第6章 1.3 全概率公式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦全概率公式这一核心知识点，从生活实例（如王先生上班迟到概率、三箱取球问题）引入，通过样本空间划分概念构建“化整为零”的学习支架，先探究两个事件的全概率应用（如采购元件拒绝购买概率），再扩展到多个事件（如甲、乙、丙射击飞机被击落概率），最后延伸至贝叶斯公式，形成完整知识脉络。 该资料以问题链驱动探究，结合市场智能手机优质率、工厂次品率等实例，引导学生用数学眼光抽象概率模型，用数学思维进行逻辑推理（如样本空间划分、分步计算）。例题与跟踪训练分层设计，课中助力教师引导学生掌握“拆分-计算-求和”策略，课后通过知识清单和练习题帮助学生巩固公式应用，培养数据意识和模型观念，提升解决实际问题的能力。

1.3　全概率公式 学习目标　1.结合实例，经历全概率公式的探究过程.2.理解全概率公式的结构和含义，初步运用全概率公式解决实际问题. 导语 王先生从家到公司有两条路可以选择，其中第一条路拥堵的概率是0.3，第二条路拥堵的概率是0.4，王先生选择第一条路的概率是0.7，选择第二条路的概率是0.3，那么王先生上班迟到的概率是多少？这个概率怎么计算呢？ 一、全概率公式 问题　有三个箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人先从三箱中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率. 提示　设事件Bi表示“球取自i号箱”(i＝1，2，3)，事件A表示“取得红球”，其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)＝P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)，再对求和中的每一项运用乘法公式得 P(A)＝P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)＝×+×+×. 因此，取得红球的概率为. 知识梳理 1.设Ω是试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一组事件，若 (1)BiBj＝∅，其中i≠j(i，j＝1，2，…，n)， (2)B1∪B2∪…∪Bn＝Ω. 则称B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分. 条件(1)表示每次试验B1，B2，…，Bn中只能发生一个； 条件(2)表示每次试验B1，B2，…，Bn必有一个发生. 2.设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)>0(i＝1，2，…，n)，则对任意一个事件A有P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)，称上式为全概率公式. 例1　(课本例6)　采购员要购买某种电器元件一包(10个).他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如这3个元件都是好的，他才买下这一包，假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品，求采购员随机挑选一包拒绝购买的概率. 解　设事件B1表示“取到的是含有4个次品的包”，事件B2表示“取到的是含有1个次品的包”，事件A表示“采购员拒绝购买”.则B1，B2构成样本空间的一个划分，且P(B1)=，P(B2)=.又由古典概型计算概率的公式，可知 P(A|B1)=1-=， P(A|B2)=1-=. 从而由全概率公式，可知 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2) =×+×=. 因此，采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为. 例1　某次社会实践活动中，甲、乙两班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 解　如果用事件A1表示“居民所遇到的一位同学是甲班的”，事件A2表示“居民所遇到的一位同学是乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝， 且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝. 由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)＝×+×. 反思感悟　两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与). (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2). 跟踪训练1　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率. 解　记事件A，B分别为“甲、乙两厂的产品”，事件C为“废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥， (1)由题意，得P(A)＝，P(B)＝， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式， 得P(C)＝P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)＝. (2)P(A)＝， P(B)＝， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)+ P(B)P(C|B)＝×+×. 二、多个事件的全概率问题 例2　(课本例7)　甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.若飞机被一人击中，则被击落的概率为0.2；若被两人击中，则被击落的概率是0.6；若被三人击中，则飞机必定被击落.求飞机被击落的概率. 解　设事件A表示“飞机被击落”，事件Bi表示“飞机被i人击中”(i=0，1，2，3)，则B0，B1，B2，B3构成样本空间的一个划分，且依题意，P(A|B0)=0，P(A|B1)=0.2，P(A|B2)=0.6，P(A|B3)=1.再设事件Hi表示“飞机被第i人击中”(i=1，2，3). 则P(B1)=P(H1∪H2∪H3) =0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7 =0.36. 同理P(B2)=P(H1H2∪H1H3∪H2H3) =0.41， P(B3)=P(H1H2H3)=0.14， P(B0)=P()=0.09. 由全概率公式，可知 P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.09×0+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1 =0.458. 因此，飞机被击落的概率为0.458. 例2　甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 解　(1)事件“从甲箱中任取2个产品”包含的样本点数为＝28， 事件“这2个产品都是次品”包含的样本点数为＝3， ∴这2个产品都是次品的概率为. (2)设事件A为“从乙箱中取出的1个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3两两互斥. P(B1)＝，P(B2)＝，P(B3)＝， P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝， ∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)＝×+×+×. 反思感悟　当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把事件A分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率. 跟踪训练2　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率. 解　用事件A1，A2，A3分别表示“买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌”，事件B表示“买到的是优质品”，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依题意，可得P(A1)＝0.5，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.2，且P(B|A1)＝0.95，P(B|A2)＝0.9，P(B|A3)＝0.7，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.95+0.3×0.9+0.2×0.7＝0.885. *三、贝叶斯公式 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0，P(Bi)>0(i＝1，2，…，n)则P(Bi|A)＝，称上式为贝叶斯公式. 例3　设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率. 解　设事件B表示“中途停车修理”，事件A1表示“经过的是货车”，事件A2表示“经过的是客车”，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式得P(A1|B)＝ ＝＝0.8. 反思感悟　贝叶斯公式的理解 (1)公式P(A1|B)＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(A1|B)，P(B|A1)，P(B)之间的互化关系. (2)贝叶斯公式反映了事件A1发生的可能在各种可能原因中的比重. 跟踪训练3　设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%.现从这批工件中任取一件. (1)求取到次品的概率； (2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率.(精确到0.01) 解　(1)设事件B1，B2，B3分别表示“取出的工件是甲、乙、丙车间生产的”，事件A表示“取到的是次品”. 易知B1，B2，B3两两互斥，根据全概率公式， 可得P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02＝0.034 5. 故取到次品的概率为0.034 5. (2)P(B1|A)＝≈0.36. 故已知取到的是次品，则它是甲车间生产的概率约为0.36. 1.知识清单：全概率公式，贝叶斯公式. 2.方法归纳：化整为零. 3.常见误区：事件拆分不合理或不全面. 1.已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，则P(B)的值为(　　) A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5 答案　C 解析　因为P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)，所以P(B)＝P(A)P(B|A)+P()P(B|)＝P(BA)+P(B)＝0.4+0.2＝0.6. 2.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件数是第二台加工零件数的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为(　　) A.0.21 B.0.06 C.0.94 D.0.95 答案　D 解析　令事件B表示“取到的零件为合格品”，事件Ai表示“零件为第i台机床的产品”，i＝1，2.由全概率公式得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)＝×0.96+×0.93＝0.95. 3.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 5%，第2，3台加工的次品率均为 3%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%.如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　记“取到第1，2，3台车床加工的零件”分别为事件A1，A2，A3，“取到次品”为事件B， 故P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝， 由全概率公式可得P(B)＝P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)＝， 由贝叶斯公式得P(A3|B)＝. 4.甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为　　　　. 答案　 解析　设事件A表示“从乙袋中取出的是白球”，事件Bi表示“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0，1，2.由全概率公式 P(A)＝P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2) ＝·+·+·. 课时对点练 [分值：90分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.甲袋里有5个白球，7个红球，乙袋里有4个白球，2个红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设事件A表示“任取一袋是甲袋”，事件B表示“任取一袋是乙袋”，事件C表示“取到的球是白球”， 则P(C)＝P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)＝×+×. 2.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为(　　) A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2 答案　A 解析　以事件A1，A2，A3分别表示“取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的”，事件B表示“取得的X光片为次品”，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝， 则由全概率公式，得所求概率为P(B)＝P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) ＝×+×+×＝0.08. 3.已知A，B为两个事件，且0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列式子中不成立的是(　　) A.P(A|B)＝ B.P(AB)＝P(B)P(A|B) C.P(B)＝P(A)P(B|A)+P()P(B|) D.P(A|B)＝ 答案　A 解析　由条件概率的计算公式知A错误；B，C显然正确；D选项中，因为P(B)＝P(A)P(B|A)+P()P(B|)， 所以P(A|B)＝ ＝， 故D正确. 4.设A，B为两个事件，已知P(B)＝0.4，P(A)＝0.5，P(B|A)＝0.3，则P(B|)等于(　　) A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 答案　C 解析　由P(A)＝0.5，得P()＝0.5. 由P(B)＝P(A)P(B|A)+P()P(B|)， 即0.4＝0.5×0.3+0.5P(B|)，得P(B|)＝0.5. 5.设袋中有12个球，9个新球(未使用过)，3个旧球，第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取3球，则第二次比赛取得3个新球的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设事件Ai表示“第一次比赛恰取出i个新球(i＝0，1，2，3)”，事件B表示“第二次比赛取得3个新球”， ∴P(B)＝P(Ai)P(B|Ai) ＝+++. 6.箱子中有6个除颜色外完全相同的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回，设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是(　　) A.P(A)＝ B.P(B)＝ C.P(B|A)＝ D.P(B|)＝ 答案　D 解析　P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝. 由全概率公式可知，P(B)＝P(A)P(B|A)+P()P(B|)＝×+×. 7.(5分)P(B)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(A)＝　　　　　　　　. 答案　 解析　由P(B)＝P(A)P(B|A)+P()P(B|)， 得＝P(A)×+[1－P(A)]×， 解得P(A)＝. 8.(5分)甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球， (1)若已知从甲箱中取出的是白球，则从乙箱中取出的也是白球的概率是　　　　； (2)从乙箱中取出白球的概率是　　　　. 答案　(1)　(2) 解析　设事件B为“从乙箱中取出白球”， 事件A为“从甲箱中取出白球”， 则P(A)＝，P()＝. (1)所求概率为P(B|A)＝. (2)易知P(B|)＝， 故利用全概率公式，得所求概率为 P(B)＝P(A)P(B|A)+P()P(B|)＝×+×. 9.(10分)设甲、乙、丙三个地区暴发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，.现从这三个地区任选一个地区抽取一个人. (1)求此人感染此病的概率；(6分) (2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率.(4分) 解　(1)设事件Ai表示“此人来自第i个地区”，i＝1，2，3(分别对应甲、乙、丙三个地区)，事件B表示“感染此病”， 则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， ∴P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， ∴P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝. 由全概率公式得 P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝. (2)由(1)知P(A2|B)＝. 10.(14分)中国传统文化中，过春节吃饺子.饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的饺子，2盒三鲜馅的饺子和5盒青菜馅的饺子，乙箱中有3盒肉馅的饺子，3盒三鲜馅的饺子和4盒青菜馅的饺子.问： (1)从甲箱中取出一盒饺子是肉馅的概率是多少？(3分) (2)若依次从甲箱中取出两盒饺子，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；(5分) (3)若先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，从乙箱取出的饺子是肉馅的概率.(6分) 解　(1)设事件A为“取出的饺子是肉馅”，P(A)＝. (2)设事件B为“从甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”， 事件C为“取出的第二盒饺子是三鲜馅”， P(C|B)＝. (3)设事件D为“从乙箱中取出的饺子是肉馅”. 设事件A1，A2，A3分别是甲箱中取出肉馅的饺子，三鲜馅的饺子和青菜馅的饺子， P(D)＝P(A1)P(D|A1)+P(A2)P(D|A2)+P(A3)P(D|A3) ＝×+×+×. 11.若从数字1，2，3，4中任取一个数，记为x，再从1，…，x中任取一个数记为y，则y＝2的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设事件Ai表示“取出数字i”，i＝1，2，3，4，易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，事件B表示“取到y＝2”，则P(B|A1)＝0，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，P(B|A4)＝，∴P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai)＝×. 12.深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为(　　) A.0.3 B.0.32 C.0.68 D.0.7 答案　C 解析　设A1表示“乙球员担当前锋”，A2表示“乙球员担当中锋”，A3表示“乙球员担当后卫”，A4表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”. 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)＝0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2＝0.32， 所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为1－0.32＝0.68. 13.(多选)某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参赛.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为2∶1，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是(　　) A.李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 B.李明获胜的概率为 C.若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为 D.若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为 答案　ABC 解析　设事件A为“李明与甲组选手比赛”，事件B为“李明与乙组选手比赛”，事件C为“李明获胜”， 则由题可知P(A)＝，P(B)＝. 对于A，李明与甲组选手比赛且获胜的概率为P(AC)＝P(A)P(C|A)＝×0.6＝，故A正确； 对于B，李明获胜的概率为P(C)＝P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)＝×0.6+×0.5＝，故B正确； 对于C，若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为P(A|C)＝，故C正确； 对于D，若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为P(B|C)＝，故D错误. 14.(5分)第三次人工智能浪潮滚滚而来，ChatGPT的发布开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为　　　　　　　；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它来自乙箱的概率是　　　　　　. 答案　　 解析　记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”， 则P(A)＝1－，P(AB)＝， 故P(B|A)＝， 即从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为； 设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”， 则P(C)＝，P()＝， P(D|C)＝，P(D|)＝， 所以P(D)＝P(CD)+P(D) ＝P(C)P(D|C)+P()P(D|) ＝×+×， 所以P(C|D)＝， 即若抽到的是红球，则它来自乙箱的概率是. 15.(5分)近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线.某外卖小哥每天来往于4个外卖店(外卖店的编号分别为1，2，3，4)，约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫作第1次取单，之后，他等可能地前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫作第2次取单，依此类推，假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件Ak为第k次取单恰好是从1号店取单，P(Ak)是事件Ak发生的概率，显然P(A1)＝1，P(A2)＝0，则P(A3)＝　　　　　，P(A5)＝　　　　　　. 答案　　 解析　依题意，P(AkAk+1)＝0， 所以P(Ak+1)＝P(Ak+1)+P(AkAk+1) ＝P()P(Ak+1|)＝[1－P(Ak)]×， 又P(A2)＝0， 因此P(A3)＝[1－P(A2)]×； P(A4)＝[1－P(A3)]××； P(A5)＝[1－P(A4)]××. 学科网（北京）股份有限公司 $