3.2 离散型随机变量的方差-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．若离散型随机变量X的标准差＝8，则随机变量Y＝2X－1的标准差为(　　) A．8 B．15 C．16 D．32 解析：选C．＝＝＝2＝2×8＝16.故选C． 2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3，6，9，则DX＝(　　) A．6 B．9 C．3 D．4 解析：选A．EX＝3×＋6×＋9×＝6.DX＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6.故选A． 3．若抛掷一枚质地均匀的硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为(　　) A．EX＝0，DX＝1 B．EX＝，DX＝ C．EX＝0，DX＝ D．EX＝，DX＝1 解析：选A．由题意知，随机变量X的分布列如表： X －1 1 P 所以EX＝－1×＋1×＝0，DX＝×(－1－0)2＋×(1－0)2＝1.故选A． 4．已知随机变量X的分布列如下表，则DX＝(　　) X －2 1 2 P a A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选A．由＋a＋＝1，解得a＝，则EX＝－2×＋1×＋2×＝1，DX＝(－2－1)2×＋(1－1)2×＋2×＝2.故选A． 5．已知随机变量ξ的分布列如下： ξ m n P a 若Eξ＝2，则Dξ的最小值为(　　) A．0 B．2 C．1 D． 解析：选A．由题意得a＝1－＝，所以Eξ＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又Dξ＝(m－2)2＋2＝2＋2＝22，所以当n＝2时，Dξ取最小值，最小值为0.故选A． 6．(多选)已知离散型随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列说法正确的有(　　) A．P＝ B．EX＋EY＝0 C．DY＝ D．P＝ 解析：选AB．由＋a＋＝1，解得a＝.由题意P＝＋＝，所以A选项正确；EX＝－1×＋0×＋1×＝－，因为Y＝2X＋1，所以离散型随机变量Y的分布列如表： Y －1 1 3 P 所以P(Y＝1)＝，所以D选项错误；EY＝－1×＋1×＋3×＝，所以EX＋EY＝0，所以B选项正确；DY＝2×＋2×＋2×＝，所以C选项错误．故选AB． 7．(2024·河南驻马店期中)已知随机变量X的分布列如下： X 2 3 6 P a 若随机变量Y满足Y＝4X＋3，则DY＝________． 解析：由分布列的性质可知＋a＋＝1，解得a＝，所以EX＝2×＋3×＋6×＝3，故DX＝(2－3)2×＋(3－3)2×＋(6－3)2×＝2，因为Y＝4X＋3，所以DY＝42DX＝16×2＝32. 答案：32 8．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数X的方差为________． 解析：随机变量X的可能取值为1，2，3，4，5，6，其概率均为，则EX＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝＝，所以DX＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＋(5－)2×＋(6－)2×＝. 答案： 9．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p，用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差DX的最大值为________；的最大值为________． 解析：由题意可得随机变量X的所有可能取值为0，1，并且P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p，所以EX＝p，DX＝(1－p)2×p＋(0－p)2×(1－p)＝p(1－p)＝p－p2＝－2＋，所以当p＝时，DX取得最大值.＝＝2－≤2－2＝2－2，当且仅当2p＝即p＝时等号成立，所以的最大值为2－2. 答案：　2－2 10．袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.用X表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球． (1)写出X的分布列； (2)求X的均值与方差． 解：(1)由题意知X的所有可能取值为1，2，3，当X＝1时，有一种情况；当X＝2时，有，，三种情况；当X＝3时，有，，，，五种情况．则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝，所以X的分布列为 X 1 2 3 P (2)由(1)知EX＝1×＋2×＋3×＝，DX＝2×＋2×＋2×＝. 11．设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1<x2，现已知EX＝，DX＝，则x1＋x2＝(　　) A． B． C．3 D． 解析：选C．由题意得P(X＝x1)＋P(X＝x2)＝1，所以随机变量X只有x1，x2两个取值，所以 解得或所以x1＋x2＝3.故选C． 12．已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0<p1<p2<，则(　　) A．Eξ1<Eξ2，Dξ1<Dξ2 B．Eξ1<Eξ2，Dξ1>Dξ2 C．Eξ1>Eξ2，Dξ1<Dξ2 D．Eξ1>Eξ2，Dξ1>Dξ2 解析：选A．根据已知得ξi(i＝1，2)服从两点分布，由两点分布的均值知Eξi＝pi，所以Dξi＝(1－pi)2·pi＋(0－pi)2·(1－pi)＝pi(1－pi)，因为0<p1<p2<，所以Eξ1＝p1<p2＝Eξ2，Dξ1－Dξ2＝p1－p－(p2－p)＝(p1－p2)[1－(p1＋p2)]，已知p1<p2，0<p1＋p2<1，所以Dξ1－Dξ2<0，即Dξ1<Dξ2.故选A． 13．(2024·广西钦州期末)已知随机变量X1和X2的分布列分别是： X1 0 1 p 1－p1 p1 X2 0 1 p 1－p2 p2 能说明DX1≤DX2不成立的一组p1，p2的值可以是p1＝__________；p2＝__________． 解析：依题意，随机变量X1和X2的均值分别为EX1＝p1，EX2＝p2，则DX1＝EX1－＝p1－p，同理DX2＝p2－p，由DX1≤DX2，得p1－p≤p2－p，整理得(p1－p2)·[1－(p1＋p2)]≤0，因此p1≥p2且p1＋p2≥1或者p1≤p2且p1＋p2≤1，所以使DX1≤DX2不成立的一组p1，p2的值可以为p1＝0.3，p2＝0.2. 答案：0.3　0.2(答案不唯一) 14．(2024·广东东莞实验中学期中)某公司计划在2025年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择． 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 解：设投资项目一，二分别获利X，Y万元，则X的可能取值有30，－15，且P＝，P＝，Y的可能取值有50，－30，0，且P＝，P＝，P＝，所以EX＝30×＋×＝20(万元)，EY＝50×＋×＋0×＝20(万元)，则EX＝EY，DX＝2×＋2×＝350，DY＝2×＋2×＋2×＝1 400，则DX<DY，这说明虽然项目一，项目二获得利润的均值相等，但项目一更稳妥，因此，选择项目一较好． 15．(多选)设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5＝105.随机变量ξ1的取值为x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2的取值为，，，，的概率也均为0.2.若记Eξ1，Eξ2分别为ξ1，ξ2的均值，Dξ1，Dξ2分别为ξ1，ξ2的方差，则(　　) A．Eξ1＝Eξ2 B．Dξ1>Dξ2 C．Dξ1＝Dξ2 D．Dξ1<Dξ2 解析：选AB．由条件可得，随机变量ξ1，ξ2的均值相同，即Eξ1＝Eξ2，记为.则Dξ1＝0.2×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x5－)2]＝0.2[x＋x＋…＋x＋52－2(x1＋x2＋…＋x5) ]＝0.2(x＋x＋…＋x－52)，同理得，Dξ2＝0.2×[()2＋()2＋…＋()2－52]，因为()2<，…，()2<，所以()2＋()2＋…＋()2<x＋x＋…＋x.即Dξ1>Dξ2.故选AB． 16．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的奖励额． (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获得的奖励额为60元的概率； ②顾客所获得的奖励额的分布列及均值． (2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 解：(1)设顾客所获得的奖励额为X.①依题意得P(X＝60)＝＝，即顾客所获得的奖励额为60元的概率为.②依题意得X的所有可能取值为20，60，P(X＝20)＝＝，P(X＝60)＝，即X的分布列为 X 20 60 P 所以这位顾客所获奖励额的均值为EX＝20×＋60×＝40(元). (2)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找均值为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元．如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1；对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获得的奖励额为X1，则X1的分布列为 X1 20 60 100 P EX1＝20×＋60×＋100×＝60(元).DX1＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获得的奖励额为X2，则X2的分布列为 X2 40 60 80 P EX2＝40×＋60×＋80×＝60(元)，DX2＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2. 学科网（北京）股份有限公司 $