第6章 3.1 离散型随机变量的均值（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦离散型随机变量的均值这一核心知识点，从糖果混合定价、书店订购图书等实例出发，通过问题驱动引出均值定义，系统梳理均值性质（如Y=aX+b的期望公式）及两点分布的均值，最终落脚于实际决策应用，构建从具体到抽象再到应用的完整学习支架。 该资料以真实情境（如知识竞赛得分、水果批发商利润）为载体，引导学生用数学眼光观察现实问题中的数量关系，通过性质推导培养逻辑推理的数学思维，以均值决策体现数学语言的应用价值。课中实例助于概念直观理解，课后课时对点练可帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

3.1　离散型随机变量的均值 学习目标　1.通过实例理解离散型随机变量的均值的含义，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握两点分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题. 导语 某书店订购一种新版图书，根据以往经验预测，这种新书的销售量为40本，100本，120本的概率分别为0.2，0.7，0.1，这种书每本的进价为6元，销售价为8元，如果售不出去，以后处理剩余书每本为5元.为获得最大利润，书店应订购多少本新书？ 一、离散型随机变量的均值 问题1　某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg 的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，每一种糖果的单颗质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记ξ为这颗糖果的单价(元/kg)，你能写出ξ的分布列吗？ 提示　＝18×+24×+36×＝23(元/kg). ξ的分布列为 ξ 18 24 36 P 知识梳理 1.设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称EX＝x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望). 均值EX刻画的是X取值的“中心位置”. 2.若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝0×(1－p)+1×p＝p. 注意点： (1)分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平. (2)随机变量的分布完全确定了它的均值，两个不同的分布可以有相同的均值. 例1　(课本例3)　一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则取出的红球个数的均值是多少？ 解　设X表示取出红球的个数， 则X的取值为0，1，2. P(X=0)==； P(X=1)===； P(X=2)==. 故X的分布列如表： X 0 1 2 P 根据均值定义，可知 EX=0×+1×+2×=. 例1　袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值. 解　取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5，6，7，8， P(X＝5)＝，P(X＝6)＝， P(X＝7)＝，P(X＝8)＝， 故X的分布列为 X 5 6 7 8 P ∴EX＝5×+6×+7×+8×. 反思感悟　求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值. (2)求出X取每个值的概率P(X＝k). (3)写出X的分布列. (4)利用均值的定义EX＝x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn，求EX. 跟踪训练1　一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立. (1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有一个需要调整的概率； (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望. 解　(1)记事件A1，A2分别为“部件1，2需要调整”，则A1∪A2＝“部件1，2中至少有1个需要调整”，P(A1∪A2)＝1－P()＝1－(1－0.1)×(1－0.2)＝0.28. (2)由题意知X的可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝0.9×0.8×0.7＝0.504， P(X＝1)＝0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3＝0.398， P(X＝2)＝0.1×0.2×0.7+0.1×0.8×0.3+0.9×0.2×0.3＝0.092， P(X＝3)＝0.1×0.2×0.3＝0.006， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.504 0.398 0.092 0.006 EX＝0×0.504+1×0.398+2×0.092+3×0.006＝0.6. 二、均值的性质 问题2　若X，Y都是离散型随机变量，且Y＝aX+b(其中a，b是常数)，那么EY与EX有怎样的关系？ 提示　X，Y的分布列为 X x1 x2 … xi … xn Y ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b P p1 p2 … pi … pn 于是EY＝(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn ＝a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)＝aEX+b. 知识梳理　离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX+b，其中a，b均是常数，则Y也是随机变量，且EY＝E(aX+b)＝aEX+b. 例2　已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m (1)求EX； (2)若Y＝－2X，求EY. 解　(1)由离散型随机变量分布列的性质，得 +++m+＝1，解得m＝， ∴EX＝(－2)×+(－1)×+0×+1×+2×＝－. (2)由Y＝－2X，得EY＝－2EX， 即EY＝－2×. 延伸探究1　本例条件不变，若Y＝2X－3，求EY. 解　由公式E(aX+b)＝aEX+b及EX＝－得， EY＝E(2X－3)＝2EX－3＝2×－3＝－. 延伸探究2　本例条件不变，若Y＝aX+3，且EY＝－，求a的值. 解　EY＝E(aX+3)＝aEX+3＝－a+3＝－，所以a＝15. 反思感悟　求线性关系的随机变量Y＝aX+b的均值方法 (1)定义法：先列出Y的分布列，再求均值. (2)性质法：直接套用公式EY＝E(aX+b)＝aEX+b求解即可. 三、均值的应用 例3　(课本例4)　某地区气象部门就近期可能暴发洪水的情况作出预报：暴发小洪水的概率为0.25，暴发大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，为保护设备，有以下3种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3 800元. 方案2：建一保护围墙，建设费为2 000元，但围墙只能防小洪水. 方案3：不采取措施，希望不发生洪水.此时遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元. 你会选择哪一种方案呢？ 解　用X1，X2和X3分别表示以上3种方案的损失. 采用方案1，无论有无洪水，都损失3 800元，即X1=3 800，故EX1=3 800(元). 采用方案2，遇到大洪水时，损失2 000+60 000=62 000(元)；没有大洪水时，损失2 000元. 因此，EX2=62 000×0.01+2 000×(1-0.01) =2 600(元). 采用方案3，遇到大洪水时，损失60 000元；遇到小洪水时，损失10 000元；无洪水时，损失为0元.因此， EX3=60 000×0.01+10 000×0.25+0×(1-0.01-0.25)=3 100(元). 由此可见，平均而言方案2的损失最小，可供选择. 例3　某学校组织知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 解　(1)由题可知，X的所有可能取值为0，20，100. P(X＝0)＝1－0.8＝0.2； P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32； P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48. 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)由(1)知，EX＝0×0.2+20×0.32+100×0.48＝54.4. 若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100. P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4； P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12； P(X＝100)＝0.6×0.8＝0.48. 所以EY＝0×0.4+80×0.12+100×0.48＝57.6. 因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题. 反思感悟　解答概率模型的三个步骤 (1)建模：即把实际问题概率模型化. (2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值. (3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断. 跟踪训练2　某水果批发商经销某种水果(以下简称A水果)，购入价为300元/袋，并以360元/袋的价格售出，若前8小时内所购进的A水果没有售完，则批发商将没售完的A水果以220元/袋的价格低价处理完毕(根据经验，2小时内完全能够把A水果低价处理完，且当天不再购进).该水果批发商根据往年的销量，统计了100天A水果在每天的前8小时内的销售量，制成频数分布条形图如图. 现以记录的100天的A水果在每天的前8小时内的销售量的频率作为A水果在一天的前8小时内的销售量的概率，记X表示A水果一天的前8小时内的销售量，n表示水果批发商一天批发A水果的袋数. (1)求X的分布列； (2)以日利润的均值为决策依据，在n＝15和n＝16中选其一，应选用哪个？ 解　(1)由题意知，根据条形图，可得A水果在每天的前8小时内的销售量分别为14，15，16，17的频率分别是0.2，0.3，0.4，0.1，所以X的分布列为 X 14 15 16 17 P 0.2 0.3 0.4 0.1 (2)当n＝15时，设Y为水果批发商的日利润， 则Y的可能取值为760，900， 可得P(Y＝760)＝0.2，P(Y＝900)＝0.8， 所以EY＝760×0.2+900×0.8＝872. 当n＝16时，设Z为水果批发商的日利润， 则Z的可能取值为680，820，960， 可得P(Z＝680)＝0.2，P(Z＝820)＝0.3，P(Z＝960)＝0.5， 所以EZ＝680×0.2+820×0.3+960×0.5＝862. 因为EY>EZ，所以当n＝15时的日利润均值大于当n＝16时的日利润均值，故选n＝15. 1.知识清单： (1)离散型随机变量的均值. (2)均值的性质. (3)均值的应用. 2.方法归纳：函数与方程、转化化归. 3.常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析. 1.已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的均值EX等于(　　) A. B.2 C. D.3 答案　A 解析　EX＝1×+2×+3×. 2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　) A.0 B. C.1 D.－1 答案　A 解析　因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，所以由均值的定义得EX＝1×+(－1)×＝0. 3.已知Y＝4X+7，EY＝15，则EX等于(　　) A.67 B.11 C.2 D.1 答案　C 解析　EY＝4EX+7＝15，则EX＝2. 4.利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是　　　　. A1 A2 A3 A4 方案盈利 概率 50 70 －20 98 0.25 65 26 52 82 0.30 26 16 78 －10 0.45 答案　A3 解析　A1的均值为50×0.25+65×0.30+26×0.45＝43.7； A2的均值为70×0.25+26×0.30+16×0.45＝32.5； A3的均值为－20×0.25+52×0.30+78×0.45＝45.7； A4的均值为98×0.25+82×0.30－10×0.45＝44.6， 因为A3的均值最大，所以应选择的方案是A3. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.已知某一随机变量X的分布列如表所示，若EX＝6.1，则a的值为(　　) X a 7 9 P b 0.2 0.3 A.4 B.5 C.6 D.7 答案　A 解析　根据分布列的性质可知b+0.2+0.3＝1， 所以b＝0.5.又EX＝a·0.5+7×0.2+9×0.3＝6.1，所以a＝4. 2.在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝若随机变量X的分布列如表所示，则EX等于(　　) X 0 1 P 0.3 p A.0.21 B.0.3 C.0.5 D.0.7 答案　D 解析　易知0.3+p＝1，所以p＝0.7， 所以EX＝0×0.3+1×0.7＝0.7. 3.(多选)已知随机变量X的分布列如表所示，且EX＝6.3，则(　　) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.a＝7 B.b＝0.4 C.E(aX)＝44.1 D.E(bX+a)＝2.62 答案　ABC 解析　由题意和分布列的性质得，0.5+0.1+b＝1， ∴b＝0.4， 又EX＝4×0.5+0.1a+9b＝6.3， 解得a＝7. ∴E(aX)＝aEX＝7×6.3＝44.1， E(bX+a)＝bEX+a＝0.4×6.3+7＝9.52. 4.袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1，2，3).现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则EX等于(　　) A.2 B. C. D. 答案　D 解析　由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， P(X＝3)＝. ∴EX＝0×+1×+2×+3×. 5.在一次射击训练中，每位士兵最多可射击3次，一旦命中目标，则停止射击，否则一直射击到3次为止.设士兵甲一次射击命中目标的概率为p(0<p<1)，射击次数为X，若X的数学期望EX>，则p的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　依题意X的可能取值为1，2，3， P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2， 所以EX＝p+2(1－p)p+3(1－p)2＝p2－3p+3>， 解得p<或p>，又0<p<1，所以0<p<. 6.(多选)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表： 品牌 甲 乙 首次出现故障的时间x(年) 0<x≤1 1<x≤2 x>2 0<x≤2 x>2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，则(　　) A.从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为 B.若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，则EX1＝2.86 C.若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，则EX2＝2.99 D.该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑，应生产甲品牌的轿车 答案　BD 解析　设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A) ＝，故A错误； 依题意得，X1的分布列为 X1 1 2 3 P EX1＝1×+2×+3×＝2.86，故B正确； X2的分布列为 X2 1.8 2.9 P EX2＝1.8×+2.9×＝2.79，故C错误； 因为EX1>EX2，所以应生产甲品牌轿车，故D正确. 7.(5分)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.5 0.2 0.2 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元.若Y表示经销一件该商品的利润，则EY＝　　　　元. 答案　130 解析　由题意可知Y可以取100，150，200，分布列为 Y 100 150 200 P 0.5 0.4 0.1 ∴EY＝100×0.5+150×0.4+200×0.1＝130(元). 8.(5分)已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且Y＝aX+3，若EY＝－2，则a的值为　　　　. 答案　－3 解析　EX＝1×+2×+3×. ∵Y＝aX+3， ∴EY＝aEX+3＝a+3＝－2. 解得a＝－3. 9.(10分)盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池.现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止.求： (1)抽取次数X的分布列；(6分) (2)随机变量X的均值.(4分) 解　(1)X的可能取值为1，2，3， 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×， P(X＝3)＝××1＝. 所以抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 P (2)由均值的定义得 EX＝1×+2×+3×. 10.(11分)为了丰富学生的课余生活，某中学决定举办竞技比赛.比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，两个比赛项目的顺序由选手自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第一个项目过关则进行第二个项目比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束.“无人机表演”比赛合格得4分，否则得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则得0分.已知甲同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为0.8，参加“机器人操作”比赛合格的概率为0.7. (1)若甲同学先进行“无人机表演”比赛，记X为甲同学的累计得分，求X的分布列；(4分) (2)为使累计得分的均值最大，甲同学应选择先进行哪项比赛？并说明理由.(7分) 解　(1)由题意得，X的可能取值为0，4，10， 所以P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56， 所以X的分布列为 X 0 4 10 P 0.2 0.24 0.56 (2)由(1)可得EX＝0×0.2+4×0.24+10×0.56＝6.56. 若甲同学先进行“机器人操作”比赛，记Y为甲同学的累计得分，Y的可能取值为0，6，10， 所以P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，P(Y＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14，P(Y＝10)＝0.7×0.8＝0.56， 所以EY＝0×0.3+6×0.14+10×0.56＝6.44， 因为EX>EY，所以甲同学应该选择先进行“无人机表演”比赛. 11.已知实数a，b，c满足2b＝a+c，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a b c 当a增大时，下列说法正确的是(　　) A.EX增大 B.EX减小 C.EX先增大后减小 D.EX先减小后增大 答案　B 解析　由分布列的性质可得a+b+c＝1，又2b＝a+c， 所以a+c＝，b＝， 所以0≤a≤， 所以EX＝0·a+1×+2c＝+2×＝－2a+， 所以当a增大时，EX减小. 12.(5分)小青准备用9万元投资A，B两种股票，已知两种股票收益相互独立，且这两种股票的买入都是每股1万元，每股收益的分布列如下表所示，若投资A种股票a万元，则小青两种股票的收益期望和为　　　　 万元. 股票A每股收益的分布列 收益X/万元 －1 0 3 概率 0.3 0.2 0.5 股票B每股收益的分布列 收益Y/万元 －3 4 概率 0.4 0.6 答案　10.8 解析　由题中两种股票每股收益的分布列可知， EX＝－1×0.3+0×0.2+3×0.5＝1.2， EY＝－3×0.4+4×0.6＝1.2， 所以两种股票的收益期望和为 aEX+(9－a)EY＝1.2a+(9－a)×1.2 ＝1.2×9＝10.8. 13.(5分)若X是一个随机变量，则E(X－EX)的值为　　　　. 答案　0 解析　∵E(aX+b)＝aEX+b，而EX为常数， ∴E(X－EX)＝EX－EX＝0. 14.(5分)已知随机变量ξ的分布列如表所示，则Eξ的最大值是　　　　. ξ －1 0 a P +a －b 答案　－ 解析　根据题意知 则 故a＝b，且a，b∈∪， 又Eξ＝－1×+0×+a ＝－a2+a－ ＝－， 所以当a＝时，Eξ取得最大值，最大值为－. 15.为迎接国庆假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每位员工从中一次摸出2个小球.若摸到一个红球一个白球，可获得价值a百元代金券；若摸到两个红球，可获得价值b百元代金券；若摸到两个白球，可获得价值ab百元代金券(a，b均为正整数).已知每位员工平均可得3.2百元代金券，则运气最好者至多获得　　　　百元代金券(　　)  A.5.4 B.9 C.8 D.18 答案　C 解析　由题意得，摸到一个红球一个白球的概率为， 摸到两个红球的概率为，摸到两个白球的概率为， 所以a+b+ab＝3.2，即3a+1.5b+0.5ab＝16， 又a，b均为正整数，则a的可能取值为1，2，3，4，5， 所以当a＝1时，有1.5b+0.5b＝13，即b＝6.5(舍去)； 当a＝2时，有6+1.5b+b＝16，即b＝4， 此时运气最好者至多获得2×4＝8(百元)代金券； 当a＝3时，有9+1.5b+1.5b＝16，即b＝(舍去)； 当a＝4时，有12+1.5b+2b＝16，即b＝(舍去)； 当a＝5时，有15+1.5b+2.5b＝16，即b＝0.25(舍去). 综上，运气最好者至多获得8百元代金券. 16.(12分)在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响.现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为.比赛没有平局. (1)求甲在第3局中获胜的概率；(4分) (2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期望拿走更多的奖金.(8分) 解　(1)站在甲的角度，甲在第3局中获胜包含4种情况：胜胜胜，胜负胜，负胜胜，负负胜， 所以甲在第3局中获胜的概率P＝×+××+××+××. (2)方案一：停止比赛，甲拿到奖金的期望E1＝300×＝200(万元). 方案二：设甲在前3局中已经胜了2局的情况下第4局获胜为事件A， 前三局的情况有： 胜胜负，概率P1＝××； 胜负胜，概率P2＝××； 负胜胜，概率P3＝××， 再继续比赛，第4局甲获胜的概率 P(A)＝×+×+×++， 第4局甲失败的概率P()＝1－P(A)＝， 所以甲拿到奖金的期望E2＝300××+300××(万元). 因为E2<E1，所以选择停止比赛，拿到奖金的期望更高. 学科网（北京）股份有限公司 $