章末检测试卷5 (第6章 概率)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 高中数学第六章单元卷，120分钟150分，覆盖随机变量分布列、二项分布、正态分布等核心知识，结合“四书”诵读、捐款活动等文化与生活情境，通过基础巩固与综合应用，培养数学眼光、思维与语言，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|分布列、二项分布、正态分布|第6题以“四书”诵读为情境，考期望计算，体现文化传承| |多选|3题18分|条件概率、正态分布性质|第10题结合正态分布对称性，强化逻辑推理| |填空|3题15分|正态分布均值、超几何分布|第14题以路线红灯概率为背景，考概率与期望| |解答|5题77分|全概率公式、二项分布、实际应用|第19题品酒测试偏离度，综合排列组合与概率，培养应用意识|

章末检测试卷五(第六章) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.设随机变量X的分布列如表所示，则P(|X－3|＝1)等于(　　) X 1 2 3 4 P m A. B. C. D. 答案　D 解析　m＝1－，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)+P(X＝4)＝+. 2.若随机变量X~B(n，p)，其均值等于200，方差等于100，则n，p的值分别为(　　) A.400， B.200， C.400， D.200， 答案　A 解析　由题意得 解得n＝400，p＝. 3.设随机变量X~N(μ，σ2)，且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0<X≤1)的值为(　　) A.p B.1－p C.1－2p D.－p 答案　D 解析　由正态曲线的对称性且P(X<1)＝， 得μ＝1，即正态曲线关于直线x＝1对称， 于是P(X<0)＝P(X>2)， 所以P(0<X≤1)＝P(X<1)－P(X<0) ＝P(X<1)－P(X>2)＝－p. 4.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有A，B两个易损部位，每次打击后，A部位损坏的概率为，B部位损坏的概率为，两个部位损坏与否互不影响，则在第一次打击后就有部位损坏(只考虑A，B两个易损部分)的条件下，A，B两个部位都损坏的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　记事件E为“第一次打击后就有部位损坏”，事件F为“A，B两个部位都损坏”， 则P(E)＝1－×， P(EF)＝×， 由条件概率公式可得P(F|E)＝. 5.设随机变量X~B(2，p)，随机变量Y~B(3，p)，若P(X≥1)＝，则D(3Y+1)等于(　　) A.2 B.3 C.6 D.7 答案　C 解析　由题意得P(X≥1)＝P(X＝1)+P(X＝2)＝p(1－p)+p2＝， 所以p＝，则Y~B， 故DY＝3××，所以D(3Y+1)＝9DY＝9×＝6. 6.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为(　　) A. B.1 C. D.2 答案　B 解析　记抽到自己准备的书的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，4， P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝，P(X＝4)＝， 则EX＝0×+1×+2×+4×＝1. 7.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后放回盒中.第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　令Ai表示“第一次任取3个球使用时，取出i个新球(i＝0，1，2，3)”，B表示“第二次任取的3个球都是新球”，则有P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，根据全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为 P(B)＝P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) ＝×+×+×+×. 8.已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的均值Eξ为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由于抛物线的对称轴在y轴左侧，故－<0，故a，b同号，样本点总数有3×3×7×2＝126. ξ的可能取值为0，1，2， P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝， P(ξ＝2)＝. 则Eξ＝0×+1×+2×. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名学生参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，记A为“男生甲被选中”，B为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是(　　) A.P(A)＝ B.P(B)＝ C.P(AB)＝ D.P(B|A)＝ 答案　ACD 解析　由题意，得P(A)＝， P(AB)＝，P(B)＝1－， 由条件概率公式可得P(B|A)＝. 10.若随机变量ξ~N(0，1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，下列等式成立的有(　　) A.φ(－x)＝1－φ(x) B.φ(2x)＝2φ(x) C.P(|ξ|≤x)＝2φ(x)－1 D.P(|ξ|>x)＝2－φ(x) 答案　AC 解析　∵随机变量ξ~N(0，1)， ∴正态曲线关于直线ξ＝0对称， 由题意知φ(x)＝P(ξ≤x)，x>0， 根据曲线的对称性可得 φ(－x)＝P(ξ≥x)＝1－φ(x)，故A正确； φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，φ(2x)≠2φ(x)，故B错误； P(|ξ|≤x)＝P(－x≤ξ≤x)＝1－2φ(－x)＝1－2[1－φ(x)]＝2φ(x)－1，故C正确； P(|ξ|>x)＝1－P(|ξ|≤x)＝2－2φ(x)，故D错误. 11.随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P a 其中ab≠0，则下列说法正确的是(　　) A.a+b＝1 B.Eξ＝ C.Dξ随b的增大而减小 D.Dξ有最大值 答案　ABD 解析　由题意可知a++＝1，即a+b＝1，所以A正确； Eξ＝0·a+1·+2·，所以B正确； Dξ＝a++ ＝－b2+b，b∈(0，1)， 所以Dξ在上单调递增，在上单调递减，所以Dξ先增大后减小，有最大值，当b＝时取得最大值，所以C错误，D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.如果正态分布总体的数据落在(－3，－1)内的概率和落在(3，5)内的概率相等，那么这个正态分布总体的均值是　　　　. 答案　1 解析　正态分布总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的部分的面积相等，区间(－3，－1)和(3，5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的.因为正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的意义就是均值，而区间(－3，－1)和(3，5)关于直线x＝1对称，所以正态分布总体的均值是1. 13.袋中有4个红球、3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝　　　　. 答案　 解析　P(X≤6)＝P(X＝4)+P(X＝6) ＝. 14.王先生家住A小区，他在B科技园区工作，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，，若走L1路线，王先生最多遇到1次红灯的概率为　　　　，若走L2路线，王先生遇到红灯次数X的均值为　　　　. 答案　　 解析　走L1路线最多遇到1次红灯的概率为 ×+××， 依题意X的可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝×， P(X＝1)＝×+×， P(X＝2)＝×， 则EX＝0×+1×+2×. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中： (1)至少有1棵成活的概率；(6分) (2)两种大树各成活1棵的概率.(7分) 解　设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1，2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1，2， 则A1，A2，B1，B2相互独立， 且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝. (1)至少有1棵成活的概率为1－P()＝1－P()P()P()P() ＝1－×. (2)两棵大树各成活1棵的概率为 P＝××. 16.(15分)某工厂有4条流水线生产同一种产品，4条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，且这4条流水线的不合格品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02，现从该厂的产品中任取一件，问抽到合格品的概率为多少？ 解　设事件Bi为“任取一件产品，恰好抽到第i条流水线的产品”，i＝1，2，3，4，事件A为“任取一件产品，抽到合格品”，则 P(A)＝P(Bi)P(A|Bi) ＝P(Bi)[1－P(|Bi)] ＝0.15×(1－0.05)+0.20×(1－0.04)+0.30×(1－0.03)+0.35×(1－0.02) ＝0.15×0.95+0.20×0.96+0.30×0.97+0.35×0.98＝0.968 5. 17.(15分)基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2023年有3 500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩ξ~N(μ，100)，且P(ξ≤50)＝P(ξ≥70).笔试成绩高于70分的学生进入面试环节. (1)从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有一人进入面试的概率；(6分) (2)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为，，，.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和均值.(9分) (附：若ξ~N(μ，σ2)，则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5，0.841 3510≈0.177 7，0.977 2510≈0.794 4) 解　(1)∵P(ξ≤50)＝P(ξ≥70)， ∴μ＝＝60. 设“至少有一名学生进入面试”为事件A， ∵μ＝60，σ＝10， ∴P(ξ≤70)=+≈=0.841 35， ∴P(A)≈1-0.841 3510≈1-0.177 7=0.822 3， 故10人中至少有一人进入面试的概率约为0.822 3. (2)X的可能取值为0，1，2，3，4. P(X＝0)＝×， P(X＝1)＝×××+×××， P(X＝2)＝×+×××××+×， P(X＝3)＝×××+×××， P(X＝4)＝×， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ∴EX＝0×+1×+2×+3×+4×. 18.(17分)某大型企业组织员工进行爱心捐款活动.原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如表所示： 员工 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 捐款 数额 120 80 215 50 130 195 300 90 200 225 (1)若从这10名员工中随机选取2人，求选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；(7分) (2)若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为X，求X的分布列和均值.(10分) 解　(1)10名员工中捐款数额大于200元的有3人，低于200元的有6人， 故选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率为P＝. (2)由题知，10名员工中捐款数额大于200元的有3人， 则随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P EX＝0×+1×+2×+3×. (用超几何分布公式EX＝计算同样得分) 19.(17分)品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为a1，a2，a3，…，an，并令X＝|i－ai|，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分. (1)当n＝3时，若a1，a2，a3等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列；(7分) (2)当n＝4时， ①若a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算X≤2的概率；(5分) ②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有X≤2(各轮测试相互独立)，你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由.(5分) 解　(1)a1，a2，a3的排序共有＝6(种)，且每种排序等可能， 此时X的可能取值为0，2，4， 当X＝0时，a1，a2，a3的排序为1，2，3， P(X＝0)＝； 当X＝2时，a1，a2，a3的排序为1，3，2或2，1，3， P(X＝2)＝； 当X＝4时，a1，a2，a3的排序为3，2，1或2，3，1或3，1，2， P(X＝4)＝， 所以X的分布列为 X 0 2 4 P (2)①a1，a2，a3，a4的排序共有＝24(种)，且每种排序等可能， 易知a1，a2，a3，a4的排序必有偶数个位置变化，故|i－ai|必为偶数， 当X＝0时，a1，a2，a3，a4的排序与第一次排序无变化， 此时仅有1种排序：1，2，3，4，则P(X＝0)＝； 当X＝2时，a1，a2，a3，a4的排序与第一次排序相比仅有相邻的两个位置变化， 此时有3种排序：2，1，3，4、1，3，2，4、1，2，4，3， 则P(X＝2)＝， 所以P(X≤2)＝P(X＝0)+P(X＝2)＝+. ②因为各轮测试相互独立， 所以“连续三轮测试中，都有X≤2”的概率为<， 所以是一个小概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小， 所以我们认为该品酒师有良好的鉴别能力，不是靠随机猜测. 学科网（北京）股份有限公司 $