第5章 2.2 第2课时 排列的综合问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学排列的综合问题，基于排列基本概念与排列数公式，系统梳理“在”与“不在”“邻”与“不邻”、定序等有限制条件的排列类型，通过11个典型例题构建从具体问题到方法归纳的学习支架，涵盖捆绑法、插空法、间接法等解题策略。 本资料以生活情境（如排队问题）为载体，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过分类讨论与逻辑推理（数学思维）掌握解题方法，用规范数学语言（排列数公式）表达过程。课中例题解析与方法归纳助力教师高效授课，课后跟踪训练与分层练习帮助学生查漏补缺，提升应用意识与实践能力。

第2课时　排列的综合问题 学习目标　1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题. 有限制条件的排列问题 例　身高各不相同的3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法种数. (1)选5名同学排成一排； (2)全体站成一排，甲、乙不在两端； (3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端； (4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； (5)全体站成一排，男生排在一起； (6)全体站成一排，男生彼此不相邻； (7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻； (8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人； (9)排成前后两排，前排3人，后排4人； (10)全体站成一排，其中三名男生按身高从左到右依次变矮排列； (11)全体站成一排，其中三名男生按身高从高到矮排列. 解　(1)无条件的排列问题，排法有＝2 520(种). (2)先安排甲、乙在中间有种，再安排余下的5人有种，排法共有＝2 400(种). (3)排法有－2＝3 720(种)，其中是甲在最左端或乙在最右端的排法，是甲在最左端且乙在最右端的排法. (4)把男生看成一个整体有种排法，再把女生看成一个整体有种排法，再把这两个整体全排列，共有＝288(种)排法. (5)把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列，共有＝720(种)排法. (6)不相邻问题(插空法)：先排女生，有种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有＝1 440(种)排法. (7)对比(6)，让女生插空，共有＝144(种)排法. (8)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有(＝960(种)排法. (9)分步完成共有＝5 040(种)排法. (10)共有＝840(种)排法. (11)共有×2＝1 680(种)排法. 反思感悟　(1)“在”与“不在”排列问题解题原则及方法 ①原则：谁特殊谁优先. ②方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排剩余位置. (2)“相邻”与“不相邻”问题的求解策略 ①原则：先整体，后局部. ②方法：元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素，与其余元素全排列，然后“松绑”，将这若干个元素内部全排列； 元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素. (3)在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻).解决这类问题的基本方法有两个： ①整体法，即若有(m+n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m+n)个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法； ②插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中. 跟踪训练　(1)(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是(　　) A.共计有720种不同的排法 B.男生甲排在两端的排法共有120种 C.男生甲、乙相邻的排法总数为120种 D.男女生相间的排法总数为72种 答案　BC 解析　3男3女排成一排的排法共计有＝720(种)；男生甲排在两端的排法共有2＝240(种)；男生甲、乙相邻的排法总数为＝240(种)；男女生相间的排法总数2＝72(种). (2)某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相. ①其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？ ②3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？ 解　①5位嘉宾无约束条件的出场顺序有种，由于3位老者的排列顺序已定，因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有＝20(种). ②设符合条件的出场顺序共有x种， 用①的方法可得x··， 解得x＝＝10. 1.知识清单： (1)有限制条件的排列问题. (2)“在”与“不在”、“邻”与“不邻”、定序问题. 2.方法归纳：捆绑法、插空法、定序问题除法处理、间接法. 3.常见误区：分类讨论时，出现重复或遗漏，各种方法使用不当. 1.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有(　　) A.6种 B.9种 C.18种 D.24种 答案　C 解析　先排体育有种，再排其他的三科有种，共有＝18(种). 2.6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有(　　) A.720种 B.360种 C.240种 D.120种 答案　C 解析　将甲、乙两人视为1人与其余4人排列，有种排列方法，甲、乙两人可互换位置，所以总的排法有·＝240(种). 3.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为(　　) A.144 B.72 C.36 D.12 答案　A 解析　先将老师排好，有种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有种排法，故共有＝144(种)排法. 4.用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有　　个七位数符合条件. 答案　210 解析　若1，3，5，7的顺序不定， 则4个数字有＝24(种)排法， 故1，3，5，7的顺序一定的排法只占全排列种数的.故有×＝210(个)七位数符合条件. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共12分 1.6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有(　　) A.30种 B.144种 C.5种 D.4种 答案　B 解析　先排除甲、乙、丙以外的3人，有种排法， 将甲、乙、丙3人插入4个空中，有种排法， 由分步乘法计数原理可得，甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有＝6×24＝144(种). 2.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　) A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 答案　B 解析　第一类：甲在最左端，有＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4＝4×4×3×2×1＝96(种)排法.所以共有120+96＝216(种)排法. 3.(多选)象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值.它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子.现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是(　　) A.共有120种排列方式 B.若两个“将”相邻，则有24种排列方式 C.若两个“将”不相邻，则有36种排列方式 D.若同色棋子不相邻，则有12种排列方式 答案　AD 解析　A选项，由排列知识可得共有＝120(种)排列方式，故A正确； B选项，两个“将”捆绑，有＝2(种)排列方式，再和剩余的3个棋子进行全排列，共有2＝48(种)排列方式，故B错误； C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，共有4个空，再将两个“将”插空，共有＝72(种)排列方式，故C错误； D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，共有3个空，再将3个红色的棋子进行插空，则有＝12(种)排列方式，故D正确. 4.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　) A.3×3！ B.3×(3！)3 C.(3！)4 D.9！ 答案　C 解析　利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为·()3＝(3！)4. 5.某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加2名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有(　　) A.12种 B.30种 C.36种 D.42种 答案　D 解析　方法一　由于原来5名同学顺序不变，这5名同学共有6个空位，再增加2名同学时，可分为两步进行，第一步安排第一名同学，有6种不同的方法，此时变成7个空位，再把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法，故共有6×7＝42(种)不同的顺序. 方法二　先将所有同学重排，共有种方法，而原来5名同学共有种不同顺序，因此共有÷＝42(种)顺序. 6.身高各不相同的六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，则下列说法错误的是(　　) A.A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站成一排，共有120种站法 B.A与C同学不相邻，共有种站法 C.A，C，D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D.A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 答案　C 解析　对于A，将A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站成一排，共有＝120(种)站法，故A正确； 对于B，先排B，D，E，F四位同学，共有种站法，A与C同学插入5个空中，有种站法，共有种站法，故B正确； 对于C，将A，C，D三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况，捆绑后与其余三名同学全排列，有种站法，共有2＝48(种)站法，故C错误； 对于D，当A在排尾时，B随意站，则有＝120(种)站法；当A不在排头也不在排尾时，A有种站法，B有种站法，剩下的同学随意站有种站法，共有＝384(种)站法， 故A不在排头，B不在排尾，共有120+384＝504(种)站法，故D正确. 7.(5分)有2名老师和3名学生站成一排照相，若这2名老师都不站在两端，则不同的站法共有　　　　种.(用数字作答) 答案　36 解析　2名老师都不站在两端，有种站法；剩下3个位置，站3名学生，有种站法， 故不同的站法共有＝36(种). 8.(5分)两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园.为了安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为　　　　　. 答案　24 解析　分3步进行分析， ①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有＝2(种)排法， ②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有＝2(种)排法， ③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有＝6(种)排法. 则共有2×2×6＝24(种)排法. 9.(10分)一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单. (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(5分) (2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？(5分) 解　(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有种排法，故共有不同排法＝14 400(种). (2)先不考虑排列要求，有种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有＝37 440(种). 10.(11分)甲、乙、丙等7人站成一排. (1)甲、乙两人中间必须有3人，有多少种不同排法？ (5分) (2)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(6分) 解　(1)从甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，有种排法，甲、乙互换位置，有种排法，甲、乙及中间3人看作一个整体和其余2人共3个元素排成一排，有种排法，所以共有＝720(种)排法. (2)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有种排法； 由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有种排法； 最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，则有种排法.所以共有＝960(种)不同的排法. 11.某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为(　　) A.48 B.72 C.120 D.240 答案　C 解析　若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有＝48(种)不同的分配方法， 若甲、乙2个家庭的5张票不连号，则有＝72(种)不同的分配方法， 综上，这8张门票共有48+72＝120(种)不同的分配方法. 12.某单位安排7位员工在国庆节假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有(　　) A.504种 B.960种 C.1 008种 D.1 200种 答案　C 解析　依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方案共有＝1 440(种)， 其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方案共有＝240(种)； 满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方案共有＝240(种)； 满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班，丁在10月7日值班的方案共有＝48(种).因此满足题意的方案共有1 440－2×240+48＝1 008(种). 13.(多选)如图，某高速服务区停车场中有A至H共8个停车位(每个车位只能停一辆车)，现有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则(　　) A B C D E F G H A.4辆车的停车方法共有1 680种 B.4辆车恰好停在同一行的停车方法共有48种 C.2辆黑色车恰好相邻(停在同一行或同一列)的停车方法共有300种 D.相同颜色的车不停在同一行，也不停在同一列的概率是 答案　ABD 解析　对于A，4辆车的停车方法共有＝1 680(种)，A正确； 对于B，4辆车恰好停在同一行的停车方法共有2＝48(种)，B正确； 对于C，2辆黑色车相邻且停在同一行有6种选择，停在同一列有4种选择，黑色车的停车方法共有(6+4)×种，白色车的停车方法共有种，共有(6+4)×＝600(种)方法，C错误； 对于D，相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，第一辆黑色车8个车位都可停车， 第二辆黑色车只能有3个车位可停车，黑色车共有(8×3)种停车方法， 不妨设黑色车停在A，F两个车位，则两辆白色车只能停在BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG车位，共7种选择， 白色车的停车方法共有(2×7)种方法，故共有(8×3×2×7)种方法，其概率P＝，D正确. 14.如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过的顺序共有(　　) A.10种 B.20种 C.60种 D.120种 答案　A 解析　相当于把5辆汽车全排列，其中左车道2辆汽车顺序不变，右车道3辆汽车顺序不变，所以合流结束时汽车通过的顺序共有＝10(种). 15.在探索系数A，ω，φ，b对函数y＝Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)图象的影响时，我们发现，系数A对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数φ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”.运用上述四种变换，若函数f(x)＝sin x的图象经过四步变换得到函数g(x)＝2sin+1的图象，且已知其中有一步是向右平移个单位长度，则变换的方法共有(　　) A.6种 B.12种 C.16种 D.24种 答案　B 解析　根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换，共四步， 因为左右平移变换是向右平移个单位长度， 所以要求左右平移变换在周期变换之前， 所以变换的方法共有＝12(种). 16.(12分)现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色路灯.如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法？ 解　安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，这说明三种颜色的路灯的分配情况只能是2，2，3盏的形式. 先讨论颜色，在选择颜色时有3种方法，选好了一种颜色后，安装时采用插空的方式. 下面不妨就选择的是2盏红灯、2盏黄灯、3盏蓝灯来讨论. 先排2盏红灯、2盏黄灯，若2盏红灯、2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排法，共有6种不同的安装方法； 若2盏红灯、2盏黄灯分别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排下去有10种安装方法，所以有20种不同的安装方法； 若2盏红灯、2盏黄灯恰有一种颜色相邻，则有2×6＝12(种)不同的安装方法. 综上，共有3×(6+20+12)＝114(种)不同的安装方法. 学科网（北京）股份有限公司 $