5.1 基本计数原理-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 §1　基本计数原理 1．1　分类加法计数原理 1．2　分步乘法计数原理 1．3　基本计数原理的简单应用 知识点一　分类加法计数原理 1．某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有(　　) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 答案　C 解析　分两类：买1本书，买2本书，各类购书方式依次有2种、1种，故共有2＋1＝3种购买方式． 2．某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有(　　) A．24种 B．9种 C．3种 D．26种 答案　B 解析　不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选一本阅读，共有9种不同的选法． 3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定的不同的平面个数为(　　) A．40 B．16 C．13 D．10 答案　C 解析　分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理，共可以确定8＋5＝13个不同的平面． 知识点二　分步乘法计数原理 4．已知x∈{2，3，7}，y∈{－3，－4，8}，则xy可表示不同的值的个数为(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 答案　D 解析　分两步：第1步，在集合{2，3，7}中任取一个值，有3种不同取法；第2步，在集合{－3，－4，8}中任取一个值，有3种不同取法，故xy可表示3×3＝9个不同的值． 5．现有太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只能报名参加一项，且甲、乙不能参加同一项，则不同的报名方法有(　　) A．27种 B．54种 C．64种 D．81种 答案　B 解析　甲有三个培训班可选，甲、乙不参加同一项，所以乙有两个培训班可选，丙、丁各有三个培训班可选，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法有3×2×3×3＝54种． 6．从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个不同元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条． 答案　30 解析　因为直线经过坐标原点，所以C＝0，从集合中的6个非零元素中任取一个作为系数A，有6种方法，再从其余的5个元素中任取一个作为系数B，有5种方法，由分步乘法计数原理，得符合条件的直线共有1×6×5＝30条． 知识点三　基本计数原理的简单应用 7．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取2本不同学科的书，则不同的取法种数为(　　) A．72 B．80 C．90 D．242 答案　D 解析　可分为三类：第1类，取出的2本书中，1本数学书，1本语文书，根据分步乘法计数原理，有10×9＝90种不同的取法；第2类，取出的2本书中，1本语文书，1本英语书，有9×8＝72种不同的取法；第3类，取出的2本书中，1本数学书，1本英语书，有10×8＝80种不同的取法．由分类加法计数原理，知共有90＋72＋80＝242种不同的取法． 8．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有(　　) A．360种 B．50种 C．60种 D．90种 答案　B 解析　第1类，甲同学选择牛，乙同学有2种选法，丙同学有10种选法，有1×2×10＝20种选法；第2类，甲同学选择马，乙同学有3种选法，丙同学有10种选法，有1×3×10＝30种选法，所以共有20＋30＝50种不同的选法．故选B． 9．给一个凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但相邻边的颜色不同，则不同的染色方法有________种． 答案　30 解析　如图，染边1时有3种染法，染边2时有2种染法． (1)当边3与边1同色时，边3有1种染法，则边4有2种染法，边5有1种染法，此时染法有3×2×1×2×1＝12种． (2)当边3与边1不同色时，边3有1种染法，①当边4与边1同色时，边4有1种染法，边5有2种染法；②当边4与边1不同色时，边4有1种染法，边5有1种染法，则此时染法有3×2×1×(1×2＋1×1)＝18种． 由分类加法计数原理，可得不同的染色方法有12＋18＝30种． 10．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的有28人，A型血的有7人，B型血的有9人，AB型血的有3人． (1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？ (2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？ 解　从O型血的人中选1人，有28种不同的选法； 从A型血的人中选1人，有7种不同的选法； 从B型血的人中选1人，有9种不同的选法； 从AB型血的人中选1人，有3种不同的选法． (1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成．所以由分类加法计数原理知，有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法． (2)从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成．所以由分步乘法计数原理知，有28×7×9×3＝5292种不同的选法． 一、选择题 1．如图，在由开关组A与B组成的并联电路(规定只能合上其中一个开关)中，接通电源使灯泡发光的不同方法有(　　) A．2种 B．3种 C．5种 D．6种 答案　C 解析　要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，在由开关组A与B组成的并联电路中，只要合上其中的任一开关，接通电源，灯泡就会发光．因此对完成这件事进行分类，而每一类都可以独立完成这件事(使灯泡发光)，所以接通电源使灯泡发光的方法有2＋3＝5种． 2．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　) A．14 B．13 C．12 D．10 答案　B 解析　当a＝0时，易知满足题意的(a，b)有4个．当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1．若a＝－1，则b的取值有4个；若a＝1，则b的取值有3个；若a＝2，则b的取值有2个，所以a≠0时满足题意的(a，b)有9个．综上，满足题意的有序数对(a，b)的个数为4＋9＝13． 3．从1，3，5，7，9这五个数字中，每次取出两个不同的数字分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　) A．9 B．10 C．18 D．20 答案　C 解析　分两步完成：第1步，取数字a，有5种不同的取法；第2步，取数字b，有4种不同的取法．所以可以得到5×4＝20个不同的差式lg a－lg b，但其中lg 9－lg 3＝lg 3－lg 1，lg 3－lg 9＝lg 1－lg 3，故不同的值有18个． 4．甲、乙两人从4门不同的课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有(　　) A．6种 B．12种 C．24种 D．30种 答案　C 解析　分步完成：第1步，甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法；第2步，甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法；第3步，乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法．由分步乘法计数原理知，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24种． 5．[多选]下列说法正确的是(　　) A．由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数 B．由数字1，2，3，4能够组成16个没有重复数字的三位偶数 C．由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码 D．由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数 答案　ACD 解析　由数字1，2，3，4能够组成4×3×2＝24个没有重复数字的三位数，故A正确；若三位数是偶数，则个位可以是2，4，则能够组成3×2×2＝12个没有重复数字的三位偶数，故B错误；数字1，2，3，4能够组成4×4×4＝64个三位密码，故C正确；若三位数比320大，则百位是4时，有4×4＝16个，若百位是3，则十位可以是2，3，4，个位可以是1，2，3，4，共有3×4＝12个，则比320大的三位数有12＋16＝28个，故D正确．故选ACD． 二、填空题 6．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，则从这4个拨号盘上各取1个数字可以组成________个四位数字的号码． 答案　10000 解析　要完成“组成四位数字的号码”这件事，需分四步： 第1步：取第1个拨号盘上的1个数字，有10种不同的方法； 第2步：取第2个拨号盘上的1个数字，有10种不同的方法； 第3步：取第3个拨号盘上的1个数字，有10种不同的方法； 第4步：取第4个拨号盘上的1个数字，有10种不同的方法． 根据分步乘法计数原理，4个拨号盘上各取1个数字可以组成10×10×10×10＝10000个四位数字的号码． 7．从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成________个不同的二次函数，其中不同的偶函数有________个． 答案　18　6 解析　一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理，知共有3×3×2＝18个不同的二次函数．不同的偶函数的个数为3×2＝6． 8．从集合{1，2，3，4，…，10}中选出5个元素组成子集，使得这5个元素中任意两个元素的和都不等于11，则这样的子集有________个． 答案　32 解析　先把集合中的元素分成5组：{1，10}，{2，9}，{3，8}，{4，7}，{5，6}，由于选出的5个元素中，任意两个元素的和都不等于11，所以从每组中任选1个元素即可，故共可组成2×2×2×2×2＝32个满足题意的子集． 三、解答题 9．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一种，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和会日语的各1人，共有多少种不同的选法？ 解　由题意，可得此外语组有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．若既会英语又会日语的人未被选中，则有6×2＝12种选法；若既会英语又会日语的人被选中，则有6＋2＝8种选法．所以共有12＋8＝20种不同的选法． 10．如图，有4个编号为1，2，3，4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？ 解　分为两类： 第1类：若1，3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种涂法(与1相同)，4有4种涂法． 故N1＝5×4×1×4＝80种． 第2类：若1，3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法． 故N2＝5×4×3×3＝180种． 综上可知，不同的涂色方法共有N＝N1＋N2＝80＋180＝260种． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$