0，1，2，…，n，若P7是唯一的最大值，则EX的值为(　　) A.7 B.7.7 C.8.4 D.9.1 答案　A 解析　因为Pk＝P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，若Pk是唯一的最大值， 则 所以 即 解得<n<， 因为p＝0.7，k＝7，所以9<n<， 因为n为正整数，所以n＝10， 所以EX＝10×0.7＝7. 15.(15分)一次课外活动举行趣味投篮比赛，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知某同学连续投篮n次，总得分为X，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立. (1)当n＝30时，判断EX与20的大小，并说明理由；(4分) (2)当n＝3时，求X的分布列和均值；(5分) (3)记X＝3的概率为Pn(n≥2，n∈N+)，求Pn的表达式.(6分) 解　(1)EX>20. 理由如下：记该同学投篮30次投进次数为ξ， 则ξ~B， 若每次投进得分都为1分， 则得分的均值为Eξ＝30×＝20， 由比赛得分的规则知，连续投进时，得分翻倍， 故实际总得分的均值EX必大于每次得分固定为1分的均值Eξ， 所以EX>20. (2)X的可能取值为0，1，2，3，7，且 P(X＝0)＝， P(X＝1)＝××， P(X＝2)＝×， P(X＝3)＝××， P(X＝7)＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 7 P 所以EX＝0×+1×+2×+3×+7×. (3)投篮n次得分为3分，有两种可能的情况： 情形一，恰好两次投进，且两次相邻； 情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻， 当2≤n≤4时，情形二不可能发生， 故Pn＝×＝4(n－1)， 当n≥5时，情形一发生的概率为×＝4(n－1)， 情形二发生是指将(n－3)次未投进的投篮排成一列，共有(n－2)个空位， 选择其中3个空位作为投进的投篮，故概率为 ×＝4(n－2)(n－3)(n－4)， 所以Pn＝4(n－1)+4(n－2)(n－3)(n－4) ＝4(n3－9n2+29n－27)， 综上，Pn＝ 学科网（北京）股份有限公司 $