2.2 离散型随机变量的分布列-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．(2024·河南周口期中)下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数ξ； ②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置η； ③某派出所一天内接到的报警电话次数X； ④某同学上学路上离开家的距离Y. 其中是离散型随机变量的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B．对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；对于②，沿x轴进行随机运动的质点，质点在x轴上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.故选B． 2．随机变量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中2b＝a＋c，则P(|ξ|＝1)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D．因为2b＝a＋c，且a＋b＋c＝1，解得b＝，所以P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝ a＋c＝2b＝.故选D． 3．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.15 0.15 0.15 0.25 m 若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)＝(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 解析：选A．由0.15＋0.15＋0.15＋0.25＋m＝1，得m＝0.3，所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.故选A． 4．已知离散型随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，则a＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．因为X服从两点分布，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＝1，则P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝3－4[1－P(X＝0)]，解得P(X＝0)＝，所以a＝.故选C． 5．(2024·安徽滁州月考)若离散型随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 则当P(X<a)＝0.7时，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[1，2] C．(1，2] D．(1，2) 解析：选C．由离散型随机变量X的分布列知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.4，P(X<2)＝0.7，则当P(X<a)＝0.7时，实数a的取值范围是(1，2].故选C． 6．(多选)设离散型随机变量ξ的分布列如表所示： ξ －1 0 1 2 3 P 则下列等式错误的是(　　) A．P(ξ＜3)＝ B．P(ξ＞1)＝ C．P(2＜ξ＜4)＝ D．P(ξ＜0.5)＝0 解析：选ABD．P(ξ＜3)＝＋＋＋＝，A错误；P(ξ＞1)＝＋＝，B错误；P(2＜ξ＜4)＝P(ξ＝3)＝，C正确；P(ξ＜0.5)＝＋＝，D错误．故选ABD． 7．(2024·山东聊城期末)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a2，P(X＝1)＝a，则a＝________． 解析：由题意可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝2a2＋a＝1，解得a＝或a＝－1，由于a>0，所以a＝. 答案： 8．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则m＝__________． X 0 1 2 3 P m2 2m2 1－2m＋m2 1－3m 解析：依题意，m2＋2m2＋(1－2m＋m2)＋(1－3m)＝1，整理得4m2－5m＋1＝0，解得m＝1或m＝，当m＝1时，2m2＝2>1，1－3m＝－2<0，不符合题意，当m＝时，m2＝，2m2＝，1－2m＋m2＝，1－3m＝，符合题意，所以m的值为. 答案： 9．设离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 则m＝________，P(|X－3|＝1)＝__________． 解析：由题意得＋m＋＋＝1，解得m＝.由已知|X－3|＝1，解得X＝2或X＝4，所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝. 答案：　 10．某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资：底薪1 000元，每工作1小时获取30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元． (1)当X＝110时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式； (3)若P＝0.6，求P的值． 解：(1)当X＝110时，表示工作了110个小时，所以Y＝110×30＋1 000＝4 300. (2)由题意得Y＝30X＋1 000. (3)因为X≤120⇔30X＋1 000≤4 600⇔Y≤4 600，所以P(Y≤4 600)＝P(X≤120)＝0.6，从而P(Y>4 600)＝1－P(Y≤4 600)＝1－0.6＝0.4. 11．(多选)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是(　　) A．P(ξ＝0)＝ B．P(ξ＝)＝ C．P(ξ＝1)＝ D．P(ξ＝)＝ 解析：选ABC．由题设，ξ的可能取值为0，1，，若两条棱相交，交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，则P(ξ＝0)＝＝，若两条棱平行，它们的距离为1或，而距离为的共有6对，所以P(ξ＝)＝＝，故P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝.故选ABC． 12．(2024·安徽省定远中学检测)已知病毒A在某溶液中的存活个数的概率满足P＝e－3，已知只要该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率为________． 解析：根据题意，P(X＝0)＝e－3＝，则该溶液能够导致生物C死亡的概率P(X>0)＝1－P(X＝0)＝1－. 答案：1－ 13．某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p>q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3 P a b 则a＋b＝________；p＋q＝________． 解析：由分布列的性质有＋a＋b＋＝1，解得a＋b＝＝；依表中的P，P可知， 解得所以p＋q＝＋＝1. 答案：　 1 14．掷两枚骰子，用X表示两点数差的绝对值，求X的分布列． 解：记掷两枚骰子所得点数分别为m，n，则样本空间Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，n(Ω)＝36.X的取值为0，1，2，3，4，5.当X＝0时，包含样本点，，，，，，所以P(X＝0)＝＝；当X＝1时，包含样本点，，，，，，，，，，所以P(X＝1)＝＝；当X＝2时，包含样本点，，，，，，，，所以P(X＝2)＝＝；当X＝3时，包含样本点，，，，，，所以P(X＝3)＝＝；当X＝4时，包含样本点，，，，所以P(X＝4)＝＝；当X＝5时，包含样本点，，所以P(X＝5)＝＝.所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 15．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a－b|，则P＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A．由于抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴左侧，所以－<0，即a，b同号且均不为零，c可取{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的任意值，所以共有3×3×7×2＝126种不同的情况．因为ξ＝|a－b|，所以ξ的取值范围是，其中ξ＝0的可能情况为a＝b且a，b∈{－3，－2，－1，1，2，3}，c∈，所以P＝＝，ξ＝1的可能情况为(a，b)∈{(－3，－2)，(－2，－3)，(－2，－1)，(－1，－2)，(3，2)，(2，3)，(2，1)，(1，2)}且c∈，所以P(ξ＝1)＝＝，ξ＝2的可能情况为(a，b)∈且c∈，所以P(ξ＝2)＝＝，所以P(|ξ－1|＝1)＝＋＝.故选A． 16．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和－p，其中0<p<. (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列． 解：(1)甲在初赛的两轮中均获胜的概率为P1＝×＝；乙在初赛的两轮中均获胜的概率为P2＝×＝；丙在初赛的两轮中均获胜的概率为P3＝p·＝－p2＋p；因为所以<p<，所以P3＝－2＋<，所以甲进入决赛的可能性最大． (2)甲、乙、丙三人都进入决赛的概率P＝P1×P2×P3＝××＝，整理得18p2－27p＋10＝0，解得p＝或p＝，又因为<p<，所以p＝.所以丙在初赛的两轮中均获胜的概率为P3＝1－＝，进入决赛的人数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P＝××＝，P＝××＋××＋××＝，P＝××＋××＋××＝，P(ξ＝3)＝××＝，所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 学科网（北京）股份有限公司 $