第6章 概率（复习讲义）数学北师大版2019选择性必修第一册

第6章 概率（复习讲义） 1.理解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，能运用乘法公式计算事件的概率，理解事件独立性的定义并判断事件是否独立，掌握全概率公式并能解决实际问题. 2.理解离散型随机变量的定义，掌握离散型随机变量分布列的性质，能根据实际问题列出离散型随机变量的分布列. 3.掌握离散型随机变量均值（数学期望）和方差的定义及计算公式，能计算离散型随机变量的均值和方差，并理解其统计意义. 4.理解二项分布和超几何分布的定义、模型背景及适用条件，能运用二项分布和超几何分布解决实际概率问题. 5.了解正态分布的概念、图像特征及性质，理解正态分布在实际生活中的应用. 6.通过本章学习培养逻辑推理能力、数学建模能力和数据分析能力、观想象能力和数学抽象能力，掌握分类讨论和类比的方法，提升归纳概括能力. ●一、随机事件的条件概率 1、条件概率的概念： (1)设A,B是两个事件，且P(A)>0，则称P(B∣A)= 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.P(B∣A)读作A发生的条件下B发生的概率.显然，0≤P(B∣A)≤1. （2）从集合的角度看，若事件A已发生，则为使B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于AB（如图 1）.由于已知A已经发生，故A成为计算条件概率P(B∣A)新的样本空间. 2、乘法公式与事件的独立性： 事件A与B相互独立P(AB)=P(A)P(B) 3、全概率公式： （1）全概率公式 设B1 ,B2 ,⋯,Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi )>0(i=1,2,⋯,n)，则对任意一个事件A有 ，称其为全概率公式. （2）贝叶斯（Bayes）公式： 设B1 ,B2 ,⋯,Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0,P(Bi )>0(i=1,2,⋯,n)，则 ，称为贝叶斯（Bayes）公式. ●二、离散型随机变量及其分布列 1、 随机变量： 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示。在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母等来表示. 2.离散型随机变量的分布列 （1）离散型随机变量：取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量. （2）分布列定义：若离散型随机变量X的取值为x1 ,x2 ,⋯,x n ,⋯，随机变量X取xi的概率为pi (i=1,2,⋯,n,⋯)，记作P(X=xi )=p i (i=1,2,⋯,n,⋯)上式也可以列成表： xi x1 x2 …… x n …… P(X=xi ) P1 P2 …… pn …… 此表或上式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列. （3）分布列的意义：如果随机变量X的分布列为上表 或上式，我们称随机变量X服从这一分布列，记作.随机变量X的分布列完全描述了随机现象的规律：了解了随机变量X的分布列，就了解了这个随机变量的所有可能取值及取各个值的概率. （4）分布列的性质： ①pi >0(i=1,2,⋯,n,⋯)； ②p1 +p2 +⋯+pn +⋯=1 （5）两点分布（0-1 分布、伯努利分布）： ①伯努利试验：若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为 “成功” 和 “失败”，每次 “成功” 的概率均为p，每次 “失败” 的概率均为1−p，则称这样的试验为伯努利试验. ②两点分布定义：如果随机变量X的分布列如下表 X 1 0 P p q 其中0<p<1,q=1−p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布（又称0−1分布或伯努利分布）. ●三、离散型随机变量的均值与方差 1、 离散型随机变量的均值： 设离散型随机变量X的分布列如表 X x1 x2 …… x n P P1 P2 …… pn 则称为随机变量X的均值或数学期望（简称期望）. 均值EX刻画的是X取值的 “中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的平均水平，是随机变量X的一个重要特征. 2、离散型随机变量的方差： 设离散型随机变量X的分布列如表 X x1 x2 …… x n P P1 P2 …… pn 则(xi −EX) 2描述了xi (i=1,2,⋯,n)相对于均值EX的偏离程度，而DX=E(X−EX) 2 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX 的平均偏离程度。我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差，记作 σX. ●四、二项分布与超几何分布 1、二项分布： （1）n重伯努利试验：在研究随机现象时，经常要在相同条件下重复做大量试验来发现规律。一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验. （2）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为；若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n,p的二项分布，简记为X∼B(n,p). 显然，两点分布是二项分布在参数n=1时的特殊情况. （3） 二项分布的均值与方差： ①二项分布的均值与方差：一般地，若随机变量X∼B(n,p)，则EX=np,DX=np(1−p)； ②两点分布的均值与方差：特殊地，若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX=p,DX=p(1−p) 2、超几何分布： （1）超几何分布：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品。从中任取n(n≤N)件产品，用 X表示取出的n件产品中次品的件数，那么．其中 n≤N,M≤N,n,M,N∈N+.若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布. （2）超几何分布的均值：一般地，当随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布时，其均值为 ●五、正态分布 （1） 正态分布：，其中实数μ,σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布密度（函数）称为正态分布密度（函数），简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线. 正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型. （2）正态分布的特点：如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何实数a,b(a<b)，随机变量X在区间(a,b]的概率可以用P(a<X≤b)来表示.它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间(a,b]对应的曲边梯形面积的值（如图1）.如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ,σ(σ>0)确定，记为X∼N(μ,σ2)，其中EX=μ,DX=σ2. 正态曲线的其他特点：因为正态分布完全由μ和σ确定，所以正态曲线还具有下列特点： ①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越 “矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越 “高瘦”，表示总体的分布越集中. （3）正态曲线有如下性质： ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，关于直线x=μ对称； ③曲线的最高点位于x=μ处； ④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线（如图2）. （4）3σ 原则： 如图3，正态分布随机变量X在区间(μ−σ,μ+σ](σ>0)上取值的概率为阴影部分的面积. 特别地， P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.6826, P(μ−2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544, P(μ−3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974. 因此，随机变量X在区间(μ−σ,μ+σ]、(μ−2σ,μ+2σ]、(μ−3σ,μ+3σ]上取值的概率分别约为 68.26%、95.44%、99.74%。而随机变量X在区间(μ−3σ,μ+3σ]外取值的概率只有 0.3%，通常认为这种情况在一次试验中几乎是不可能发生的，认为是小概率事件。因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布 N(μ,σ2 )的随机变量X只取区间(μ−3σ,μ+3σ]之间的值，并称之为3σ 原则. 题型一 计算条件概率 【例1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·广东清远·阶段练习）设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 【变式1-2】（25-26高二上·全国·单元测试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型二 独立事件的判断 【例2】（2025高二·全国·专题练习）已知，则“”是“与相互独立”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【变式2-2】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）设、是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（    ） A．事件，则 B．若和互斥，则和可能相互独立 C．若事件、满足，则与是对立事件 D．事件与事件中至少有一个发生的概率不一定比与中恰有一个发生的概率大 题型三 独立事件与互斥事件 【例3】（多选）（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为A事件，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”记为B事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为C事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为D事件，则下列叙述中正确的是（    ） A．与互斥 B． C．与相互独立 D．与不相互独立 【变式3-1】（多选）（24-25高一下·贵州遵义·期末）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【变式3-2】（多选）（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题抽出的题不再放回，则（   ） A．“第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”相互独立 B．“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件 C．“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”的概率是 D．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是 题型四 独立事件概率的乘法公式 【例4】（24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【变式4-1】（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）有一名高二学生盼望2025年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2025年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2024年10月市数学竞赛一等奖中选拔）；②2025年3月自主招生考试通过并且达到2025年6月高考重点分数线；③2025年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）；该学生具备参加市数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表： 市数学竞赛一等奖 自主招生通过 高考达重点线 高考达该校分数线 0.5 0.6 0.9 0.7 若该学生数学竞赛获市一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） (1)求该学生参加自主招生考试的概率； (2)求该学生被该校录取的概率. 【变式4-2】（25-26高二上·福建宁德·期中）甲､乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响. (1)求甲恰好比赛2局后获胜的概率； (2)求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率； (3)求甲赢得比赛的概率.（本题结果都用化简后的分数作答） 题型五 全概率公式的应用 【例5】（25-26高三上·福建泉州·阶段练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额. 【变式5-1】（25-26高三上·天津·阶段练习）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为 ． 【变式5-2】（24-25高二下·福建三明·阶段练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 题型六 贝叶斯公式的应用 【例6】（24-25高二下·全国·课后作业）袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： (1)第二次摸到红球的概率； (2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 【变式6-1】（2025高二下·山东青岛·竞赛）某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 题型七 随机变量的判断及其取值 【例7】（24-25高二下·全国·课堂例题）为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在31个省(自治区、直辖市和新疆生产建设兵团中，随机抽取6个进行突击检查，抽得的结果只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为. (1)中包含的样本点数目是多少? (2)设抽得的结果中直辖市个数为X，那么对中的每一个样本点，X都有唯一确定的值吗？X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的值有哪些？ 【变式7-1】（24-25高二下·全国·课后作业）袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则的所有可能取值是（    ） A．1，2，…，5 B．1，2，…，10 C．2，3，…，10 D．1，2，…，6 【变式7-2】（24-25高二·全国·课堂例题）袋中有3个白球，5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（    ） A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 题型八 离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【例8】（多选）（24-25高二下·山西临汾·月考）下列变量是离散型随机变量的是（    ） A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数 C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D．方程的实根个数 【变式8-1】（24-25高二·全国·课堂例题）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-2】（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）下列是离散型随机变量的是（   ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 题型九 求随机变量分布列 【例9】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个不透明的口袋中装有3个红球､3个黄球和2个白球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球. (1)求摸出的白球个数比黄球个数多的概率； (2)记摸出的球的颜色种类为，求的分布列. 【变式9-1】（2025高二·全国·专题练习）一袋子中有大小相同的10个小球，其中有3个白球，7个黑球．现从中依次摸出2个球，记摸到白球的个数为X．若采用不放回摸球，求X的分布列． 【变式9-2】（2025高二·全国·专题练习）四个母亲带领自己的孩子参加电视台《我爱妈妈》综艺节目，其中有一环节，先把四个小孩的眼睛蒙上，然后四个母亲分开站，而且站着不许动、不许出声，最后让蒙上眼睛的小朋友找自己的妈妈，一个母亲的身边只许站一个小朋友，站对一对后亮起两盏红灯，站错不亮灯，求所亮灯数的分布列． 题型十 利用随机变量分布列的性质解题 【例10】（2025高二·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列如下． 0 1 P a b 记“函数是偶函数”为事件A，则 ． 【变式10-1】（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为 ． 题型十一 两点分布问题 【例11（25-26高三上·山西大同·月考）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高二下·广东江门·期末）若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【变式11-2】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 题型十二 求离散型随机变量的均值 【例12】（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某高校一学生和智能人形机器人进行一场“网球”比赛，比赛采用三局两胜制.已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)在该同学获得比赛胜利的条件下，求他以获胜的概率； (2)记整场比赛该同学获胜局数为，求的分布列和数学期望. 【变式12-1】（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）已知随机变量的分布列如下：若，则 . 1 2 3 0.3 0.3 【变式12-2】（24-25高三上·云南大理·开学考试）一个不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和2个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球. (1)求摸出的红球个数比黄球个数多的概率； (2)记摸出的球的颜色种类为，求的分布列与期望. 题型十三 均值的性质及应用 【例13】（24-25高二下·青海西宁·期中）袋中有个大小相同的球，其中记上号的有个，记上号的有个.现从袋中任取一球，表示所取球的标号. (1)求的分布列、均值； (2)若，，求的值. 【变式13-1】（24-25高二下·北京通州·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）随机变量的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 题型十四 由离散型随机变量的均值求参数 【例14】（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（   ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 【变式14-1】（24-25高二下·辽宁·期末）设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25高二下·天津西青·期末）已知随机变量X的分布列如下图，若，则 . x 2 3 5 P a b 题型十五 离散型随机变量的方差与标准差 【例15】（25-26高三上·广东佛山·月考）下表显示某组32名学生饲养宠物的数目的分布．若从该组中随机选出一名学生，则选出的学生饲养宠物的概率是． 宠物的数目 0 1 2 3 学生人数 13 2 (1)求和的值． (2)求该分布的标准偏差． 【变式15-1】（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【变式15-2】（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每日加工的零件数相等，所出次品数分别为、，且和的分布列分别为 0 1 2 0 1 2 试比较这两名工人的技术水平及稳定性． 题型十六 利用方差的性质解题 【例16】（24-25高二下·全国·课后作业）已知某随机变量的概率分布为 1 2 3 其中，随机变量的方差，求的值 【变式16-1】（24-25高二下·广东中山·阶段练习）已知随机变量X的分布列如下表：若，则（   ） X 0 1 2 P n m A． B．5 C．7 D．21 【变式16-2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为 0 1 (1)求的期望和方差； (2)设，求的期望和方差． 题型十七 二项分布及概率计算 【例17】（25-26高二上·全国·单元测试）建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列． 【变式17-1】（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的. (1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列； (2)第二小组进行试验，到成功了3次为止，求在第3次成功之前共有2次失败的概率. 【变式17-2】（24-25高二下·全国·课后作业）某人参加射击比赛，他击中目标的概率是． (1)设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列； (2)若他只有6颗子弹，且当他击中目标时，就不再射击；当他未击中目标时，就继续射击，直至子弹打完，求他射击次数的分布列； (3)设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列． 题型十八 二项分布的期望、方差 【例18】（24-25高二下·四川南充·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为，第二台加工的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. (1)设第一台车床加工的零件有件，第二台车床加工的零件有件，求证：； (2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为，求的分布列、数学期望和方差. 【变式18-1】（24-25高二下·山东青岛·期末）已知随机变量，随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式18-2】（24-25高二下·北京延庆·期末）某市在高中阶段举办“传统文化知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动.现从参赛学生中随机抽取了男、女各20名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 1 4 10 3 2 女生人数 4 4 4 4 4 (1)在抽取的40名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率； (2)从该市参赛的男生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望； (3)从该市参赛的女生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为Y，用频率估计概率，试比较Y的方差与（2）中X的方差大小.（结论不要求证明）. 题型十九 超几何分布及概率计算 【例19】（24-25高二下·贵州遵义·月考）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【变式19-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为 ． 【变式19-2】（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 题型二十 超几何分布的期望、方差 【例20】（多选）（24-25高二下·湖北黄石·阶段练习）已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，现从中逐个摸取3个小球.方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为X；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为Y．下列说法中，正确的有（   ） A．， B． C．，其中 D． 【变式20-1】（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式20-2】（21-22高二下·宁夏银川·阶段练习）冬奥会志愿者有6名男同学，4名女同学.在这10名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余7名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7所大学.现从这10名志愿者中随机选取3名同学，到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等). (1)求选出的3名同学是来自互不相同的大学的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的期望和方差. 题型二十一 正态曲线及其应用 【例21】（24-25高二下·湖南岳阳·期末）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式21-1】（24-25高二下·湖北孝感·阶段练习）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式21-2】（多选）（24-25高二下·河北·期末）期末考试，某学校的数学成绩服从正态分布，则（    ） A．这次测试的数学平均成绩为110 B．这次测试的数学成绩的方差为10 C．分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同 D．分数在140分以上的人数与分数在80分以下的人数大致相同 题型二十二 求指定区间、特殊区间的概率 【例22】（24-25高二下·河南漯河·期末）小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（   ） 【附：，】 A．0.1359 B．0.2718 C．0.34135 D．0.47725 【变式22-1】（2025·海南·模拟预测）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式22-2】（2025·广东·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 题型二十三 根据正态曲线求参数 【例23】（24-25高二下·福建漳州·期末）已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式23-1】（24-25高二下·陕西商洛·期末）已知随机变量，则（   ） A．5 B．4 C．6 D．3 【变式23-2】（24-25高二下·陕西商洛·期末）已知随机变量，则（   ） A．5 B．4 C．6 D．3 题型二十四 正态分布的应用 【例24】（25-26高二上·全国·单元测试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【变式24-1】（24-25高二下·全国·课后作业）某公共汽车门的高度是按照“保证成年男子头顶与车门顶部碰撞的概率在以下”这一要求设计的，如果某地成年男子的身高服从正态分布（单位：cm），那么该地公共汽车门的高度应设计为多少？（精确到1cm） 20．（24-25高二下·河北·阶段练习）在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）． 参考数据：若，则，，． 【变式24-2】（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布． (1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列； (2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大． 参考数据：若，则． 基础巩固通关测 1．（24-25高二下·河北承德·期末）已知随机变量服从分布，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东威海·期末）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东江门·月考）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中恰有1人投中的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·陕西西安·开学考试）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（   ） A．0.035 B．0.14 C．0.10 D．0 5．（24-25高二下·福建泉州·期末）若随机变量，随机变量，且，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 7．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 8．（25-26高二上·全国·单元测试）根据以往经验，某工程施工期间的降水量（单位：mm）对工期的影响如表所示． 降水量 工期延误天数 0 2 6 10 若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数的方差为（    ） A．6.8 B．8.8 C．9.8 D．10.8 9．（多选）（24-25高二下·内蒙古包头·期中）口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球．从口袋内无放回地依次抽取个球，记“第一次抽到红球”为事件，“第二次抽到黄球”为事件，则（   ） A． B． C．与为互斥事件 D．与不相互独立 10．（多选）．（2025高三·全国·专题练习）（多选）甲、乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则下列结论可能正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则 . 12.（2025高三·全国·专题练习）变量的分布列如下： 0 1 其中，若，则的值是 ． 能力提升进阶练 13．（25-26高二上·湖北孝感·期中）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛.约定先赢两局者获胜，比赛随即结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为. (1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； (2)若通过抽签决定参与第一局的选手中有丙，求甲获胜的概率. 14．（25-26高二上·湖北荆州·阶段练习）甲、乙、丙三名同学进行乒乓球比赛，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系： ① 乙、丙两名同学进行本场比赛，败者落入败者组； ② 甲与第①场比赛胜者比赛，败者落入败者组； ③ 败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④ 第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 设每场比赛双方获胜的概率均为. (1)求乙在败者组比赛中被淘汰的概率； (2)求甲最终获胜的概率； (3)从最终三人获得名次的数学期望的角度分析，该比赛规则是否对甲有利？ 15．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 表1 用频率估计概率，解答下列问题. 已知下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示. 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 表2 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保. (1)估计甲2026年参保第二个保险期的保费为X元，求X的数学期望； (2)求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保第三个保险期的保费少于2400元的概率. 16．（24-25高二下·全国·课后作业）若该批产品共有100个产品，合格率为，抽样方案选择的是，即在该批产品中随机抽取5件产品，若不合格品数为0，则该批产品通过检测．若用随机变量表示抽样中合格品的个数，请写出的分布列，并求出该批产品通过检测的概率． 17.（24-25高二下·山东·阶段练习）为了增强市民的交通意识，某社区举办了一次交通规则知识竞赛.经统计发现，参加本次知识竞赛的社区居民的竞赛成绩近似服从正态分布. (1)若有15.865%参赛社区居民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩. (2)参加了知识竞赛的社区居民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知能参加了知识竞赛的居民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记小王获得话费为元，求的数学期望和方差. 参考数据：若随机变量，则，，. 18.（2025高二·全国·专题练习）为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的成绩统计如下表. 分数段 人数 1 2 2 8 3 3 1 规定60分以下为不及格，60分及以上至70分以下为及格，70分及以上至80分以下为良好，80分及以上为优秀. (1)从这20名学生中随机抽取2名学生，2名学生的成绩恰好都是优秀的概率是多少？ (2)将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2名学生，用X表示这2名学生中成绩为优秀的人数，求X的分布列、期望与方差. 19．（24-25高二下·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 20.（24-25高二下·山东聊城·期末）某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 概率（复习讲义） 1.理解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，能运用乘法公式计算事件的概率，理解事件独立性的定义并判断事件是否独立，掌握全概率公式并能解决实际问题. 2.理解离散型随机变量的定义，掌握离散型随机变量分布列的性质，能根据实际问题列出离散型随机变量的分布列. 3.掌握离散型随机变量均值（数学期望）和方差的定义及计算公式，能计算离散型随机变量的均值和方差，并理解其统计意义. 4.理解二项分布和超几何分布的定义、模型背景及适用条件，能运用二项分布和超几何分布解决实际概率问题. 5.了解正态分布的概念、图像特征及性质，理解正态分布在实际生活中的应用. 6.通过本章学习培养逻辑推理能力、数学建模能力和数据分析能力、观想象能力和数学抽象能力，掌握分类讨论和类比的方法，提升归纳概括能力. ●一、随机事件的条件概率 1、条件概率的概念： (1)设A,B是两个事件，且P(A)>0，则称P(B∣A)= 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.P(B∣A)读作A发生的条件下B发生的概率.显然，0≤P(B∣A)≤1. （2）从集合的角度看，若事件A已发生，则为使B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于AB（如图 1）.由于已知A已经发生，故A成为计算条件概率P(B∣A)新的样本空间. 2、乘法公式与事件的独立性： 事件A与B相互独立P(AB)=P(A)P(B) 3、全概率公式： （1）全概率公式 设B1 ,B2 ,⋯,Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi )>0(i=1,2,⋯,n)，则对任意一个事件A有 ，称其为全概率公式. （2）贝叶斯（Bayes）公式： 设B1 ,B2 ,⋯,Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0,P(Bi )>0(i=1,2,⋯,n)，则 ，称为贝叶斯（Bayes）公式. ●二、离散型随机变量及其分布列 1、 随机变量： 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示。在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母等来表示. 2.离散型随机变量的分布列 （1）离散型随机变量：取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量. （2）分布列定义：若离散型随机变量X的取值为x1 ,x2 ,⋯,x n ,⋯，随机变量X取xi的概率为pi (i=1,2,⋯,n,⋯)，记作P(X=xi )=p i (i=1,2,⋯,n,⋯)上式也可以列成表： xi x1 x2 …… x n …… P(X=xi ) P1 P2 …… pn …… 此表或上式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列. （3）分布列的意义：如果随机变量X的分布列为上表 或上式，我们称随机变量X服从这一分布列，记作.随机变量X的分布列完全描述了随机现象的规律：了解了随机变量X的分布列，就了解了这个随机变量的所有可能取值及取各个值的概率. （4）分布列的性质： ①pi >0(i=1,2,⋯,n,⋯)； ②p1 +p2 +⋯+pn +⋯=1 （5）两点分布（0-1 分布、伯努利分布）： ①伯努利试验：若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为 “成功” 和 “失败”，每次 “成功” 的概率均为p，每次 “失败” 的概率均为1−p，则称这样的试验为伯努利试验. ②两点分布定义：如果随机变量X的分布列如下表 X 1 0 P p q 其中0<p<1,q=1−p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布（又称0−1分布或伯努利分布）. ●三、离散型随机变量的均值与方差 1、 离散型随机变量的均值： 设离散型随机变量X的分布列如表 X x1 x2 …… x n P P1 P2 …… pn 则称为随机变量X的均值或数学期望（简称期望）. 均值EX刻画的是X取值的 “中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的平均水平，是随机变量X的一个重要特征. 2、离散型随机变量的方差： 设离散型随机变量X的分布列如表 X x1 x2 …… x n P P1 P2 …… pn 则(xi −EX) 2描述了xi (i=1,2,⋯,n)相对于均值EX的偏离程度，而DX=E(X−EX) 2 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX 的平均偏离程度。我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差，记作 σX. ●四、二项分布与超几何分布 1、二项分布： （1）n重伯努利试验：在研究随机现象时，经常要在相同条件下重复做大量试验来发现规律。一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验. （2）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为；若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n,p的二项分布，简记为X∼B(n,p). 显然，两点分布是二项分布在参数n=1时的特殊情况. （3） 二项分布的均值与方差： ①二项分布的均值与方差：一般地，若随机变量X∼B(n,p)，则EX=np,DX=np(1−p)； ②两点分布的均值与方差：特殊地，若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX=p,DX=p(1−p) 2、超几何分布： （1）超几何分布：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品。从中任取n(n≤N)件产品，用 X表示取出的n件产品中次品的件数，那么．其中 n≤N,M≤N,n,M,N∈N+.若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布. （2）超几何分布的均值：一般地，当随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布时，其均值为 ●五、正态分布 （1） 正态分布：，其中实数μ,σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布密度（函数）称为正态分布密度（函数），简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线. 正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型. （2）正态分布的特点：如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何实数a,b(a<b)，随机变量X在区间(a,b]的概率可以用P(a<X≤b)来表示.它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间(a,b]对应的曲边梯形面积的值（如图1）.如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ,σ(σ>0)确定，记为X∼N(μ,σ2)，其中EX=μ,DX=σ2. 正态曲线的其他特点：因为正态分布完全由μ和σ确定，所以正态曲线还具有下列特点： ①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越 “矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越 “高瘦”，表示总体的分布越集中. （3）正态曲线有如下性质： ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，关于直线x=μ对称； ③曲线的最高点位于x=μ处； ④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线（如图2）. （4）3σ 原则： 如图3，正态分布随机变量X在区间(μ−σ,μ+σ](σ>0)上取值的概率为阴影部分的面积. 特别地， P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.6826, P(μ−2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544, P(μ−3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974. 因此，随机变量X在区间(μ−σ,μ+σ]、(μ−2σ,μ+2σ]、(μ−3σ,μ+3σ]上取值的概率分别约为 68.26%、95.44%、99.74%。而随机变量X在区间(μ−3σ,μ+3σ]外取值的概率只有 0.3%，通常认为这种情况在一次试验中几乎是不可能发生的，认为是小概率事件。因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布 N(μ,σ2 )的随机变量X只取区间(μ−3σ,μ+3σ]之间的值，并称之为3σ 原则. 题型一 计算条件概率 【例1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：，共5个基本事件， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：D. 【变式1-1】（23-24高二下·广东清远·阶段练习）设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 【答案】A 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以， 故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·全国·单元测试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以，所以． 故选：C. 题型二 独立事件的判断 【例2】（2025高二·全国·专题练习）已知，则“”是“与相互独立”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据条件概率公式、独立事件的乘法公式可分析命题之间的充要性. 【详解】， ，即与相互独立； 若与相互独立，则， ， 综上，“”是“与相互独立”的充要条件. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 【变式2-2】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）设、是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（    ） A．事件，则 B．若和互斥，则和可能相互独立 C．若事件、满足，则与是对立事件 D．事件与事件中至少有一个发生的概率不一定比与中恰有一个发生的概率大 【答案】D 【分析】根据事件的包含关系可判断A，利用互斥事件和相互独立事件的概念可判断B，利用对立事件的概念可判断C和D. 【详解】对于A，若事件，则，故A错误； 对于B，若事件、互斥，则， 若事件、相互独立，则， 所以若和互斥，则和不可能相互独立，故B错误； 对于C，若掷一枚骰子掷出的点数为奇数，掷一枚骰子掷出的点数大于3， 满足，但明显事件、不是对立事件，故C错误； 对于D，若事件与事件是对立事件， 则事件与事件中至少有一个发生的概率和与中恰有一个发生的概率相等，故D正确. 故选：D. 题型三 独立事件与互斥事件 【例3】（多选）（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为A事件，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”记为B事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为C事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为D事件，则下列叙述中正确的是（    ） A．与互斥 B． C．与相互独立 D．与不相互独立 【答案】AC 【分析】根据题意，分别写出事件包含的基本事件，并计算出概率，然后根据选项一一验证即可做出判断. 【详解】因为抛掷一次骰子，包含6个基本事件， 事件A表示结果向上的点数为1、2，所以； 事件B表示第二次抛掷结果向上的点数为3、6，所以； 事件C表示结果向上的点数为，，，，，，， ，，，，，，，，，，，共18种情况， 而抛掷两次骰子共出现36种情况，所以； 事件D表示结果向上的点数为，，，，，，， ，，，，，，，，，，，共18种情况， 而抛掷两次骰子共出现36种情况，所以； 对于A，由上述事件C与事件D表示的结果可知，，所以事件C与事件D互斥且对立，故A正确； 对于B，因为，表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第一次抛掷结果向上的点数小于3的概率， 其中事件包含，，，，，共6种情况，，所以，故B错误； 对于C，表示两次抛掷结果向上的点数之和为偶数且第一次抛掷结果向上的点数小于3的概率， 其中事件包含，，，，，，共6种情况， 所以， 又，，，所以A与C相互独立，故C正确； 对于D，表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数的概率， 事件包含，，，，，共6种情况， 所以，又，， ，所以B与D相互独立，故D错误. 故选：AC 【变式3-1】（多选）（24-25高一下·贵州遵义·期末）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【答案】BD 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项. 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 【变式3-2】（多选）（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题抽出的题不再放回，则（   ） A．“第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”相互独立 B．“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件 C．“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”的概率是 D．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率是 【答案】BCD 【分析】根据互斥事件，独立事件的定义判断AB，利用条件概率公式计算判断CD． 【详解】第一次抽到代数题为，第二次抽到代数题为 即不独立，故A错误； “第一次抽到代数题”与“第一次抽到几何体”显然不可能同时发生，是互斥事件，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD. 题型四 独立事件概率的乘法公式 【例4】（24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； 【详解】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 【变式4-1】（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）有一名高二学生盼望2025年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2025年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2024年10月市数学竞赛一等奖中选拔）；②2025年3月自主招生考试通过并且达到2025年6月高考重点分数线；③2025年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）；该学生具备参加市数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表： 市数学竞赛一等奖 自主招生通过 高考达重点线 高考达该校分数线 0.5 0.6 0.9 0.7 若该学生数学竞赛获市一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） (1)求该学生参加自主招生考试的概率； (2)求该学生被该校录取的概率. 【答案】(1)0.9 (2)0.838 【分析】（1）分别计算该同学未获得市级一等奖的概率与获得市级一等奖且未进入国家集训队的概率，求和即可； （2）分别计算该同学参加市数学竞赛获一等奖并参加国家集训队的概率，自主招生通过并且高考达到重点分数线录取的概率及自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的概率求和即可. 【详解】（1）设该学生参加市数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为， 学生参加自主招生考试包括两种情况： ①未获得市级一等奖，概率． ②获得市级一等奖且未进入国家集训队，概率 则该学生参加自主招生考试的概率 （2）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为． ， ， ， 所以该学生被该校录取的概率为． 【变式4-2】（25-26高二上·福建宁德·期中）甲､乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响. (1)求甲恰好比赛2局后获胜的概率； (2)求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率； (3)求甲赢得比赛的概率.（本题结果都用化简后的分数作答） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目条件，判断这两局比赛的胜负情况，根据独立事件概念的乘法公式，求出结果. （2）根据比赛结果，对比赛过程进行分类讨论，再根据独立事件概念的乘法公式，求出结果. （3）根据比赛结果，对比赛过程进行分类讨论，再根据独立事件概念的乘法公式，求出结果. 【详解】（1）记“甲在第局获胜”为事件， 记“甲恰好比赛2局后获胜”为事件， ， 即甲恰好比赛2局后获胜的概率为. （2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件， ， ， ， ， ， . 故甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为. （3）记“甲比赛5局后赢得比赛”为事件，“甲赢得比赛”为事件， ， ， . 故甲赢得比赛的概率为. 题型五 全概率公式的应用 【例5】（25-26高三上·福建泉州·阶段练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额. 【答案】(1) (2)第1，2台车床操作员应分别承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额. 【分析】的份额.（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，则，且，，两两互斥，求出、、，以及、、，由全概率公式得； （2）求“次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算可得答案. 【详解】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥，根据题意得， ，，， ，，， 由全概率公式得 ； （2）“次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率， ； ， ， 故第1，2台车床操作员应承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额. 【变式5-1】（25-26高三上·天津·阶段练习）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合全概率公式和对立事件的概率公式计算即得. 【详解】设 “第1天去餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得， 即王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.7，故王同学第2天去餐厅用餐的概率为. 故答案为： 【变式5-2】（24-25高二下·福建三明·阶段练习）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 【答案】 【分析】利用全概率公式和条件概率公式求解. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，事件“任取一个零件为次品”， 则，，，， 所以 ， 所以取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为： . 故答案为：. 题型六 贝叶斯公式的应用 【例6】（24-25高二下·全国·课后作业）袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： (1)第二次摸到红球的概率； (2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件表示“第一次摸到红球＂，事件表示”“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到红球”，利用全概率公式即可求解； （2）利用贝叶斯公式即可求解. 【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球＂，事件表示”“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到红球”， 则 由全概率公式有． （2）由贝叶斯公式有． 【变式6-1】（2025高二下·山东青岛·竞赛）某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】设他获得冠军为事件，他参加游泳比赛为事件， 则， 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 【答案】(1)； (2)2. 【分析】(1)利用全概率公式来求解即可； (2)利用贝叶斯公式来求解即可得到最大概率的判断. 【详解】（1）利用全概率公式可知，任取一个零件，它是次品的概率为： ； （2）利用贝叶斯公式可知， 如果取到的零件是次品，该次品来自第1台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第3台车床的概率为： 通过比较，如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率最大. 题型七 随机变量的判断及其取值 【例7】（24-25高二下·全国·课堂例题）为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在31个省(自治区、直辖市和新疆生产建设兵团中，随机抽取6个进行突击检查，抽得的结果只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为. (1)中包含的样本点数目是多少? (2)设抽得的结果中直辖市个数为X，那么对中的每一个样本点，X都有唯一确定的值吗？X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的值有哪些？ 【答案】(1) (2)对样本空间中的每一个样本点，变量X都有唯一的取值，但对不同的样本点，X的取值可能不同，其值可以是0，1，2，3，4中的任意一个. 【分析】（1）根据样本点和组合概念，运用组合表示即可；（2）根据样本点概念和随机变量概念判定. 【详解】（1）根据样本点概念，知道中包含的样本点数目是. （2）对样本空间中的每一个样本点，变量X都有唯一的取值，但对不同的样本点，X的取值可能不同，其值可以是0，1，2，3，4中的任意一个. 【变式7-1】（24-25高二下·全国·课后作业）袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则的所有可能取值是（    ） A．1，2，…，5 B．1，2，…，10 C．2，3，…，10 D．1，2，…，6 【答案】C 【分析】先得第一次和第二次取出的球可能的号码，相加即可得的所有可能取值. 【详解】第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取， 第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个， 两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10. 故选：C 【变式7-2】（24-25高二·全国·课堂例题）袋中有3个白球，5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（    ） A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 【答案】C 【分析】根据随机变量的定义及随机变量定义判断即可. 【详解】选项A，B是随机事件． 选项D取到球的个数是定值2． 选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示， 故选：C． 题型八 离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【例8】（多选）（24-25高二下·山西临汾·月考）下列变量是离散型随机变量的是（    ） A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数 C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D．方程的实根个数 【答案】BC 【分析】根据离散型随机变量的定义判断. 【详解】对于A，因为水位在内变化，不能一一举出，故不是离散型随机变量，故A错误； 对于B，需要抛掷次数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故B正确； 对于C，做对选择题第11题的人数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故C正确； 对于D，方程的实根有2个，是确定的值，不是随机变量，故D错误. 故选：BC. 【变式8-1】（24-25高二·全国·课堂例题）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念逐个判断即可. 【详解】①中进球的次数可能为0，1，2，3，4，5，可以一一列举出来； ②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来； ④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来 ③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来， 因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足． 故选：C 【变式8-2】（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）下列是离散型随机变量的是（   ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念逐项判断即可. 【详解】因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 对于A，种子含水量的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，某品牌电视机的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于C，某网页在24小时内被浏览的次数能一一列举，是离散型随机变量； 对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量． 故选：C. 题型九 求随机变量分布列 【例9】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个不透明的口袋中装有3个红球､3个黄球和2个白球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球. (1)求摸出的白球个数比黄球个数多的概率； (2)记摸出的球的颜色种类为，求的分布列. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式和古典概率公式计算即可； （2）确定的所有可能取值为1，2，3，分别求出对应事件的概率，列出分布列即可. 【详解】（1）由摸出的白球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为2个白球和1个黄球（或1个红球），可能为1个白球和2个红球， 其中摸出2个白球和1个黄球（或1个红球）的概率为， 摸出1个白球和2个红球的概率为， 故摸出的白球个数比黄球个数多的概率为. （2）由题可知，的所有可能取值为1，2，3， ，， ， 则的分布列为 1 2 3 【变式9-1】（2025高二·全国·专题练习）一袋子中有大小相同的10个小球，其中有3个白球，7个黑球．现从中依次摸出2个球，记摸到白球的个数为X．若采用不放回摸球，求X的分布列． 【答案】分布列见解析 【分析】先求出的可能值及各个值对应的概率，再列出分布列即可． 【详解】依题意，的所有可能取值为，，， 则， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 【变式9-2】（2025高二·全国·专题练习）四个母亲带领自己的孩子参加电视台《我爱妈妈》综艺节目，其中有一环节，先把四个小孩的眼睛蒙上，然后四个母亲分开站，而且站着不许动、不许出声，最后让蒙上眼睛的小朋友找自己的妈妈，一个母亲的身边只许站一个小朋友，站对一对后亮起两盏红灯，站错不亮灯，求所亮灯数的分布列． 【答案】分布列见解析 【分析】设所亮灯数为，先求出的可能值，再利用排列组合及列举法求出的各个值对应的概率，进而列出分布列即可． 【详解】设所亮灯数为，则可能的取值为0，2，4，8， 设4个小朋友，，，的妈妈分别为，，，， 当，即0个小朋友站对， 则站在，，身边，有种站法，假设站在身边，即分成两种情况： ①站在身边，则，分别站在，，有1种站法， ②不站在身边，则站在或身边，还有两种可能， 若站在身边，则，分别站在，身边，有1种站法， 若站在身边，则，分别站在，身边，有1种站法， 所以， 当，即恰有1个小朋友站对， 从，，，中选1个小朋友站对，有种站法，假设站在身边，还有两种可能： 若站在身边，则，分别站在，，有1种站法， 若站在身边，则，分别站在，，有1种站法， 所以， 当，即恰有2个小朋友站对，从，，，中选2个小朋友站对，有种站法， 所以， 当，即4个小朋友都站对，只有1种站法， 所以， 所以亮灯数的分布列为： 0 2 4 8 题型十 利用随机变量分布列的性质解题 【例10】（2025高二·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列如下． 0 1 P a b 记“函数是偶函数”为事件A，则 ． 【答案】 【分析】先由函数为偶函数可得，进而得，利用分布列的性质即可得到答案. 【详解】因为是偶函数，所以， 故． 又因为，0，1，所以， 故. 故答案为：. 【变式10-1】（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量分布列求概率即可. 【详解】由题得，则， 故． 故选：C. 【变式10-2】（24-25高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据分布列中概率和为1列方程求参数值，注意验证. 【详解】由题设，可得，所以或， 当时，，，显然不符； 当时，，，满足. 所以. 故答案为： 题型十一 两点分布问题 【例11（25-26高三上·山西大同·月考）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于 服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 【变式11-1】（24-25高二下·广东江门·期末）若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【分析】根据两点分布性质计算即可. 【详解】由题可知：X服从两点分布，所以， 又， 所以. 故选：C 【变式11-2】（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末）已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点分布分别求得的概率，再由求出，由条件概率公式计算. 【详解】因为随机变量均服从两点分布，所以， 因为， 所以， 由条件概率公式， 故选：B. 题型十二 求离散型随机变量的均值 【例12】（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某高校一学生和智能人形机器人进行一场“网球”比赛，比赛采用三局两胜制.已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)在该同学获得比赛胜利的条件下，求他以获胜的概率； (2)记整场比赛该同学获胜局数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设相应事件，根据题意先求，再结合条件概率公式运算求解； （2）分析可知的所有取值为，根据题意求相应的概率，进而可得分布列与期望. 【详解】（1）设事件“该同学以获得比赛胜利”，“该同学获胜”， 若该同学以获得比赛胜利，则三局比赛的结果为：赢输赢，输赢赢，共两种情况， 则，， 可得， 所以在该同学获得比赛胜利的条件下，他以获胜的概率为； （2）由题意可知的所有取值为. 则； ； ； 可得随机变量的分布列为 0 1 2 所以 【变式12-1】（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）已知随机变量的分布列如下：若，则 . 1 2 3 0.3 0.3 【答案】 【分析】根据分布列的性质，结合期望的公式和性质进行求解即可. 【详解】根据分布列的性质可知， 于是有， 又因为， 所以， 故答案为： 【变式12-2】（24-25高三上·云南大理·开学考试）一个不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和2个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球. (1)求摸出的红球个数比黄球个数多的概率； (2)记摸出的球的颜色种类为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式和古典概率公式计算即可； （2）确定的所有可能取值为1，2，3，分别求出对应事件的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）由摸出的红球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为3个红球，可能为2个红球和1个黄球（或1个绿球），可能为1个红球和2个绿球， 其中摸出3个红球的概率为， 摸出2个红球和1个黄球（或1个绿球）的概率为， 摸出1个红球和2个绿球的概率为， 故摸出的红球个数比黄球个数多的概率为. （2）由题可知，的所有可能取值为1，2，3， ，，， 则的分布列为 1 2 3 故. 题型十三 均值的性质及应用 【例13】（24-25高二下·青海西宁·期中）袋中有个大小相同的球，其中记上号的有个，记上号的有个.现从袋中任取一球，表示所取球的标号. (1)求的分布列、均值； (2)若，，求的值. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】(1)根据古典概型求概率并写出的分布列然后计算均值即可； (2)根据均值的性质及的均值即可求出. 【详解】（1）由题意可知袋中号的有，记上号的有个， 由古典概型可知，，，，； 的分布列为 的均值. （2），又因为，则，所以. 【变式13-1】（24-25高二下·北京通州·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知分布列得出对应概率，再应用数学期望公式计算结合数学期望性质求解即可. 【详解】根据分布列可得； ， 故选：A. 【变式13-2】（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）随机变量的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由均值的计算公式和均值的性质求解即可得出答案. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C. 题型十四 由离散型随机变量的均值求参数 【例14】（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（   ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故选：C． 【变式14-1】（24-25高二下·辽宁·期末）设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质及期望公式列方程求参数值，即可得. 【详解】由题设，可得， 且，可得， 所以，则. 故选：D 【变式14-2】（24-25高二下·天津西青·期末）已知随机变量X的分布列如下图，若，则 . x 2 3 5 P a b 【答案】 【分析】利用离散型随机变量的期望计算公式以及分布列中概率之和为1建立方程组，可解得的值. 【详解】因为，可得，解得. 故答案为：. 题型十五 离散型随机变量的方差与标准差 【例15】（25-26高三上·广东佛山·月考）下表显示某组32名学生饲养宠物的数目的分布．若从该组中随机选出一名学生，则选出的学生饲养宠物的概率是． 宠物的数目 0 1 2 3 学生人数 13 2 (1)求和的值． (2)求该分布的标准偏差． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）结合题意并利用概率公式建立方程组，求解参数即可. （2）结合分布列求解均值和方差，进而得到标准偏差即可. 【详解】（1）由总人数为32，可得， 由题可知 ，解得，. （2）设均值为，设方差为，标准偏差为， 由均值公式得， 由方差公式得 ， 则. 【变式15-1】（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用离散型随机变量的方差的计算公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 由题意得，， 所以． 故选：C. 【变式15-2】（24-25高二下·全国·课后作业）甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每日加工的零件数相等，所出次品数分别为、，且和的分布列分别为 0 1 2 0 1 2 试比较这两名工人的技术水平及稳定性． 【答案】甲、乙技术水平相当，乙更稳定 【分析】计算平均数与方差，即可得出结论． 【详解】，， ，说明两人出的次品数相同，可以认为他们技术水平相当， 又， ， ，所以工人乙的技术比较稳定. 所以甲、乙技术水平相当，乙更稳定. 题型十六 利用方差的性质解题 【例16】（24-25高二下·全国·课后作业）已知某随机变量的概率分布为 1 2 3 其中，随机变量的方差，求的值 【答案】/ 【分析】利用离散型随机变量的期望与方差公式列式计算，即可得解. 【详解】由题，，， 由，则， 解得，从而， 所以. 【变式16-1】（24-25高二下·广东中山·阶段练习）已知随机变量X的分布列如下表：若，则（   ） X 0 1 2 P n m A． B．5 C．7 D．21 【答案】D 【分析】先求出，的值，再求出的值，最后根据方差的性质即可得答案. 【详解】由题意，解得， 所以． 所以． 故选：D 【变式16-2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为 0 1 (1)求的期望和方差； (2)设，求的期望和方差． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用方差和期望的公式可求得结果. （2）利用均值和方差的性质求解. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， . 题型十七 二项分布及概率计算 【例17】（25-26高二上·全国·单元测试）建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）利用间接法求解； （2）判断X属于二项分布，并求出X的可能取值, 求出每个取值对应的概率，列表即可 【详解】（1）设甲烧制的3个建盏中成品的个数为，则的对立事件为， ，故． （2）由题可知． 的可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 【变式17-1】（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的. (1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列； (2)第二小组进行试验，到成功了3次为止，求在第3次成功之前共有2次失败的概率. 【答案】(1)分布列见解析； (2). 【分析】（1）由题意，应用二项分布的概率求法求对应概率，即可得分布列； （2）先分析事件，再应用独立事件乘法公式求概率即可. 【详解】（1）由题设，则，，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 （2）由第3次成功之前共有2次失败，即共试验了5次，前4次成功、失败各两次，最后一次成功， 所以所求概率为. 【变式17-2】（24-25高二下·全国·课后作业）某人参加射击比赛，他击中目标的概率是． (1)设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列； (2)若他只有6颗子弹，且当他击中目标时，就不再射击；当他未击中目标时，就继续射击，直至子弹打完，求他射击次数的分布列； (3)设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列． 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； (3)分布列见解析. 【分析】（1）某人每次的射击是相互独立且互不影响的，相当于多次重复试验．满足二项分布定义，可以用二项分布性质求解． （2）求离散型随机变量的分布列时要注意随机变量的所有可能取值． （3）应用独立重复试验的概率求法求分布列即可. 【详解】（1）因为此人每次击中目标的概率是， 所以他射击6次，击中目标次的概率． 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 （2）的取值为，若，则前次均未击中目标． 则, 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 6 （3）由（2）可得， 所以的分布列为： 1 2 3 题型十八 二项分布的期望、方差 【例18】（24-25高二下·四川南充·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为，第二台加工的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. (1)设第一台车床加工的零件有件，第二台车床加工的零件有件，求证：； (2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为，求的分布列、数学期望和方差. 【答案】(1)证明见解析 (2)分布列见解析，， 【分析】（1）根据合格率的概念，计算混合后的总体合格率，证明； （2）来自第二台车床零件的个数服从二项分布，根据二项分布写出分布列，计算期望和方差. 【详解】（1）已知第一台车床加工的零件有件，合格品有件， 第二台车床加工的零件有件，合格品有件， 混合后的合格率为，解得. （2）由可知，一个零件来自第二台车床概率为， 随机变量可能取值有，来自第二台车床零件的个数服从二项分布， 则， 可得， ， ， ， ， 随机变量分布列为： 0 1 2 3 4 根据二项分布，， 【变式18-1】（24-25高二下·山东青岛·期末）已知随机变量，随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布的期望公式及期望的性质求解. 【详解】因为，随机变量， 所以， 所以， 故选：A 【变式18-2】（24-25高二下·北京延庆·期末）某市在高中阶段举办“传统文化知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动.现从参赛学生中随机抽取了男、女各20名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下： 成绩 男生人数 1 4 10 3 2 女生人数 4 4 4 4 4 (1)在抽取的40名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率； (2)从该市参赛的男生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望； (3)从该市参赛的女生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为Y，用频率估计概率，试比较Y的方差与（2）中X的方差大小.（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）设事件A为“恰好男、女生各1人，且两人分数段不同”，分两种情况计算出各自的组合数和，相加除以总组合数求解；（2）将频率视为概率，确定男生中成绩达标概率，利用二项式分布求解分布列与期望；（3）计算女生对应的概率和方差，通过二项分布方差公式求解得出结论. 【详解】（1）根据题中数据，成绩在80分及以上的学生共13人， 设事件A为“恰好男、女生各1人，且两人分数段不同”，分两种情况： ①男生在女生在：；②男生在女生在：. 总的组合数：，所以： . （2）X的所有可能取值为0，1，2，3. 用频率估计概率，从该市参赛的男生中随机抽取1人，成绩在80分及以上的概率为， 可估计为，可估计为， 可估计为，可估计为. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 可估计为. 或者因为，所以可估计为. （3）女生中80分及以上频率为 ， ， 因为， 所以. 题型十九 超几何分布及概率计算 【例19】（24-25高二下·贵州遵义·月考）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案； （2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列. 【详解】（1）设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则. （2）由题意，X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 【变式19-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可知日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出对应的概率； 【详解】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 故答案为： 【变式19-2】（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）至少有一个是文创类项目，可以是一个或者两个文创项目，利用互斥事件加法公式和古典概型公式求解； （2）按照步骤结合超几何分布的性质计算. 【详解】（1）记“抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目”为事件， （2）由题意，的可能取值为. 所以的分布列为 0 1 2 题型二十 超几何分布的期望、方差 【例20】（多选）（24-25高二下·湖北黄石·阶段练习）已知一个袋子中放有5个不同的红球和3个不同的黄球，现从中逐个摸取3个小球.方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为X；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为Y．下列说法中，正确的有（   ） A．， B． C．，其中 D． 【答案】ABD 【分析】分别分析方案一、二，根据服从二项分布、超几何分布的概率公式、期望、方差公式计算，逐项分析得解. 【详解】选项A，方案一中，有放回地摸球，每次摸取到红球的概率为，摸3次球， 则取得红球个数，∴，，选项A正确； 选项C，方案一中，， 方案二中，不放回地摸球，取得红球个数Y服从超几何分布，则，．当时， ∴，，，故选项C错误； 选项B，由二项分布及超几何分布的期望公式，，故选项B正确； 选项D，，， 得，故选项D正确. 故选：ABD 【变式20-1】（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【详解】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 【变式20-2】（21-22高二下·宁夏银川·阶段练习）冬奥会志愿者有6名男同学，4名女同学.在这10名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余7名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7所大学.现从这10名志愿者中随机选取3名同学，到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等). (1)求选出的3名同学是来自互不相同的大学的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的期望和方差. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用古典概型概率公式求出即可. （2）由题可知，即得分布列，再利用期望，方差公式计算即得. 【详解】（1）设A为选出的3名同学是来自互不相同的大学，则 ； （2）由题可知随机变量的所有可能值为 的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴   . 题型二十一 正态曲线及其应用 【例21】（24-25高二下·湖南岳阳·期末）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态曲线的性质逐项判断即可. 【详解】根据题意，随机变量服从正态分布，， 服从正态分布，， A选项：， ， 故，命题正确； B选项： ，所以，命题正确； C选项：， ， 所以，命题正确； D选项：， ， 所以，命题错误. 故选：D 【变式21-1】（24-25高二下·湖北孝感·阶段练习）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布密度函数图像直接判断得出. 【详解】，正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，根据图像知， 第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等， 即，故B、D错误； ，越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的等于第二个图像的，且第二个图像的比第三个的要小， .，所以A错误，C正确． 故选：C. 【变式21-2】（多选）（24-25高二下·河北·期末）期末考试，某学校的数学成绩服从正态分布，则（    ） A．这次测试的数学平均成绩为110 B．这次测试的数学成绩的方差为10 C．分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同 D．分数在140分以上的人数与分数在80分以下的人数大致相同 【答案】AD 【分析】利用正态分布的性质及原则判断各项正误即可. 【详解】由题意得：，其中，， 即正态分布的对称轴为，因为，方差为100，故A正确，B错误； 由对称性及原则知：， ，故C错误，D正确． 故选：AD. 题型二十二 求指定区间、特殊区间的概率 【例22】（24-25高二下·河南漯河·期末）小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（   ） 【附：，】 A．0.1359 B．0.2718 C．0.34135 D．0.47725 【答案】A 【分析】根据正态分布的三段区间概率及对称性求概率即可. 【详解】由题设，，． 故选：A 【变式22-1】（2025·海南·模拟预测）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合正态分布的对称性可得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布，即， 所以. 故选：B. 【变式22-2】（2025·广东·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意与正态分布的性质求出和，最后结合条件概率公式求解即可. 【详解】由题可知该正态分布的均值为，其图象的对称轴为直线， 则，又， 由对称性可知， 由条件概率公式得． 故选：C． 题型二十三 根据正态曲线求参数 【例23】（24-25高二下·福建漳州·期末）已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以， 且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 【变式23-1】（24-25高二下·陕西商洛·期末）已知随机变量，则（   ） A．5 B．4 C．6 D．3 【答案】A 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】由题意可知，正态曲线关于对称， 因为， 所以，解得． 故选：A． 【变式23-2】（24-25高二下·陕西商洛·期末）已知随机变量，则（   ） A．5 B．4 C．6 D．3 【答案】A 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】由题意可知，正态曲线关于对称， 因为， 所以，解得． 故选：A． 题型二十四 正态分布的应用 【例24】（25-26高二上·全国·单元测试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数计算公式计算即可； （2）（ⅰ）由题意，由可求得，进而可得这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）根据正态分布的性质及原则分析即可． 【详解】（1）由题意可知，． （2）（ⅰ）由题意，， 则， 则，即． 则这批产品质量指标值在的数量约为． （ⅱ）如果生产状态正常，此时一件产品的质量指标值在之外的概率只有， 一天内抽取10件产品中，发现产品质量指标值在之外的概率只有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的方法合理． 【变式24-1】（24-25高二下·全国·课后作业）某公共汽车门的高度是按照“保证成年男子头顶与车门顶部碰撞的概率在以下”这一要求设计的，如果某地成年男子的身高服从正态分布（单位：cm），那么该地公共汽车门的高度应设计为多少？（精确到1cm） 【答案】高度至少应设计为189cm 【分析】实际应用问题，分析可知，求的是门的最低高度，可设其为，使其总体在不低于的概率小于，即，从而解出的范围． 【详解】设该地公共汽车门的高度应设计为，则根据题意可知，， 由于，所以，， 也即，通过查表可知，，解得． 即该地公共汽车门的高度至少应设计为189cm． 20．（24-25高二下·河北·阶段练习）在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由正态分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解； （2）由正态分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断. 【详解】（1）由题意可知甲校学生数学得分， 由，可得 ，则， 所以分数在70分及以下的学生有人， 所以学生小A被抽到的概率． （2）由，可得：． 所以甲校得分不低于120分的概率为， 得分不高于60分的概率为， 所以甲校得分不低于120分有人，得分不高于60分有人， 故乙校教学120分以上学生更多，得分不高于60分更少； 即乙校高分人数更多，低分人数更少. 【变式24-2】（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布． (1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列； (2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大． 参考数据：若，则． 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲台机器每天生产出的零件的平均利润更大 【分析】（1）需要根据独立事件概率公式计算不同故障台数的概率； （2）比较甲、乙两台机器生产零件的平均利润，要先根据正态分布的性质求出不同内径范围的概率，再计算平均利润. 【详解】（1）表示一天内发生故障的机器台数，的可能取值为，，. ：表示甲、乙两台机器都不发生故障，因为甲、乙两台机器工作状态相互独立，根据独立事件概率公式，可得. ：表示甲发生故障乙不发生故障或者甲不发生故障乙发生故障，可得. ：表示甲、乙两台机器都发生故障，根据独立事件概率公式，可得. 所以的分布列为： 0.72 0.26 0.02 （2）甲机器：已知甲生产出的零件内径，则，. ； ； . 每台机器每天生产1000件零件，则甲机器每天生产出的零件的平均利润为： （元）. 乙机器：已知乙生产出的零件内径，则，. ； ； . 则乙机器每天生产出的零件的平均利润为： （元）. 因为，所以甲机器每天生产出的零件的平均利润更大. 基础巩固通关测 1．（24-25高二下·河北承德·期末）已知随机变量服从分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，结合题目条件得到方程，求出答案. 【详解】且，解得. 故选：D 2．（24-25高二下·山东威海·期末）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布性质结合数学期望及方差性质计算判断各个选项. 【详解】因为随机变量，则，A选项错误；C选项错误； ，B选项正确； ，D选项错误； 故选：B. 3．（25-26高二上·广东江门·月考）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中恰有1人投中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件概率公式，计算即可得答案. 【详解】设甲、乙、丙投中分别记为事件， 由题意得，， 所以 . 故选：B 4．（25-26高二上·陕西西安·开学考试）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（   ） A．0.035 B．0.14 C．0.10 D．0 【答案】B 【分析】根据全概率公式列式求值. 【详解】抛掷两枚骰子，基本事件有个，其中和为偶数的基本事件有个，和为奇数的基本事件有个. 所以学生回答第一、第二个问题的概率均为. 第一个问题中，第一颗骰子的点数比第二颗大的概率为. 设该地区中学生吸烟人数的比例约为， 由题意：，解得. 结合选项，最接近的是（选项B） 故选：B 5．（24-25高二下·福建泉州·期末）若随机变量，随机变量，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性，结合已知求出，进而求出及的值. 【详解】由，，得， 由，，得，解得， 所以. 故选：D 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【分析】先根据分布列的性质与确定的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意可得：，解得， 则， 所以. 故选：C. 7．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【答案】B 【分析】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，事件 表示智驾出现故障，由贝叶斯公式得，，即可求解. 【详解】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的， 则 ， 事件 表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，， 所以甲乙丙要承担的责任比为. 故选：B. 8．（25-26高二上·全国·单元测试）根据以往经验，某工程施工期间的降水量（单位：mm）对工期的影响如表所示． 降水量 工期延误天数 0 2 6 10 若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数的方差为（    ） A．6.8 B．8.8 C．9.8 D．10.8 【答案】C 【分析】由离散型随机变量的期望与方差公式求解即可. 【详解】由题意知，，， ， ． 故； ， 另解：也可由， 所以． 故工期延误天数的方差为9.8． 故选：C. 9．（多选）（24-25高二下·内蒙古包头·期中）口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球．从口袋内无放回地依次抽取个球，记“第一次抽到红球”为事件，“第二次抽到黄球”为事件，则（   ） A． B． C．与为互斥事件 D．与不相互独立 【答案】ABD 【分析】设红球为，黄球为，蓝球为，列举出样本空间以及事件、、所包含的样本点，利用古典概型的概率公式可判断A选项；利用条件概率公式可判断B选项；利用互斥事件的定义可判断C选项；利用独立事件的定义可判断D选项. 【详解】根据题意，设红球为，黄球为，蓝球为， 从口袋内无放回地依次抽取个球， 若两次取球颜色依次为,记为事件, 则样本空间为，有个基本事件， 事件，事件， 对于A，，A正确； 对于B，，，则，B正确； 对于C，，事件、可以同时发生，不是互斥事件，C错误； 对于D，，，，， 所以，、不相互独立，D正确． 故选：ABD． 10．（多选）．（2025高三·全国·专题练习）（多选）甲、乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则下列结论可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先求的分布列，利用数学期望公式得即可判断AB，利用方差公式得进而判断CD. 【详解】随机变量可能的取值为2，3． ． ． 故的分布列为： 2 3 故， 因为，故，故A正确，B错误． 而， 令，因为， 故，此时， 必成立，故C错误，D正确． 故选：AD． 11．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则 . 【答案】/ 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质可知各概率，再根据概率的加法可得解. 【详解】由已知可得， 解得， 则， 故答案为：. 12.（2025高三·全国·专题练习）变量的分布列如下： 0 1 其中，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据概率和为1、、列方程组求解a、b、c的值，再根据方差的定义求解即可． 【详解】依题意，解得，，， 所以． 故答案为：． 能力提升进阶练 13．（25-26高二上·湖北孝感·期中）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛.约定先赢两局者获胜，比赛随即结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为. (1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率； (2)若通过抽签决定参与第一局的选手中有丙，求甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）甲获胜需分两种情况：第一局乙胜丙后甲连胜两局，或第一局丙胜乙后甲连胜两局，分别计算概率再相加. （2）分两种，第一局乙丙对战，由（1）结果给出；第一局甲丙对战，此种又分为三种情况，第一局丙胜甲，或者第一局甲胜丙第二局甲胜乙，或者第一局甲胜丙第二局乙胜甲，分别进行讨论求出概率再利用全概率公式计算总概率. 【详解】（1）情况一：第一局乙胜丙（概率），第二局乙甲对战甲胜（概率）， 第三局甲丙对战甲胜（概率），此时概率为； 情况二：第一局丙胜乙（概率），第二局丙甲对战甲胜（概率）， 第三局甲乙对战甲胜（概率），此时概率为； 所以甲获胜的概率是. （2）根据（1）可知，若第一局由乙丙对战，甲获胜的概率为； 若第一局由甲丙对战，则分三种情况： 情况一：第一局甲胜丙（概率），第二局甲乙对战甲胜（概率）， 此时概率为； 情况二：第一局甲胜丙（概率），第二局甲乙对战乙胜（概率）， 第三局乙丙对战丙胜（概率），第四局丙甲对战甲胜（概率）， 此时概率为； 情况三：第一局丙胜甲（概率），第二局丙乙对战乙胜（概率）， 第三局乙甲对战甲胜（概率），第四局甲丙对战甲胜（概率）， 此时概率为； 所以第一局由甲丙对战，甲获胜的概率是. 综上，若通过抽签决定参与第一局的选手中有丙，则第一局为乙丙对战或甲丙对战的概率均为， 故甲获胜的概率是. 14．（25-26高二上·湖北荆州·阶段练习）甲、乙、丙三名同学进行乒乓球比赛，经约定，进行如下4场比赛决定胜负关系： ① 乙、丙两名同学进行本场比赛，败者落入败者组； ② 甲与第①场比赛胜者比赛，败者落入败者组； ③ 败者组两人进行比赛，败者记为第三名； ④ 第②、③场比赛胜者进行比赛，胜者记为第一名，败者记为第二名. 设每场比赛双方获胜的概率均为. (1)求乙在败者组比赛中被淘汰的概率； (2)求甲最终获胜的概率； (3)从最终三人获得名次的数学期望的角度分析，该比赛规则是否对甲有利？ 【答案】(1) (2) (3)对甲有利 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解. （2）应用独立事件概率乘积公式及互斥事件和概率公式计算求解. （3）根据甲的最终获得名次的数学期望与乙或丙获得名次的数学期望比较判断即可. 【详解】（1）在全局比赛中，由于每场比赛双方获胜的概率均为， 由于比赛规则对于乙和丙是对称的，因此他们获得任一特定名次的概率是相等的， 记事件：甲在败者组比赛中被淘汰，事件：乙或丙在败者组比赛中被淘汰， 事件发生的概率，甲需要在②，③两场比赛中连续失败，则， 由事件与事件互为对立事件，且乙与丙获得任一特定名次的概率是相等的， 所以乙在败者组比赛中被淘汰的概率为. （2）甲最终获胜有如下两种情况：第②，④场比赛甲全胜，此时概率为； 第②场比赛甲失败，第③，④场比赛甲胜利，此时概率为， 所以甲最终获胜的概率为. （3）设甲获得的最终名次为， 由（2），（1）得，，则， 因此； 设乙或丙获得的最终名次为，而乙与丙获得任一特定名次的概率是相等的， 因此， 又，则甲的最终获得名次的数学期望比乙或丙更靠前，所以该比赛规则确实对甲有利. 15．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 表1 用频率估计概率，解答下列问题. 已知下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示. 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 表2 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保. (1)估计甲2026年参保第二个保险期的保费为X元，求X的数学期望； (2)求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保第三个保险期的保费少于2400元的概率. 【答案】(1)1944 (2) 【分析】(1)由题意知X的可能取值，分别计算对应的概率值，求出数学期望． (2)计算甲2026年参保的保费大于2000元的概率和甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的，求比值即可． 【详解】（1）X的可能取值为1900，2200，2400，2600，2800； ，， ， 即X的分布列为 X 1900 2200 2400 2800 P 数学期望为： 元 （2）甲2026年参保的保费大于2000元的概率为 甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的情况包括： 2026年参保的保费为2200元，且2026年的赔偿次数为0； 2026年参保的保费为2400元，且2026年的赔偿次数为 其概率， 故所求的概率为 16．（24-25高二下·全国·课后作业）若该批产品共有100个产品，合格率为，抽样方案选择的是，即在该批产品中随机抽取5件产品，若不合格品数为0，则该批产品通过检测．若用随机变量表示抽样中合格品的个数，请写出的分布列，并求出该批产品通过检测的概率． 【答案】分布列见解析，. 【分析】由题知，的可能取值为2，3，4，5，利用超几何分布求出分布列与通过检测的概率. 【详解】由题合格产品有件，不合格产品有3件， 的所有可能取值为2,3,4,5，， ， ，故的分布列为 2 3 4 5 故该批产品通过检测的概率. 17.（24-25高二下·山东·阶段练习）为了增强市民的交通意识，某社区举办了一次交通规则知识竞赛.经统计发现，参加本次知识竞赛的社区居民的竞赛成绩近似服从正态分布. (1)若有15.865%参赛社区居民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩. (2)参加了知识竞赛的社区居民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知能参加了知识竞赛的居民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记小王获得话费为元，求的数学期望和方差. 参考数据：若随机变量，则，，. 【答案】(1)83； (2)， 【分析】（1）根据正态分布的对称性求出，再根据期望方差，得到平均成绩；（2）利用二项分布的数学期望、方差公式与性质计算即得. 【详解】（1）因为， 又正态分布中，， 所以本次知识竞赛预期的平均成绩大约为86-3=83； （2）记小王答对题的数量为，则， 由题意得， 则， 所以， . 18.（2025高二·全国·专题练习）为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的成绩统计如下表. 分数段 人数 1 2 2 8 3 3 1 规定60分以下为不及格，60分及以上至70分以下为及格，70分及以上至80分以下为良好，80分及以上为优秀. (1)从这20名学生中随机抽取2名学生，2名学生的成绩恰好都是优秀的概率是多少？ (2)将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2名学生，用X表示这2名学生中成绩为优秀的人数，求X的分布列、期望与方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【分析】（1）结合组合数的应用，利用古典概型概率公式求解即可； （2）求出X的可能取值，利用二项分布概率公式求解概率，即可求出分布列、期望与方差. 【详解】（1）记2名学生的成绩恰好都是优秀为事件A，则. （2）抽到1名成绩为优秀的学生的概率为，X的可能取值为0，1，2. ，， . X的分布列如下. X 0 1 2 P 所以. 所以， 或. 19．（24-25高二下·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】(1)甲能够获得奖励，理由见详解 (2)乙所说为假 【分析】（1）由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可； （2）假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论． 【详解】（1）甲能够获得奖励，理由如下： 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而， 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励. （2）假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 20.（24-25高二下·山东聊城·期末）某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析； (2)点 (3)，. 【分析】（1），可能值为0，1，2，3，由二项分布概率公式求得各概率后可得分布列； （2）时，设的概率最大，通过与1的大小比较可得晨大值； （3）根据二项分布的期望公式和方差公式求解. 【详解】（1）由题意可知，每次向右移动的概率是，向上移动的概率是， 为3次移动中向右移动的次数，其可能值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）时，设的概率最大， 则，， ， 所以当时，，当时，， 所以， 即时概率最大，所以游戏结束时甲同学到达点的概率最大； （3）由题意， 因为，所以，， 所以，. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $