第1章 2.1 第2课时 圆的标准方程的综合应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学中圆的标准方程的综合应用这一核心知识点，前承圆的标准方程基本概念，通过待定系数法、几何法两种求法的系统讲解，结合圆的范围、对称性等简单几何性质，构建从基础到应用的完整学习支架。 资料以“问题情境—例题解析—反思感悟—跟踪训练”为主线，通过例2中几何法求圆心（垂直平分线与直线交点）培养学生几何直观与推理能力，例3结合向量数量积考查圆的范围体现数学语言表达，课中助力教师高效授课，课后通过课时对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　圆的标准方程的综合应用 学习目标　1.掌握利用待定系数法、几何法求圆的标准方程.2.掌握圆的一些简单的几何性质. 一、待定系数法求圆的标准方程 例1　已知圆P过点A(1，0)，B(4，0).若圆P还过点C(6，－2)，求圆P的标准方程. 解　设圆P的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则 解得 故圆P的标准方程为. 延伸探究　本例中“圆P还过点C(6，－2)”改为“圆心P的纵坐标为2”，求圆P的标准方程. 解　由圆的对称性，可知圆心P的横坐标为，故圆心P， 故圆P的半径r＝， 故圆P的标准方程为＋(y－2)2＝. 反思感悟　根据条件设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，再由题目给出的条件，列出关于a，b，r的方程组，求出a，b，r，代入标准方程即可. 二、几何法求圆的标准方程 例2　(课本例3)　求经过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线l：x+y－3＝0上的圆的标准方程. 解　方法一　设该圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2＝r2. 由圆经过A，B两点且圆心C在直线l上，可得方程组 ①－②，得 (1－a)2+(3－b)2＝(4－a)2+(2－b)2， ④ 化简、整理，得3a－b－5＝0. ⑤ 联立③⑤解得 代入①，得r2＝5. 故所求圆的标准方程为(x－2)2+(y－1)2＝5(如图(1)). 方法二　如图(2)，连接AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点.线段AB的垂直平分线的方程为3x－y－5＝0. 联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组 解得即圆心C的坐标为(2，1). 又该圆经过点A，则r2＝(1－2)2+(3－1)2＝5， 故所求圆的方程为(x－2)2+(y－1)2＝5. 例2　在①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x－y＝0上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求出圆的标准方程；若问题中的圆不存在，请说明理由. 问题：是否存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？ 解　因为点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上， 所以圆心在直线AB的垂直平分线上， 又直线AB的方程为y＝－1， 所以直线AB的垂直平分线所在直线的方程为x＝＝－， 则可设圆心坐标为，圆的半径为r， 若选①，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上. 由 解得 即直线l1和l2的交点为， 则圆Q过点， 所以r2＝＋(b＋1)2， 解得b＝－1，则r2＝， 即存在满足题意的圆Q，且圆Q的标准方程为＋(y＋1)2＝. 若选②，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上. 由圆心在直线2x－y＝0上， 可得2×－b＝0，则b＝－1， 所以r2＝＋(－1＋1)2＝， 即存在满足题意的圆Q，且圆Q的标准方程为＋(y＋1)2＝. 反思感悟　求圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2时，可以根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径： (1)圆心在弦的垂直平分线上； (2)过圆心的直线平分圆； (3)圆与x轴相切时，r＝|b|，圆与y轴相切时， r＝|a|. 跟踪训练1　过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　) A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 答案　C 解析　方法一　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r>0， 则有解得 即圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 方法二　因为kAB＝＝－1，线段AB的中点坐标为(0，0). 所以线段AB的垂直平分线的方程为y＝x. 由解得 所以圆心坐标为(1，1)，半径为2， 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 三、圆的简单几何性质 问题1　对于圆x2＋y2＝2，该圆上任意一点P(x，y)的x与y的取值范围是怎样的？ 提示　|x|≤，|y|≤. 问题2　对于圆x2＋y2＝2上的任意一点P(x，y)，关于原点的对称点(－x，－y)，关于x轴的对称点(x，－y)，关于y轴的对称点(－x，y)是否在该圆上？ 提示　在圆上. 知识梳理　 圆x2＋y2＝r2的简单几何性质 (1)范围：|x|≤r，|y|≤r. (2)对称性：该圆既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形. 例3　(1)若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b等于(　　) A.3 B.2 C.5 D.1 答案　A 解析　由题意可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3. (2)已知圆C：x2＋(y－1)2＝2，圆上任意一点P(x，y)，点F(2，0)，O为坐标原点，求·的取值范围. 解　·＝(x，y)·(2，0)＝2x， 由圆C：x2＋(y－1)2＝2的几何性质知－≤x≤，∴2x∈[－2，2]. 则·的取值范围是[－2，2]. 反思感悟　(1)对于圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的范围是|x－a|≤r，|y－b|≤r. (2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的对称轴经过圆心(a，b). 跟踪训练2　若圆(x－1)2＋(y－1)2＝3关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是(　　) A.2 B.－2 C.1 D.－1 答案　B 解析　∵圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，∴直线y＝kx＋3过圆心(1，1)， 即1＝k＋3，∴k＝－2. 1.知识清单： (1)圆的标准方程. (2)圆的简单几何性质. 2.方法归纳：几何法、待定系数法. 3.常见误区：不能正确应用圆的几何性质而致误. 1.若圆(x＋k)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝x＋2对称，则k等于(　　) A.2 B.－2 C.1 D.－1 答案　C 解析　由题意知直线经过圆的圆心，把圆心(－k，1)代入直线y＝x＋2，得1＝－k＋2，解得k＝1. 2.已知圆C过点(2，1)且与x轴相切于点A(1，0)，则圆C的半径为(　　) A.2 B.1 C.4 D. 答案　B 解析　设圆心C(a，b)，半径为r，根据题意可得|b|＝r，所以(x－a)2＋(y－b)2＝b2，所以解得所以r＝1. 3.过点A(0，0)，B(2，2)且圆心在直线y＝2x－4上的圆C的标准方程为(　　) A.(x－2)2＋y2＝4 B.(x＋2)2＋y2＝4 C.(x－4)2＋(y－4)2＝8 D.(x＋4)2＋(y－4)2＝8 答案　A 解析　设圆心为C(a，2a－4)，由|AC|＝|BC|可得 ， 解得a＝2，所以圆心C(2，0)，圆的半径r＝|AC|＝2，因此，所求圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4. 4.过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)的圆的标准方程为　　　　　　　　　　. 答案　(x－2)2＋(y－1)2＝25 解析　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r>0， 所以 解得 所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.圆心在y轴上，半径长为，且过点(1，－2)的圆的标准方程为(　　) A.x2＋(y＋1)2＝2 B.x2＋(y－3)2＝2 C.x2＋(y＋1)2＝2或x2＋(y＋3)2＝2 D.x2＋(y－1)2＝2或x2＋(y－3)2＝2 答案　C 解析　设圆心为(0，a)，则圆的标准方程为x2＋(y－a)2＝2，将点(1，－2)代入圆的标准方程得12＋(－2－a)2＝2，解得a＝－1或a＝－3，所以圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝2或x2＋(y＋3)2＝2. 2.方程(x－1)＝0所表示的曲线是(　　) A.一个圆 B.两个点 C.一个点和一个圆 D.一条直线和一个圆 答案　D 解析　(x－1)＝0可转化为x－1＝0或x2＋y2＝3， 因此表示一条直线和一个圆. 3.若直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长，则a等于(　　) A.9 B.－9 C.1 D.－1 答案　B 解析　因为直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长，所以直线2x－5y＋a＝0经过该圆的圆心(2，－1)，即2×2－5×(－1)＋a＝0，解得a＝－9. 4.已知圆C过点(0，1)，(－2，3)且圆心在x轴负半轴上，则圆C的标准方程为(　　) A.(x＋3)2＋y2＝10 B.(x－3)2＋y2＝10 C.(x＋4)2＋y2＝10 D.(x－4)2＋y2＝10 答案　A 解析　设圆C的圆心C(m，0)，m<0，半径为r， 则 解得 所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋y2＝10. 5.已知三点A(2，0)，B(1，)，C(3，)，则△ABC的外接圆的圆心到原点O的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵△ABC外接圆的圆心在直线BC的垂直平分线上，即直线x＝2上， 可设圆心P(2，p)， 由|PA|＝|PB|得|p|＝， 解得p＝， ∴圆心坐标为P， ∴圆心到原点的距离|OP|＝. 6.(多选)圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0对称的点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是(　　) A.x2＋y2＝5 B.(x－1)2＋(y－3)2＝5 C.x2＋(y－2)2＝5 D.(x－1)2＋(y＋1)2＝5 答案　AD 解析　由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为(a，－a)，则(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0或a＝1，所以所求的圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5. 7.(5分)已知直线l平分圆x2＋(y－3)2＝4，且与直线x＋y＝0垂直，则直线l的方程是　　　　. 答案　x－y＋3＝0 解析　因为直线l平分圆x2＋(y－3)2＝4，且与直线x＋y＝0垂直，所以直线l过圆心(0，3)，斜率为1，即直线l的方程是x－y＋3＝0. 8.(5分)已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为　　　　. 答案　－4 解析　∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点， ∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5. ∵y∈[－1，1]， ∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4，即x2－4y的最小值为－4. 9.(10分)已知A(0，1)，B(2，1)，C(－1，2)，这三点能否确定一个圆？若能，判断点D(3，4)与该圆的位置关系. 解　由于kAB≠kAC，所以三点不共线，则A，B，C三点可以确定一个圆. 设经过A，B，C三点的圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则 解得 所以经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5，把点D(3，4)代入圆的标准方程，得左边＝(3－1)2＋(4－3)2＝5＝右边， 所以点D在经过A，B，C三点的圆上. 10.(10分)已知圆C经过点A(－1，0)和B(3，4)，且圆心C在直线x＋3y－15＝0上. (1)求圆C的标准方程；(5分) (2)设点Q(－1，m)(m>0)在圆C上，求△QAB的面积.(5分) 解　(1)依题意，所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点. ∵AB的中点为(1，2)，直线AB的斜率为1， ∴AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)， 即y＝－x＋3. 由 得即圆心C(－3，6). ∴半径r＝＝2. 故所求圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40. (2)∵点Q(－1，m)(m>0)在圆C上， ∴m＝12或m＝0(舍去)，∴Q(－1，12)， 则|AQ|＝12，直线AQ的方程为x＝－1， 点B到直线AQ的距离为4， ∴△QAB的面积S＝×|AQ|×4＝×12×4＝24. 11.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤2，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A.4 B.5 C.8 D.9 答案　D 解析　根据题意，得A＝{(x，y)|x2＋y2≤2，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，故A中共有9个元素. 12.(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　) A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3，0) C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 答案　ABD 解析　圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确； 令(3－k)2＋(0－k)2＝4， 化简得2k2－6k＋5＝0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程2k2－6k＋5＝0无实数根， 故点(3，0)不在圆Ck上，B正确； 由(2－k)2＋(2－k)2＝4， 化简得k2－4k＋2＝0， ∵Δ＝16－8＝8>0， ∴方程k2－4k＋2＝0有两个不等实根， ∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误； 由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确. 13.(5分)圆x2＋y2＝4上的点到点A(3，4)的距离的最大值和最小值分别为　　　　　. 答案　7，3 解析　∵32＋42＝25>4，∴点A(3，4)在圆外，已知圆的半径r＝2，圆心为坐标原点O，|OA|＝＝5，故圆上的点到点A的最大距离为|OA|＋r＝7，最小距离为|OA|－r＝3. 14.(5分)过点P(2，－3)作圆x2＋y2＝20的弦AB，使点P平分AB，则弦AB所在的直线方程是　　　　　　　　. 答案　2x－3y－13＝0 解析　设圆x2＋y2＝20的圆心为O，则O(0，0). 由P是AB的中点，知AB⊥OP. 因为22＋(－3)2＝13<20， 所以点P在圆O内，且kOP＝＝－， 所以弦AB所在直线的斜率kAB＝－， 则弦AB所在直线的方程是y＋3＝(x－2)， 即2x－3y－13＝0. 15.(多选)对于圆x2＋y2＝1上任意一点P(x，y)，不等式x＋y＋m≥0恒成立，则m的值可以为(　　) A.－ B.0 C. D.2 答案　CD 解析　设x＝cos α，y＝sin α， 则x＋y＋m＝cos α＋sin α＋m≥0恒成立， －m≤cos α＋sin α＝sin， ∵sin∈[－，]，∴－m≤－， 则m≥. 16.(12分)如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度AD为6 m，行车道总宽度BC为2 m，侧墙高EA，FD为2 m，总高MN为5 m.以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1 m为单位长度建立平面直角坐标系. (1)求圆弧所在的圆的标准方程；(6分) (2)为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部(设为平顶)在竖直方向上的高度之差至少为0.5 m，问车辆通过隧道的限制高度是多少？(6分) 解　(1)由题意，知E(－3，0)，F(3，0)，M(0，3). ∵所求圆的圆心在y轴上， ∴设圆的标准方程为 (x－0)2＋(y－b)2＝r2(b∈R，r>0)， ∵F(3，0)，M(0，3)都在圆上， ∴解得 ∴圆的标准方程是x2＋(y＋3)2＝36. (2)设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P(图略)， 则|CP|＝h＋0.5. 将点P的横坐标x＝代入圆的标准方程， 得()2＋(y＋3)2＝36， 得y＝2或y＝－8(舍去). ∴h＝|CP|－0.5＝2＋2－0.5＝3.5(m). 故车辆通过隧道的限制高度为3.5 m. 学科网（北京）股份有限公司 $