1.3 全概率公式-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．据美国的一份资料报道，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，有80%是不吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.025%，则在美国总的来说患肺癌的概率约为(　　) A．0.1% B．0.425% C．1% D．10% 解析：选A．依题意，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.2×0.004＋0.8×0.000 25＝0.001＝0.1%.故选A． 2．设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占50%，30%，20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为3%，5%，现从中任取一件，若取到的是次品的概率为3.6%，则推测丙车间的次品率为(　　) A．3% B．4% C．5% D．6% 解析：选A．设丙车间的次品率为P，由题意知0.5×3%＋0.3×5%＋0.2×P＝3.6%，解得P＝3%.故选A． 3．(2024·河南济源期中)小李的手机购物平台经常出现她喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给小李推送某商品时，她购买此商品的概率为；从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，那么电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选A．电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率为×＋×＝.故选A． 4．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是(　　) A．0.155 B．0.175 C．0.016 D． 0.096 解析： 选B．设事件B1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%.设事件A表示“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30.由全概率公式，得P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝20%×0.05＋50%×0.15＋30%×0.30＝0.175.故选B． 5．一道考题有4个选项，要求学生将其中的一个正确选项选择出来．若某考生知道正确选项的概率为，不知道正确选项的概率为.在不知道正确选项时，4个选项都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确选项的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选B．设事件A为“考生答对”，事件B为“考生知道正确选项”，由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×1＋×＝.又由贝叶斯公式得 P(B|A)＝＝＝.故选B． 6．(多选)两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为3%；第二批占70%，次品率为6%，将这两批产品混合后，从中任取1件，则下列说法正确的是(　　) A．这件产品是合格品的概率为0.949 B．这件产品是次品的概率为0.949 C．已知取到的是合格品，那么它取自第一批产品的概率为 D．已知取到的是合格品，那么它取自第二批产品的概率为 解析：选AC．对于A，设事件Ai表示“取出的是第i批产品”(i＝1，2)，事件B表示“取出的是合格品”，P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＝30%×(1－3%)＋70%×(1－6%)＝0.949，A正确；对于B，设事件C表示“取出的是次品”，P(C)＝P(A1C)＋P(A2C)＝30%×3%＋70%×6%＝0.051，B错误；对于C，D，P(A1|B)＝＝＝，P(A2|B)＝＝＝，C正确，D错误．故选AC． 7．(2024·江西南昌期末)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(B|A)＝0.8，则P(B|)＝________． 解析：因为P(A)＝0.4，所以P()＝1－P(A)＝0.6，由全概率公式得P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()P(B|)，所以0.5＝0.4×0.8＋0.6·P(B|)，解得P(B|)＝0.3. 答案：0.3 8．(2024·江苏宿迁期中)某校男女生人数之比为11∶9，其中男生近视率为0.4，女生近视率为0.6，则该校学生的近视率为________． 解析：由全概率公式可得该校学生的近视率为×0.4＋×0.6＝0.49. 答案：0.49 9．(2024·安徽阜阳期中)已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%.今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是________． 解析：记事件A表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，事件H表示“选出的人是色盲患者”．由题意知P(A)＝P()＝，P(H|A)＝7%，P(H|)＝0.5%.由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为P(A|H)＝＝＝＝. 答案： 10．(2024·河北石家庄月考)已知某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到． (1)求这个人迟到的概率； (2)如果这个人迟到了，求他乘轮船迟到的概率． 解：(1)设D表示“这个人迟到”，A表示“他乘火车”，B表示“他乘轮船”，C表示“他乘飞机”，则D＝DA＋DB＋DC.由全概率公式，得P(D)＝P(DA)＋P(DB)＋P(DC)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)·P(D|C)，由题意可得P(A)＝0.2，P(B)＝0.4，P(C)＝0.4，P(D|A)＝0.5，P(D|B)＝0.2，P(D|C)＝0，所以这个人迟到的概率P(D)＝0.2×0.5＋0.4×0.2＋0.4×0＝0.18. (2)由题意可知，P(DB)＝P(D|B)P(B)＝0.2×0.4＝0.08，所以可得如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是P(B|D)＝＝＝. 11．8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．设事件A表示“射击时中靶”，事件B1表示“使用的枪校准过”，事件B2表示“使用的枪未校准”，则P(A|B1)＝0.8，P(B1)＝，P(A|B2)＝0.3，P(B2)＝，根据全概率公式得P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＝0.8×＋0.3×＝，所以P(B1|A)＝＝＝＝.故选B． 12．(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别记事件A1，A2和A3表示“由甲罐取出的球是红球、白球和黑球”；再从乙罐中随机取出一球，记事件B表示“由乙罐取出的球是红球”，则下列结论中正确的是(　　) A．P(B)＝ B．P(B|A1)＝ C．事件B与事件A1相互独立 D．A1，A2，A3是两两互斥的事件 解析：选BD．由题意知A1，A2，A3是两两互斥的事件，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝.故P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝×＋×＋×＝，故A错误，B，D正确；显然C错误．故选BD． 13．(2024·陕西渭南检测)设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产14 mm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为，，.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为________． 解析：记“芯片分别由甲、乙、丙三条生产线生产”为事件A1，A2，A3，记“取到的芯片是次品”为事件B，则P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝0.07，故P(A1|B)＝＝＝，则若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为. 答案： 14．某品牌锄草机由甲、乙、丙三个工厂生产，其中甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，且各厂的次品率分别为5%，4%，2%.如果某人已经买到一台次品锄草机，问：该次品锄草机由哪个厂生产的可能性较大？ 解：设事件A1表示“锄草机是甲厂生产的”，事件A2表示“锄草机是乙厂生产的”，事件A3表示“锄草机是丙厂生产的”，事件B表示“买到一台次品锄草机”．由题意知P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.4，P(B|A1)＝0.05，P(B|A2)＝0.04，P(B|A3)＝0.02.由全概率公式得P(B)＝ (Ai)P(B|Ai)＝0.034 5，由贝叶斯公式知P(A1|B)＝＝≈0.362 3，同理可得P(A2|B)≈0.405 8，P(A3|B)≈0.231 9.因为0.405 8>0.362 3>0.231 9，所以该次品锄草机由乙厂生产的可能性较大． 15．(多选)已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是(　　) A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B．第一次抽到2号球且第二次抽到1号球的概率为 C．第二次抽到3号球的概率为 D．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大 解析：选AD． 对于A，记“第一次取得i(i＝1，2，3)号球”为事件Ai，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为P＝＝，故A正确；对于B，第一次抽到2号球且第二次抽到1号球的概率为P＝×＝，故B错误；对于C，记“第二次在第i号盒子内抽到3号球”的事件分别为Bi(i＝1，2，3)，而A1，A2，A3两两互斥，和为Ω，且P(B1|A1)＝，P(B2|A2)＝，P(B3|A3)＝，记“第二次抽到3号球”的事件为B，则P(B)＝P(AiBi)＝P(Ai)·P(Bi|Ai)＝×＋×＋×＝，故C错误；对于D，P(A1|B1)＝＝＝，P(A2|B2)＝＝＝，P(A3|B3)＝＝＝，显然P(A1|B1) 最大，即如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故D正确．故选AD． 16．有一种骰子游戏，某人掷两枚骰子，若掷出的点数之和是7或11，则赢；若掷出的点数之和是2，3或12，则输；若掷出其他的点数和，则记下这个数，继续掷这两枚骰子，直到掷出这个记下的数或者7为止，若是这个记下的数，则赢，若是7，则输．求此人赢的概率是多少． 解：设第一次掷出的点数和为X，此人赢记为事件A，投掷两枚骰子一共有36种结果，掷出的点数之和为2，3或12有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(6，6)共4种结果，掷出的点数之和为7的有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)共6种结果，则P(X＝7)＝＝，掷出的点数之和为11的有(5，6)，(6，5)共2种结果，则P(X＝11)＝＝，同理可得P(X＝4)＝P(X＝10)＝，P(X＝5)＝P(X＝9)＝，P(X＝6)＝P(X＝8)＝，要想游戏结束，从最终局考虑，比如第一次掷出的点数和为4，那么最终游戏只能以掷出点数和为4或7结束，若是4则赢，若是7则输，而任何一次掷出点数和为4的概率是，掷出点数和为7的概率是，则P(A|X＝4)＝＝，同理可得P(A|X＝10)＝＝，P(A|X＝5)＝P(A|X＝9)＝＝，P(A|X＝6)＝P(A|X＝8)＝＝，又P(A|X＝7)＝P(A|X＝11)＝1，所以P(A)＝P(A|X＝7)P(X＝7)＋P(A|X＝11)P(X＝11)＋P(A|X＝4)·P(X＝4)＋P(A|X＝5)P(X＝5)＋P(A|X＝6)·P(X＝6)＋P(A|X＝9)P(X＝9)＋P(A|X＝8)P(X＝8)＋P(A|X＝10)P(X＝10)＝＋＋2(×＋×＋×)＝，即此人赢的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $