第2章 1.2 第2课时 椭圆的简单几何性质的综合问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦椭圆简单几何性质的综合应用，系统梳理椭圆方程的设法（含与已知椭圆有相同离心率或焦距的方程设定）、实际问题解决（如嫦娥探测器轨道、隧道设计）及轨迹方程求解（代入法、相关点法），搭建从基础方程到综合应用的学习支架。 资料以“数学眼光”观察现实（如用椭圆模型分析探测器轨道），通过分类讨论（焦点位置不确定时的方程求解）培养“数学思维”，借助坐标代换（轨迹方程中的相关点法）训练“数学语言”表达。课中例题解析与反思感悟辅助教师教学，课后跟踪训练与课时对点练助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　椭圆的简单几何性质的综合问题 学习目标　1.进一步熟悉求解椭圆方程的方法.2.会利用椭圆的几何性质解决一些简单的实际问题.3.了解代入法求解轨迹方程的方法. 一、椭圆方程的设法 例1　根据下列条件，求椭圆的标准方程. (1)中心在原点，焦点在x轴上，且焦距为2，与椭圆＝1有相同离心率； (2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(－2，－4). 解　(1)由题意，设所求椭圆的方程为＝1(t>0)，则6t－2t＝()2，得t＝， ∴所求椭圆的方程为＋y2＝1. (2)①当焦点在x轴时，设椭圆方程为＝1(b>0)， 则＝1，解得b2＝17，所以此时椭圆方程为＝1； ②当焦点在y轴时，设椭圆方程为＝1(b>0)， 则＝1，解得b2＝8，所以此时椭圆方程为＝1， 所以椭圆方程为＝1或＝1. 反思感悟　(1)与＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝t(t>0)或＝t(t>0). (2)与＝1(a>b>0)有相同焦距的椭圆方程可设为＝1(k<b2)或＝1(k<b2). 跟踪训练1　根据下列条件求椭圆的标准方程. (1)与椭圆＝1有相同离心率且经过点(2，－)； (2)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为. 解　(1)当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为 ＝t(t>0)，∵椭圆过点(2，－)， ∴t＝＝2， ∴椭圆的标准方程为＝1； 当焦点在y轴上时，设方程为＝m(m>0)， ∵椭圆过点(2，－)，∴m＝， ∴椭圆的标准方程为＝1. (2)椭圆方程4x2＋9y2＝36可化为＝1， ∴c＝. 又，∴a＝5，b＝＝2， 则所求椭圆方程为＝1或＝1. 二、椭圆简单几何性质的实际应用 例2　(多选)中国的“嫦娥四号”探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是(　　) A.a1＋c1＝a2＋c2 B.a1－c1＝a2－c2 C.< D.> 答案　BD 解析　由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A错误； 在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|， 在椭圆轨道Ⅱ中可得，a2－c2＝|PF|， 所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确； 所以a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方，得＋2a1c2＝＋2a2c1， 所以＋2a1c2＝＋2a2c1， 即＋2a1c2＝＋2a2c1，由图可得，>， 所以2a1c2<2a2c1，即<，所以C错误，D正确. 反思感悟　解决和椭圆有关的实际问题的思路 (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题. (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解. (3)用解得的结果说明原来的实际问题. 跟踪训练2　某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是　　　　米. 答案　32 解析　设椭圆方程为＝1， 当点(4，4.5)在椭圆上时，＝1， 解得a＝16， ∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32， 故拱宽至少为32米. 三、求轨迹方程 例3　(课本例7)　如图，点P是圆O：x2+y2＝4上的动点，作PH⊥x轴于点H，求线段PH的中点M的轨迹方程，并指出该轨迹是什么图形. 解　设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x，2y). 因为点P在圆O上，所以x2+(2y)2＝4，即+y2＝1. 所以点M的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆. 例3　已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(－，0)的距离与它到定直线l：x＝－的距离之比为常数. (1)求动点M的轨迹Q的方程； (2)设点A，若P是(1)中轨迹Q上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程. 解　(1)设动点M(x，y)， 由已知可得 ＝， 即x2＋2x＋3＋y2＝， 化简得＋y2＝1， 即所求动点M的轨迹Q的方程为＋y2＝1. (2)设B(x，y)，P(x0，y0)， 由得 由点P在轨迹Q上，得＝1，整理得＋4＝1， ∴线段PA的中点B的轨迹方程是 ＋4＝1. 反思感悟　(1)直接法求轨迹方程 求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(x，y)，轨迹方程就是x，y之间的等式，关键是找到等量关系，然后用x，y表示. (2)相关点法求轨迹方程 求轨迹方程时，关键是要找到所求动点与相关动点之间的等量关系. (3)定义法求轨迹方程 观察图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲线的定义直接得到动点轨迹的方程.注意要检验是否有要删除的点. 跟踪训练3　(1)已知P(－4，－4)，Q是椭圆x2＋2y2＝16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足，则动点M的轨迹方程是(　　) A.(x－3)2＋2(y－3)2＝1 B.(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1 C.(x＋1)2＋2(y＋1)2＝9 D.(x－1)2＋2(y－1)2＝9 答案　B 解析　设动点M(x，y)，Q(m，n)， ∵，P(－4，－4)， 即(x＋4，y＋4)＝(m－x，n－y)， ∴化简得 又Q(m，n)在椭圆x2＋2y2＝16上， 故16(x＋3)2＋32(y＋3)2＝16， 即(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1. (2)已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于－，则顶点C的轨迹方程为　　　　. 答案　＝1(y≠0) 解析　设点C(x，y)(y≠0)，则kAC·kBC＝×＝－(y≠0)， 化简得＝1(y≠0). 1.知识清单： (1)椭圆方程的设法. (2)实际生活中的椭圆问题. (3)求轨迹方程. 2.方法归纳：待定系数法、代入法、分类讨论法、相关点法. 3.常见误区：求椭圆方程未确定焦点在哪个轴上时不讨论而致误. 1.椭圆C：＝1的右焦点为F，点P是椭圆C上的动点，则|PF|的最大值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 答案　D 解析　由题意可得a＝4，c＝＝2， 则|PF|≤a＋c＝6. 所以|PF|的最大值是6. 2.过点(2，1)，焦点在x轴上且与椭圆＝1有相同的离心率的椭圆方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　D 解析　设所求椭圆的方程为＝λ(λ>0)， 又由椭圆过点(2，1)， 可得＝λ，解得λ＝， 即所求椭圆的方程为，即＝1. 3.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为　　　cm. 答案　20 解析　因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，所以， 即. 所以， 解得a小＝10. 所以小椭圆的长轴长为20 cm. 4.在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，.当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程是　　　　　　. 答案　＝1 解析　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0，0)， ∵，即(x－x0，y)＝(0，y0)， ∴∴ ∵点P在x2＋y2＝4上，∴＝4， ∴x2＋＝4，∴点M的轨迹方程是＝1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为(　　) A.＝1(x≠0) B.＝1(y≠0) C.＝1(x≠0) D.＝1(y≠0) 答案　A 解析　∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)， ∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值，又8>4， ∴点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且a＝4，c＝2， ∴b2＝12， ∴椭圆的方程为＝1(x≠0). 2.德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c， 由题意可得， 整理得a＝59c，即. ∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是. 3.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　) A.＝1 B.x2＋＝1 C.＋y2＝1 D.＝1 答案　B 解析　椭圆9x2＋4y2＝36可化为＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆的方程为＝1(a>b>0)，则c＝，又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1. 4.(多选)经过点M(1，2)且与椭圆＝1有相同离心率的椭圆方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　CD 解析　当焦点在x轴上时， 设椭圆方程为＝t1(t1>0)， 将M(1，2)代入得，t1＝， 故所求椭圆方程为＝1， 当焦点在y轴上时， 设椭圆方程为＝t2(t2>0)， 将(1，2)代入得t2＝， 故椭圆的方程为＝1. 5.某月球探测器发射后顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，近月点与月球表面的距离为100 km，远月点与月球表面的距离为400 km.已知月球的直径约为3 476 km，则该椭圆形轨道的离心率约为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知月球半径为 ×3 476＝1 738(km). 设A为近月点，B为远月点，F为月球的球心，如图所示. 则|AF|＝100＋1 738＝1 838(km)，|BF|＝400＋1 738＝2 138(km)， 故2a＝1 838＋2 138＝3 976， a＝1 988. 又a＋c＝2 138， 所以c＝2 138－1 988＝150， 故椭圆的离心率为e＝≈. 6.设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，，则点M的轨迹方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　A 解析　设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)， 由， 可得(x，y)＝(x0，0)＋(0，y0)， 则解得 因为|AB|＝5， 所以＝25， 即＝1. 7.(5分)罗马斗兽场是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为πab(其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14)，已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为　　　　平方米.(保留小数点后两位)  答案　0.22 解析　由条件可得，竞技场的总面积为π××＝7 332π(平方米)，表演区的面积为π××＝1 161π(平方米)， 故观众区的面积为7 332π－1 161π＝6 171π(平方米)，故观众区每个座位所占面积约为≈≈0.22(平方米). 8.(5分)已知A(2，1)，B(2，－1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足＝m＋n，其中m，n∈R，且m2＋n2＝.则动点P的轨迹C的方程为　　　　　　　. 答案　＋y2＝1 解析　∵点P满足＝m＋n， 其中m，n∈R， ∴(x，y)＝(2m＋2n，m－n)， 即得 ∵m2＋n2＝， ∴， 即＋y2＝1. 9.(10分)如图，在平面直角坐标系中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，|AB|＝8，|BC|＝6，以A，B为焦点的椭圆经过点C，求椭圆的标准方程. 解　根据题意，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)，|AB|＝8且AB的中点为O，则A的坐标为(－4，0)， B的坐标为(4，0)，即椭圆中c＝4，则a2－b2＝16； 又|BC|＝6，故C的坐标为(4，6)，椭圆经过点C， 则有＝1， 解得a2＝64，b2＝48， 故椭圆的标准方程为＝1. 10.(11分)已知中心在坐标原点的椭圆，经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点. (1)求椭圆的标准方程；(5分) (2)若P是(1)中所求椭圆上的动点，求PF的中点Q的轨迹方程.(6分) 解　(1)依题意，可设椭圆C的方程为＝1(a>b>0)， 若点F(2，0)为其右焦点， 则其左焦点为F'(－2，0)， 从而有 解得 又a2＝b2＋c2，∴b2＝12， 故椭圆C的方程为＝1. (2)设P(x0，y0)，Q(x，y)， ∵Q为PF的中点， ∴⇒ 又P是＝1上的动点， ∴＝1， 即Q点的轨迹方程是＝1. 11.(多选)“嫦娥奔月”是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道(月球的球心为椭圆的一个焦点)近月点制动(俗称“踩刹车”)后，以v km/s的速度进入距离月球表面n km的环月圆形轨道，环绕周期为t s，已知两轨道相切于近月点，远月点到月球表面的最近距离为m km，则(　　) A.圆形轨道的周长为(2πvt)km B.月球半径为km C.近月点与远月点的距离为km D.椭圆轨道的离心率为 答案　BC 解析　由题意，以v km/s的速度进入距离月球表面n km的环月圆形轨道，环绕周期为t s，则可得环绕的圆形轨道周长为vt km，半径为km，则月球半径为km，故A错误，B正确； 则近月点与远月点的距离为km，故C正确； 设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，则m＋R＝a＋c，n＋R＝a－c(R为月球的半径)，∴2a＝m＋n＋2R，2c＝m－n，故离心率为，故D错误. 12.已知椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形. ∵|AF|＋|BF|＝4， ∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2. 设M(0，b)，则≥， ∴1≤|b|<2. 离心率e＝∈. 13.(5分)椭圆是生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围为　　　　　　　. 答案　 解析　因为该玻璃杯中所盛水的体积恰为玻璃杯容积的一半，所以当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆长轴长为＝6(厘米)，短轴长为6厘米， 所以椭圆离心率e最大为，又0<e<1，所以椭圆离心率e的取值范围为. 14.(5分)如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝2，则动点C的轨迹方程为　　　　　　　　. 答案　＝1(y≠0) 解析　由切线长定理可得|CP|＝|CQ|，|AP|＝|AR|，|BQ|＝|BR|， 所以|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝4＋|AR|＋|BR|＝4＋|AB|＝6>|AB|， 所以动点C的轨迹是以A(－1，0)，B(1，0)为焦点的椭圆(不在x轴上)， 且该椭圆满足2a＝6，c＝1，所以b2＝a2－c2＝8，所以动点C的轨迹方程为＝1(y≠0). 15.已知椭圆C：＋y2＝1的焦点F(1，0)，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若＝3，则||等于(　　) A. B.2 C. D.3 答案　C 解析　设A(2，y0)，B(x1，y1)，＝(1，y0)，＝(x1－1，y1)，由＝3， 即(1，y0)＝3(x1－1，y1)， 所以又点B在椭圆C上， 所以＝1， 解得y0＝±1，所以A点坐标为(2，±1)， 所以||＝. 16.(12分)如图，某区新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个水池，水池边缘由两个半椭圆＝1(x≤0)和＝1(x≥0)组成，其中a>b>9，水池边缘内切于矩形(即水池边缘与矩形各边均有且只有一个公共点). (1)求两个半椭圆的方程；(5分) (2)在该水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0，15))，求该网箱所占水面面积的最大值.(7分) 解　(1)由题意知b＝15，a＋9＝34， 解得a＝25，b＝15. 所以两个半椭圆的方程分别为＝1(x≤0)和＝1(x≥0). (2)设P(x0，t)为矩形在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为矩形在第二象限内的顶点， 则＝1，＝1，可得x1＝－x0. 所以内接矩形的面积S＝2t(x0－x1)＝2t×x0＝15×34×2··≤15×34＝510， 当且仅当时，S取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米. 学科网（北京）股份有限公司 $