4.2 超几何分布-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率中等于的是(　　) A．P(0＜X≤2) B．P(X≤1) C．P(X＝1) D．P(X＝2) 解析：选B．由题意知，随机变量X服从N＝26，M＝4，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝.故P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝.故选B． 2．已知盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的．现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为(　　) A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的 解析：选C．对于A，事件的概率为＝；对于B，事件的概率为＝；对于C，事件的概率为＝；对于D，事件的概率为＝.故选C． 3．某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P＝，则该社团的人数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．10 解析：选C．设该社团共有n人，所以P(X＝0)＝＝，因为P(X＝0)＝1－P(X>0)＝，所以＝，即＝0，又因为n∈N＋，解得n＝7.故选C． 4.(2024·陕西西安检测)《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选A．由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为＝；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为＝，故这3个数中至多有1个阴数的概率为P＝＋＝.故选A． 5．(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　) A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X B．有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X D．某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生的人数X 解析：选CD． A，B是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故A，B不符合题意；C，D符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布．故选CD． 6．(多选)(2024·陕西延安模拟)袋中装有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6和4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　) A．取出的最大号码X服从超几何分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 解析：选BD．对于A，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A错误；对于B，取出的黑球个数Y符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故B正确；对于C，取出2个白球的概率为＝，故C错误；对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，所以总得分最大的概率为＝，故D正确．故选BD． 7．(2024·甘肃武威检测)某无人机小组有3名男生，2名女生，从中任选2名同学参加科技节无人机表演，若X表示选出女生的人数，则P(X＝1)＝________． 解析：由题意，从3名男生，2名女生中任选2名同学参加科技节无人机表演，则选出女生的人数为1的概率P(X＝1)＝＝. 答案： 8．(2024·陕西宝鸡期末)某企业生产的8个产品中有5个一等品、3个二等品，现从这些产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为________． 解析：根据题意可知，任意抽取4个共有C种抽法，则其中恰好有1个二等品的抽法共有CC种，因此任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为P＝＝. 答案： 9．已知50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________． 解析：用X表示中奖票数，由题意得，P(X≥1)＝＋>0.5，可得＋>，所以＋>，又n∈N＋，解得n≥15. 答案：15 10．(2024·河南济源期末)一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球． (1)若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率； (2)若不放回的取3次球，求取出白球次数X的分布列及EX. 解：(1)问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，所以所求概率P＝. (2)不放回的依次取出3个球，则取到白球次数X的可能取值为1，2，3，且X服从N＝6，M＝4，n＝3的超几何分布．则P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝.则X的分布列为 X 1 2 3 P 方法一：EX＝1×＋2×＋3×＝2. 方法二：EX＝＝＝2. 11．(2024·江西景德镇期中)孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数．素数对称为孪生素数对．从8个数对，，，，，，，中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为X，则EX＝(　　) A． B． C． D．3 解析：选C．由题知8个数对中有，，，共4对孪生素数对，所以X的可能取值为0，1，2，3，且X服从N＝8，M＝4，n＝3的超几何分布． 方法一：故P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 方法二：EX＝＝＝.故选C． 12．(多选)一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是(　　) A．X服从超几何分布 B．P(X＝0)＝ C．EX>EY D．P＝ 解析：选ABD．由题意知，随机变量X服从超几何分布，故A选项正确；X的取值可能为0，1，2，3，4，所以P(X＝0)＝＝，故B选项正确；又P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.Y的取值可能为0，1，2，3，4，由题意得X＋Y＝4，所以Y＝4－X，所以P＝P(X＝4)＝，P＝P(X＝3)＝，P(Y＝2)＝P(X＝2)＝，P＝P(X＝1)＝，P＝P(X＝0)＝，所以EY＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，所以EX<EY，故C选项错误；若Z＝5，则P＝P(X＝1)＝P＝，故D选项正确．故选ABD． 13．把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X不少于2的概率为________． 解析：如图所示，设AB为半圆弧的直径，C，D，E为半圆弧另外的三个四等分点，从A，B，C，D， E这5个点任取3个点构成三角形，一共能组成三角形的个数为C＝10.其中直角三角形有：△ABC，△ABD，△ABE，共3个，钝角三角形的个数为10－3＝7，由题意可知X∈，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，因此，所求概率为P＝＝. 答案： 14．近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为p(0<p<1)，且猜中每道谜语与否互不影响． (1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列； (2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求p的取值范围． 解：(1)设小张猜中谜语的道数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的可能取值为2，3，4.所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，故小张猜中谜语道数的分布列为 X 2 3 4 P 设小王猜中谜语的道数为Y，可知随机变量Y服从二项分布Y～B，Y的取值分别为0，1，2，3，4，所以P＝(1－p)4，P＝C(1－p)3p＝4p(1－p)3，P(Y＝2)＝C(1－p)2p2＝6p2(1－p)2，P＝C(1－p)p3＝4p3(1－p)，P＝p4.故小王猜中谜语道数的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P (1－p)4 4p· (1－p)3 6p2· (1－p)2 4p3· (1－p) p4 (2)由(1)可知EX＝2×＋3×＋4×＝3，EY＝4p，若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则3>4p，可得0<p<.所以p的取值范围为. 15．已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1，2)个球放入甲盒中．①放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1，2)；②放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为Pi(i＝1，2)，则(　　) A．P1＞P2，Eξ1＜Eξ2 B．P1＜P2，Eξ1＞Eξ2 C．P1＞P2，Eξ1＞Eξ2 D．P1＜P2，Eξ1＜Eξ2 解析：选A．随机变量ξ1，ξ2的分布列如下表： ξ1 1 2 P ξ2 1 2 3 P 所以Eξ1＝＋＝，Eξ2＝＋＋＝，所以Eξ1＜Eξ2.因为P1＝＋×＝，P2＝＋×＋×＝，所以P1－P2＝＞0，故P1＞P2.故选A． 16．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀． 类别 第一周 第二周 第三周 第四周 甲组 20 25 10 5 乙组 8 16 20 16 (1)在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率； (2)每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率．设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为ξ1，ξ2，求ξ1，ξ2的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？ 解：(1)甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为P＝＝＝. (2)ξ1的分布列为： ξ1 5 10 15 20 P Eξ1＝5×＋10×＋15×＋20×＝10.ξ2的分布列为： ξ2 4 8 12 16 P Eξ2＝4×＋8×＋12×＋16×＝.因为Eξ1＜Eξ2，所以公司应选培训方式一． 学科网（北京）股份有限公司 $