第五章 2.2 第2课时 排列的综合问题（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦排列的综合应用这一核心知识点，在排列概念与公式基础上，系统梳理元素“在与不在”“相邻与不相邻”“定序”三类有限制条件的排列问题，构建从基础到复杂的学习支架。 资料以亚运会吉祥物排列、师生排队等实际情境为例，引导学生用数学眼光抽象排列模型，通过一题多解（如间接法、捆绑法）培养数学思维中的逻辑推理能力，规范解法书写提升数学语言表达准确性。课中助力教师分层教学，课后便于学生回顾强化，弥补知识盲点。

第2课时　排列的综合问题 [学习目标]　1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题． 一、元素的“在”与“不在”问题 例1　六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站右端，也不站左端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． 解　(1)方法一　(位置分析法)　因为甲不站左右两端， 故先从甲以外的5人中任选2人站在左右两端，有A种站法，再让剩下的4人站在中间的4个位置上，有A种站法，故共有A·A＝480(种)站法． 方法二　(间接法)　在排列时，我们对6人不考虑甲站位的要求做全排列，有A种站法，但其中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站在左端或右端的情况，有2A种站法，故共有A－2A＝480(种)站法． (2)(元素分析法)　首先考虑特殊元素，让甲、乙先站在两端，有A种站法，再让其他4人在中间4个位置做全排列，有A种站法．故共有A·A＝48(种)站法． (3)方法一　(间接法)　甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，而甲在左端且乙在右端的站法有A种， 故甲不站左端，乙不站右端共有A－2A＋A＝504(种)站法． 方法二　(直接法)　以元素甲的位置进行考虑，可分两类，第1类，甲站右端，有A种站法； 第2类，甲站中间4个位置之一，且乙不站右端，可先排甲后排乙，再排其余4个，有A·A·A种站法． 故共有A＋A·A·A＝504(种)站法． 反思感悟　解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法． 排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”． 跟踪训练1　5名学生和1位老师站成一排照相，老师不排在两端的排法有多少种？ 解　方法一　(先满足特殊位置)由于排头和排尾两个位置有限制要求，因此先从5名学生中选出2名站在排头和排尾，有A种方法，余下的四人可任意站，有A种方法， 所以符合要求的排法为A·A＝480(种)． 方法二　(先满足特殊元素)老师既然不能排在两端，于是可以从中间四个位置中任选一个，有A种方法.5名学生在余下的五个位置中任意排列，有A种排法．因此符合题意的排法有AA＝480(种)． 方法三　(间接法)由于六个人任意排有A种排法，但实际必须减去老师排在排头的A种方法和排在排尾的A种方法，因而有A－2A＝480(种)． 二、“相邻”与“不相邻”问题 例2　3名男生，4名女生，这7个人站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)男、女各站在一起； (2)男生必须排在一起； (3)男生不能排在一起； (4)男生互不相邻，且女生也互不相邻． 解　(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法， 女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法， 全体男生、女生各看作一个元素全排列有A种排法， 由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288(种)排法． (2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列， 故有A·A＝720(种)不同的排法． (3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，故有A·A＝1 440(种)不同的排法． (4)先排男生有A种排法，让女生插空，有AA＝144(种)不同的排法． 反思感悟　处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则． (1)元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列． (2)元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． 跟踪训练2　(1)第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数为(　　) A．48 B．24 C．12 D．6 答案　A 解析　由题意，因为名称相同的两个吉祥物相邻，分别看成一个元素，共有A种排法， 相邻元素内部再排共有A·A·A种排法， 故共有A·(A)3＝48(种)排法． (2)(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是(　　) A．共计有720种不同的排法 B．男生甲排在两端的排法共有120种 C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种 D．男女生相间的排法总数为72种 答案　BC 解析　3男3女排成一排的排法共计有A＝720(种)；男生甲排在两端的排法共有2A＝240(种)；男生甲、乙相邻的排法总数为AA＝240(种)；男女生相间的排法总数2AA＝72(种)． 三、定序问题 例3　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有多少种不同的排列方法？ 解　5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法． 方法一　(整体法)5个元素无约束条件的全排列有A种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2＝40(种)． 方法二　(插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的4个空中，分两类： 第一类，若字母D，E相邻，则有A·A种排法； 第二类，若字母D，E不相邻，则有A种排法． 所以有A·A＋A＝20(种)不同的排列方法． 同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法． 因此满足条件的排列有20＋20＝40(种)． 反思感悟　在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个： (1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法． (2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中． 跟踪训练3　7人站成一排． (1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？ (2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？ 解　(1)甲在乙前面的排法种数占全排列种数的一半，故有＝2 520(种)不同的排法． (2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的. 故有＝840(种)不同的排法． 1．知识清单： (1)有限制条件的排列问题． (2)“在”与“不在”、“邻”与“不邻”、定序问题． 2．方法归纳：捆绑法、插空法、定序问题除法处理、间接法． 3．常见误区：分类讨论时，出现重复或遗漏，各种方法使用不当． 1．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有(　　) A．6种 B．9种 C．18种 D．24种 答案　C 解析　先排体育有A种，再排其他的三科有A种，共有AA＝18(种)． 2．6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有(　　) A．720种 B．360种 C．240种 D．120种 答案　C 解析　将甲、乙两人视为1人与其余4人排列，有A种排列方法，甲、乙两人可互换位置，所以总的排法有A·A＝240(种)． 3．3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为(　　) A．144 B．72 C．36 D．12 答案　A 解析　先将老师排好，有A种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有A种排法，故共有AA＝144(种)排法． 4．用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件． 答案　210 解析　若1,3,5,7的顺序不定， 则4个数字有A＝24(种)排法， 故1,3,5,7的顺序一定的排法只占全排列种数的.故有×A＝210(个)七位数符合条件． [分值：100分] 单选题每小题5分，共50分 1．身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有(　　) A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 答案　C 解析　由题意得，先排穿红色衣服的2人，构成三个空，再把一个穿黄色衣服的安排在最中间的空中，把另一个穿黄色衣服的安排在两边的空中，所以共有AAA＝8(种)． 2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　) A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 答案　B 解析　第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．所以共有120＋96＝216(种)排法． 3．4名运动员参加4×100 m接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有(　　) A．12种 B．14种 C．16种 D．24种 答案　B 解析　若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A＝24(种)排法，甲跑第一棒有A＝6(种)排法，乙跑第4棒有A＝6(种)排法，甲跑第一棒且乙跑第四棒有A＝2(种)排法，共有A－2A＋A＝14(种)不同的出场顺序． 4．2024年贵州榕江的“村超”联赛开启新赛季，A组六个参赛队伍代表站成一排照相，如果丰乐村足球队与归柳村足球队必须相邻，同时三盘村足球队与苗本村足球队不能相邻，那么不同的站法种数为(　　) A．144 B．72 C．36 D．24 答案　A 解析　先将不相邻的两队排除，将丰乐村足球队与归柳村足球队看成一个整体，与余下两队先排，有A种方法，再将不相邻的两队插入他们的空隙中，有A种方法， 最后落实丰乐村足球队与归柳村足球队的具体排法有A种，故不同的站法有AAA＝144(种)． 5．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! 答案　C 解析　利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A·(A)3＝(3！)4. 6．某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加2名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有(　　) A．12种 B．30种 C．36种 D．42种 答案　D 解析　方法一　由于原来5名同学顺序不变，这5名同学共有6个空位，再增加2名同学时，可分为两步进行，第一步安排第一名同学，有6种不同的方法，此时变成7个空位，再把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法，故共有6×7＝42(种)不同的顺序． 方法二　先将所有同学重排，共有A种方法，而原来5名同学共有A种不同顺序，因此共有A÷A＝42(种)顺序． 7．(5分)高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法． 答案　3 600 解析　不同排法的种数为AA＝3 600. 8．(5分)两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为了安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为__________． 答案　24 解析　分3步进行分析， ①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A＝2(种)排法， ②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A＝2(种)排法， ③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A＝6(种)排法． 则共有2×2×6＝24(种)排法． 9．(10分)一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单． (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(5分) (2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？(5分) 解　(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA＝14 400(种)． (2)先不考虑排列要求，有A种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A－AA＝37 440(种)． 10．(12分)甲、乙、丙等7人站成一排． (1)甲、乙两人中间必须有3人，有多少种不同排法？ (6分) (2)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(6分) 解　(1)从甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，有A种排法，甲、乙互换位置，有A种排法，甲、乙及中间3人看作一个整体和其余2人共3个元素排成一排，有A种排法，所以共有AAA＝720(种)排法． (2)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有A种排法； 由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A种排法； 最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，则有A种排法．所以共有AAA＝960(种)不同的排法． 11．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为(　　) A．24 B．18 C．16 D．10 答案　D 解析　第一类，甲是最后一个旅游，则有A种方法；第二类，甲不是最后一个旅游，则有AA种方法，所以小李旅游的方法共有A＋AA＝10(种)． 12．某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为(　　) A．48 B．72 C．120 D．240 答案　C 解析　若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有AA＝48(种)不同的分配方法， 若甲、乙2个家庭的5张票不连号，则有AA＝72(种)不同的分配方法， 综上，这8张门票共有48＋72＝120(种)不同的分配方法． 13．某单位安排7位员工在国庆节假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有(　　) A．504种 B．960种 C．1 008种 D．1 200种 答案　C 解析　依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方案共有AA＝1 440(种)， 其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方案共有AA＝240(种)； 满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方案共有AA＝240(种)； 满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班，丁在10月7日值班的方案共有AA＝48(种)．因此满足题意的方案共有1 440－2×240＋48＝1 008(种)． 14.(5分)某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题．并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有________种不同的答题顺序． 答案　60 解析　将6只灯笼全排列，即A， 因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定， 取谜题的方法有＝60(种)． 15．在探索系数A，ω，φ，b对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)图象的影响时，我们发现，系数A对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数φ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数f(x)＝sin x的图象经过四步变换得到函数g(x)＝2sin＋1的图象，且已知其中有一步是向右平移个单位长度，则变换的方法共有(　　) A．6种 B．12种 C．16种 D．24种 答案　B 解析　根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换，共四步， 因为左右平移变换是向右平移个单位长度， 所以要求左右平移变换在周期变换之前， 所以变换的方法共有＝12(种)． 16．(13分)现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色路灯．如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法？ 解　安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，这说明三种颜色的路灯的分配情况只能是2,2,3盏的形式． 先讨论颜色，在选择颜色时有3种方法，选好了一种颜色后，安装时采用插空的方式． 下面不妨就选择的是2盏红灯、2盏黄灯、3盏蓝灯来讨论． 先排2盏红灯、2盏黄灯，若2盏红灯、2盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排法，共有6种不同的安装方法； 若2盏红灯、2盏黄灯分别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排下去有10种安装方法，所以有20种不同的安装方法； 若2盏红灯、2盏黄灯恰有一种颜色相邻，则有2×6＝12(种)不同的安装方法． 综上，共有3×(6＋20＋12)＝114(种)不同的安装方法． 学科网（北京）股份有限公司 $