第2章 再练一课(范围：§2～§3)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线定义与性质，以题载法构建"定义应用-性质推导-综合应用"的逻辑体系，强化直观想象与数学推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|12题|定义转化法、几何性质法、方程思想、对称求最值|从抛物线/双曲线定义出发，通过离心率、焦点距离等性质构建知识网络，形成"概念-性质-应用"的递进关系| |解答题|3题|轨迹方程法、参数法、不等式求范围|以动圆轨迹、隧道模型为载体，体现数学建模思想，强化代数运算与几何直观的融合|

再练一课(范围：§2~§3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知抛物线C：y2＝8x上的点P到焦点的距离为6，则P到y轴的距离是(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案　B 解析　如图.由y2＝8x⇒＝2，根据抛物线定义得，|PF|＝|PH|＝|PG|+|GH|＝6⇒|PG|＝6－|GH|＝6－2＝4，则P到y轴的距离是4. 2.若椭圆＝1与双曲线＝1有公共焦点，则m等于(　　) A.－2 B.1 C.2 D.3 答案　B 解析　由双曲线＝1可知，椭圆和双曲线的焦点在x轴上，m>0.依题意椭圆＝1与双曲线＝1有公共焦点，所以4－m2＝m+2，即m2+m－2＝0，由于m>0，故上式解得m＝1. 3.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的实轴长为(　　) A. B.3 C.2 D.6 答案　D 解析　由题意，双曲线的一条渐近线为y＝－x， 即bx+ay＝0， 设双曲线的右焦点为F(c，0)，c>0， 则c2＝a2+b2， 所以焦点到渐近线的距离d＝＝b＝3，又离心率e＝， 所以a＝3，所以双曲线C的实轴长为2a＝6. 4.已知点A(0，2)，抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶，则a的值为(　　) A. B. C.1 D.4 答案　D 解析　如图，依题意知点F的坐标为，设M在抛物线准线上的射影为K. 由抛物线的定义知 |MF|＝|MK|， 所以|KM|∶|KN|＝1∶2， 所以|KN|∶|KM|＝2∶1. 因为kFN＝＝－，kFN＝－＝－2， 所以＝2，解得a＝4. 5.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2+y2＝6相交于A，B两点，且|AB|＝4，则此双曲线的离心率为(　　) A.2 B. C. D. 答案　D 解析　设双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为bx－ay＝0，∵|AB|＝4，r＝， ∴圆心(2，0)到渐近线的距离为， 即， 解得b＝a，∴c＝a， ∴此双曲线的离心率为e＝. 6.已知抛物线C：y＝x2的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线C上，且|AF|＝2，P是抛物线C的准线上的一动点，则|PA|+|PO|的最小值为(　　) A. B.2 C.3 D.2 答案　A 解析　易得抛物线的准线方程为y＝－1. ∵|AF|＝2，∴点A到准线的距离为2， 故A点的纵坐标为1， 把y＝1代入抛物线方程，可得x＝±2. 不妨设点A在第一象限，则A(2，1)， 设点O关于准线y＝－1的对称点为M， 则M(0，－2)，连接AM，PM， 如图，则|PO|＝|PM|，于是|PA|+|PO|＝|PA|+|PM|≥|AM|， 当且仅当A，P，M三点共线时，等号成立. 故|PA|+|PO|的最小值为|AM|＝. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知双曲线C：x2－＝1，则下列说法正确的是(　　) A.双曲线C与圆+y2＝1有3个公共点 B.双曲线C的离心率与椭圆＝1的离心率的乘积为1 C.双曲线C与双曲线－x2＝1有相同的渐近线 D.双曲线C的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同 答案　BCD 解析　由已知得双曲线C中， a＝1，b＝， c＝＝2， 所以双曲线C的焦点为(±2，0)， 顶点为(±1，0)，作图可知A不正确； 渐近线方程为y＝±x＝±x， 离心率为＝2. 椭圆＝1的离心率为，2×＝1，故B正确； 双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故C正确； 抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2，0)，故D正确. 8.已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为线段FN的中点，则(　　) A.C的准线方程为x＝－4 B.点F的坐标为(0，4) C.|FN|＝12 D.△ONF的面积为16(O为坐标原点) 答案　ACD 解析　如图，不妨设点M位于第一象限，抛物线的准线l与x轴交于点F'，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A. 由抛物线的标准方程可得其准线方程为x＝－4， 点F的坐标为(4，0)，故A正确，B错误；|AN|＝4，|FF'|＝8， 在直角梯形ANFF'中，易得|MB|＝＝6，由抛物线的定义得|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，故|FN|＝|FM|+|MN|＝6+6＝12，故C正确；|ON|＝＝8，S△ONF＝×4×8＝16，故D正确. 9.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的焦距为6，一条渐近线方程为y＝x，A，B分别是双曲线C的左、右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是(　　) A.双曲线C的离心率为 B.双曲线C的方程为＝1 C.k1k2＝ D.存在点P，使得＝2 答案　BCD 解析　选项A，因为双曲线C的一条渐近线方程为y＝x， 所以e2＝＝1+＝1+， 即双曲线C的离心率为，A错误； 选项B，双曲线C的焦距为6，所以c＝3，a＝2，b2＝5， 双曲线C的方程为＝1，B正确； 选项C，设P(x，y)，x>0，y>0，且A(－2，0)，B(2，0)， 则k1k2＝·，C正确； 选项D，若(k1+k2)＝2， 则k1+k2＝，所以k1，k2是方程k2－k+＝0的两个根， Δ＝>0，故方程有解，满足题意. 由k1+k2＝，化简得5x2－20＝4xy， ① 由k1k2＝，化简得5x2－20＝4y2， ② 又x>0，y>0， 联立①②得x＝y＝2，即存在点P(2，2)，满足＝2，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程为　　　　　. 答案　＝1 解析　设所求双曲线方程为＝1(16－k>0，4+k>0)，因为双曲线过点(3，2)，所以＝1，解得k＝4或k＝－14(舍去).所以所求双曲线的标准方程为＝1. 11.已知抛物线C：y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则点M的横坐标是　　　　；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝　　　　. 答案　5　4 解析　由题意得点F(1，0)，设点M(x，±2)(x>0)， 则|FM|＝＝6，解得x＝5(x＝－7舍去). 从而点M的坐标为(5，±2).易得点N(5，0)， 从而S△FMN＝(xN－xF)·|MN|＝×4×2＝4. 12.已知F1，F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，若△ABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是　　　　　　　　. 答案　(1，1+) 解析　由已知条件易求|AF1|＝， tan∠AF2F1＝， 由于△ABF2为锐角三角形， 则有tan∠AF2F1＝<tan 45°＝1， 整理得b2<2ac， ∴c2－a2－2ac<0， 两边同时除以a2得e2－1－2e<0， 解得1－<e<1+， 又e∈(1，+∞)， 故离心率的取值范围是(1，1+). 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2. (1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；(6分) (2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程.(6分) 解　(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0， 则MF1⊥MF2， 设|MF1|＝m，|MF2|＝n， 由双曲线定义，知m－n＝2a＝8， ① 又m2+n2＝(2c)2＝80， ② 由①②得mn＝8， ∴mn＝4＝|F1F2|·h，∴h＝. (2)设所求双曲线C的方程为＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C过点(3，2)， ∴＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)， ∴所求双曲线C的方程为＝1. 14.(12分)某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4.5 m，此车能否通过此隧道？说明理由. 解　取抛物线顶点为原点，水平向右为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示. 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 当x＝3时，y＝－3， 即取抛物线与矩形的交点(3，－3)， 代入x2＝－2py，得9＝6p，则p＝， 故抛物线方程为x2＝－3y. 已知集装箱的宽为3 m， 取x＝，则y＝－x2＝－. 而隧道高为5 m，5 m－ m＝ m<4.5 m. 所以卡车不能通过此隧道. 15.(13分)已知动圆过定点(4，0)，且在y轴上截得的弦长为8. (1)求动圆圆心C的轨迹方程；(5分) (2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y＝x+4和y轴的距离之和的最小值.(8分) 解　(1)设圆心C的坐标为(x，y)， 则半径r＝， 又动圆在y轴上截得的弦长为8， 所以42+x2＝(x－4)2+y2，化简得y2＝8x， 即动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x. (2)如图，设轨迹C的焦点为F，则F(2，0)，点P到直线y＝x+4的距离为|PP1|，到y轴的距离为|PP2|，点F到直线y＝x+4的距离为|FF1|， 由抛物线的定义，可知|PP2|＝|PF|－2， 所以|PP1|+|PP2|＝|PP1|+|PF|－2， 由图可知|PP1|+|PF|的最小值为点F到直线y＝x+4的距离， 所以(|PP1|+|PF|)min＝|FF1|＝＝3， 所以|PP1|+|PP2|的最小值为3－2. 学科网（北京）股份有限公司 $