第6章 2.2 离散型随机变量的分布列（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦离散型随机变量的分布列核心知识点，从实际问题（甲乙摸球游戏）切入，通过对比非离散随机变量引出概念，系统讲解分布列的表示方法、性质及两点分布，构建从概念理解到应用的完整学习支架。 资料以问题驱动（如区分随机变量异同）引导学生抽象数学对象，培养数学眼光与思维，通过摸球、射击等实例用分布列表格表达概率，落实数学语言。课中助力教师引导探究，课后通过跟踪训练与对点练帮助学生巩固，查漏补缺。

2.2　离散型随机变量的分布列 学习目标　1.理解离散型随机变量的含义.2.了解离散型随机变量与函数的区别与联系.3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法与性质.4.理解两点分布. 导语 甲将除颜色外完全相同的两个红色球、一个蓝色球放入袋子中，乙每次从中随机取出两个球，若两球颜色相同则甲付给乙两元钱，若两球颜色不同则乙付给甲一元钱，问：在以上两种规则中，对谁更有利？ 一、离散型随机变量的概念 问题1　观察下面的随机变量，你能发现有什么异同点吗？ (1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数X； (2)抛掷两枚骰子，所得点数之和ξ； (3)某一自动装置无故障运转的时间T； (4)电灯泡的寿命X. 提示　(1)(2)的随机变量取值可以一一列举出来，(3)(4)随机变量取值不可以列举出来. 知识梳理 取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量. 注意点： 离散型随机变量是用变量表示随机试验的结果，并且结果可以按一定次序一一列出. 例1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由. (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)一瓶果汁的容量为500±2 mL. 解　(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量. (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量. (3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量. (4)由于果汁的容量在498 mL~502 mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量. 反思感悟　判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果. (2)将随机试验的结果数量化. (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是. 跟踪训练1　指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由. (1)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (2)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度； (3)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差. 解　(1)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义. (2)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量. (3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量. 二、离散型随机变量的分布列 问题2　在掷一枚骰子的随机试验中，X 表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？ 提示　列成表的形式 X 1 2 3 4 5 6 P 知识梳理 1.离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X的取值为x1，x2，x3，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，3，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…).① ①式也可以列成表，如表： xi x1 x2 … xn … P(X＝xi) p1 p2 … pn … 表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列. 离散型随机变量的分布列的性质： (1)pi>0(i＝1，2，3，…，n，…)； (2)p1+p2+…+pn+…＝1. 2.如果随机变量X的分布列如表： X 1 0 P p q 其中0<p<1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0－1分布或伯努利分布). 注意点： 随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是. 例2　(课本例5)　一袋中装有6个完全相同的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用X表示取出球的最大编号，求X的分布列. 解　依题意知随机变量X的取值为3，4，5，6. 又易知从6个球中取出3个球，共有种取法，且每一种取法都是等可能的. 当X=3时，取出球的最大编号为3，另两个球从1，2号球中取得，共有种取法，由古典概型计算概率的公式得 P(X=3)==； 当X=4时，取出球的最大编号为4，另两个球从1，2，3号球中取得，因此 P(X=4)==； 当X=5时，取出球的最大编号为5，另两个球从1，2，3，4号球中取得，因此 P(X=5)==； 当X=6时，取出球的最大编号为6，另两个球从1，2，3，4，5号球中取得，因此 P(X=6)==. 综上，可得X的分布列如表： X 3 4 5 6 P 例2　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球. (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； (2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列. 解　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有＝10(种)情况. (1)设“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”为事件A，则P(A)＝，即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为. (2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 P 反思感悟　求离散型随机变量的分布列关键有三点 (1)随机变量的取值. (2)每一个取值所对应的概率. (3)用所有概率之和是否为1来检验(此种情况计算概率时不可用对立事件的概率). 跟踪训练2　一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球(除颜色外都相同)，从中随机摸出两个球，记X＝求X的分布列. 解　由X＝可知随机变量X服从两点分布， 则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝1－. 所以X的分布列为 X 1 0 P 三、分布列的性质及应用 例3　(课本例6)　设随机变量X的分布列为P(X=i)=a(i=1，2，3)，求实数a的值. 解　因为pi=1， 所以a+a+a=1. 解得a=. 故实数a的值为. 例3　设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1，2，3，4，5). (1)求常数a的值； (2)求P. 解　由题意知，所给分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a (1)由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a＝1， 解得a＝. (2)方法一　P＝P+P+P(X＝1)＝++. 方法二　P＝1－P＝1－ ＝. 延伸探究　本例条件不变，求P. 解　∵<X<，∴X＝，，. ∴P＝P+P+P++. 反思感悟　分布列的性质及其应用 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为正数. (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式. 跟踪训练3　设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X+1的分布列； (2)|X－1|的分布列. 解　由分布列的性质知0.2+0.1+0.1+0.3+m＝1，解得m＝0.3. 首先列表为 X 0 1 2 3 4 2X+1 1 3 5 7 9 |X－1| 1 0 1 2 3 从而由上表得两个分布列为 (1)2X+1的分布列 2X+1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)|X－1|的分布列 |X－1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 1.知识清单： (1)离散型随机变量的概念. (2)离散型随机变量的分布列的概念及其性质. (3)两点分布. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：随机变量的取值不明确导致分布列求解错误. 1.下列叙述中，X不可以做离散型随机变量的是(　　) A.某座大桥一天经过的车辆数X B.某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数X C.一天之内的温度X D.一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射击手在一次射击中的得分 答案　C 解析　A，B，D中的X的可能取值可以一一列举出来，而C中的X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的. 2.下列表格中，是某个随机变量的分布列的是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　易知A正确；0.5+0.2+0.3+0.1＝1.1≠1，lg 2+lg 2+lg 5＝lg 20≠1，则B，D不正确；－<0，则C不正确. 3.某射手射击一次命中环数X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则P(X>7)等于(　　) A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51 答案　C 解析　根据X的分布列知，所求概率为0.28+0.29+0.22＝0.79. 4.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球一次得分的分布列为　　　　　　. 答案　 X 1 0 P 0.7 0.3 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.(多选)下列变量中，不是离散型随机变量的是(　　) A.一条河流每日最大流量 B.一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C.某人在车站等出租车的时间 D.某人投篮10次，可能投中的次数 答案　BC 解析　根据离散型随机变量的定义，即可以按照一定次序一一列出，可能取值为有限个或无限个，选项B，C中的变量为连续型随机变量，而选项A，D中的变量是离散型随机变量. 2.已知随机变量X的分布列如表所示，则实数a的值为(　　) X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 答案　A 解析　由分布列的性质知，0.1+0.2+0.4+0.2+a＝1，则a＝0.1. 3.下列选项中的随机变量不服从两点分布的是(　　) A.抛掷一枚骰子，所得点数X B.某射击手射击一次，击中目标的次数X C.袋中装有除颜色外完全相同的5个红球、3个白球，从中任取1个球，记X＝ D.某医生做一次手术，手术成功的次数X 答案　A 解析　由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布， 而抛掷一枚骰子，所得点数X的可能取值为1，2，3，4，5，6，所以A中的随机变量不服从两点分布. 4.若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝1)等于(　　) A.0 B. C. D. 答案　C 解析　由题意知，{ξ＝0}表示“一次试验试验失败”，{ξ＝1}表示“一次试验试验成功”. 设一次试验失败率为p，则成功率为2p， 所以p+2p＝1， 所以p＝， 所以P(ξ＝1)＝. 5.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于(　　) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 答案　A 解析　由0.2+0.1+0.1+0.3+m＝1，得m＝0.3. 所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3. 6.(多选)随机变量X的分布列如表，其中2b＝a+c，且c＝ab，则(　　) X 2 4 6 P a b c A.a+b+c＝1 B.a＝ C.b＝ D.c＝ 答案　ABD 解析　由分布列的性质，得a+b+c＝1. 由解得 7.(5分)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≤1)＝　　　　. 答案　 解析　P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－. 8.(5分)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P＝　　　　　　　　. 答案　 解析　∵P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)， ∴+++＝1，解得a＝， ∴P＝P(X＝1)+P(X＝2)＝×+×. 9.(10分)若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 9a2－a 3－8a 求常数a及相应的分布列. 解　由离散型随机变量的性质，得 解得a＝或a＝(舍). 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 10.(11分)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获利分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.求X的分布列. 解　依题意得，X的所有可能取值为6，2，1，－2. X＝6，2，1，－2分别对应1件产品为一等品、二等品、三等品、次品这四个事件， 所以P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25， P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02. 所以X的分布列为 X 6 2 1 －2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 11.若随机变量η的分布列如表： η －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是(　　) A.x≤1 B.1≤x≤2 C.1<x≤2 D.1≤x<2 答案　C 解析　由分布列知， P(η＝－2)+P(η＝－1)+P(η＝0)+P(η＝1) ＝0.1+0.2+0.2+0.3＝0.8， ∴P(η<2)＝0.8，故1<x≤2. 12.设随机变量X的分布列如下，则P(|X－1|≤1)等于(　　) X －1 0 1 2 P m A. B. C. D. 答案　C 解析　由分布列的性质可得+m++＝1，则m＝. P(|X－1|≤1)＝P(X＝0)+P(X＝1)+P(X＝2)＝. 13.从装有除颜色外没有区别的3个黄球、3个红球、3个蓝球的袋中摸3个球，设摸出的3个球的颜色种数为随机变量X，则P(X＝2)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　X＝2，即摸出的3个球有2种颜色，其中一种颜色的球有2个，另一种颜色的球有1个，故P(X＝2)＝. 14.(5分)若随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 2 3 P a b 则a2+b2的最小值为　　　　. 答案　 解析　由分布列的性质，知a+b＝，所以a2+b2≥(当且仅当a＝b＝时等号成立). 15.(5分)一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，f6(x)＝2|x|+1.现从盒子中逐一抽取卡片并判断函数的奇偶性，每次抽取后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则P(X<3)＝　　　　　　　. 答案　 解析　易判断f2(x)＝x2，f5(x)＝cos x，f6(x)＝2|x|+1为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，X的所有可能取值为1，2，3，4. P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， 所以P(X<3)＝P(X＝1)+P(X＝2)＝+. 16.(12分)将一枚骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X，求X的分布列. 解　第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差X的可能取值为－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5， 则P(X＝－5)＝，P(X＝－4)＝， P(X＝－3)＝，P(X＝－2)＝， P(X＝－1)＝，P(X＝0)＝， … P(X＝5)＝. 故X的分布列为 X －5 －4 －3 －2 －1 P X 0 1 2 3 4 5 P 学科网（北京）股份有限公司 $