第5章 1.1 分类加法计数原理-1.2 分步乘法计数原理（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理，通过问题情境抽象原理内容，结合例题、延伸探究及综合应用构建学习支架，为后续排列组合知识学习奠定基础。 该资料以“朝三暮四”故事创设情境，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过分类讨论、分步分析的例题设计培养数学思维，多样化练习题助力学生用数学语言表达计数过程，课中便于教师引导探究，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.1　分类加法计数原理 1.2　分步乘法计数原理 学习目标　1.理解两个基本计数原理，能根据具体问题的特征，选择运用分类加法计数原理或分步乘法计数原理. 2.通过实例分析，能抽象概括出基本计数原理的内容和使用方法，能利用计数原理解决一些简单的实际问题. 导语 《庄子·齐物论》中有一个故事，宋国有一个老人，他在家中的院子里养了许多猴子.日子一久，这个老人和猴子竟然能沟通讲话了.有一天他给猴子喂栗子吃，说：“早上三颗，晚上四颗.”猴子们都非常生气.老人便说：“既然这样，那么早上四颗，晚上三颗好了.”猴子们都很高兴.这就是“朝三暮四”的故事.虽然老人的安排发生了变化，但栗子总数是没有变化的.实际上，这其中就用到了排列、组合的数学知识，这节课我们就从最基本的分类加法计数原理与分步乘法计数原理来开始我们今天的学习吧！ 一、分类加法计数原理 问题1　从甲地到乙地，可以乘飞机，可以乘火车，也可以乘轮船，还可以乘汽车.每天有2个班次的飞机，有4个班次的火车，有2个班次的轮船，有1个班次的汽车.那么，乘坐以上交通工具中的一种从甲地到乙地，在一天中共有多少种选择呢？ 提示　所有方法可以分成乘飞机、火车、轮船、汽车4类办法，每类办法中分别又有2，4，2，1种方法.于是，乘坐以上交通工具从甲地到乙地，共有2+4+2+1＝9(种)方法. 知识梳理　分类加法计数原理 完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法.那么，完成这件事共有N＝m1+m2+…+mn种方法.(也称“加法原理”) 注意点： (1)完成这件事的若干种方法可以分成n类； (2)每类方法都可以完成这件事，且类与类之间两两不交. 例1　(1)设集合A＝{1，2，3，4}，则方程＝1，m，n∈A表示焦点位于x轴上的椭圆有(　　) A.6个 B.8个 C.12个 D.16个 答案　A 解析　因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n. 当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3+2+1＝6(个). 延伸探究1　条件不变，结论变为“则方程＝1，m，n∈A表示焦点位于x轴上的双曲线”有(　　) A.6个 B.8个 C.12个 D.16个 答案　D 解析　因为双曲线的焦点在x轴上，所以m>0，n>0，当m＝1时，n＝1，2，3，4；当m＝2时，n＝1，2，3，4；当m＝3时，n＝1，2，3，4；当m＝4时，n＝1，2，3，4，即所求的双曲线共有4+4+4+4＝16(个). (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为　　　　. 答案　36 解析　方法一　根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1＝36(个). 方法二　分析个位数字，可分以下几类： 个位数字是9，则十位数字可以是1，2，3，…，8中的一个，故共有8个； 个位数字是8，则十位数字可以是1，2，3，…，7中的一个，故共有7个； 同理，个位数字是7的有6个； …… 个位数字是2的有1个. 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1＝36(个). 反思感悟　(1)分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”. (2)利用分类加法计数原理计数时的解题思路. 跟踪训练1　(1)一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选1名同学参加科学竞赛，不同的选派方法共有　　　　种. 答案　8 解析　任选1名同学参加科学竞赛，有两类方案： 第一类，从男同学中选取1名参加科学竞赛，有3种不同的选法； 第二类，从女同学中选取1名参加科学竞赛，有5种不同的选法. 由分类加法计数原理得，不同的选派方法共有3+5＝8(种). (2)用1，3，5，7中的任意一个数作分子，2，4，8，9中的任意一个数作分母，则可构成真分数的个数为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 答案　D 解析　分四类：①当分子为1时，有，，，，共4个真分数； ②当分子为3时，有，，，共3个真分数； ③当分子为5时，有，，共2个真分数； ④当分子为7时，有，，共2个真分数. 根据分类加法计数原理，知可构成4+3+2+2＝11(个)真分数. 二、分步乘法计数原理 问题2　用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 提示　编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码. 知识梳理　分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种方法.(也称“乘法原理”) 注意点： (1)完成一件事有多个步骤，缺一不可； (2)每一步都有若干种方法. 例2　4名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，不同的报名方法数有(　　) A.43 B.34 C.7 D.12 答案　B 解析　要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝34(种)报名方法. 延伸探究2　4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军(每项冠军只允许一人获得)，共有多少种可能的结果？ 解　要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能的情况，于是共有4×4×4＝64(种)可能的结果. 反思感悟　利用分步乘法计数原理解题的注意点及解题思路 (1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可. (2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路 ①分步：将完成这件事的过程分成若干步； ②计数：求出每一步中的方法数； ③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果. 跟踪训练2　(1)一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成　　　　个四位数的号码(各位上的数字允许重复). 答案　10 000 解析　按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10； 第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10； 第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10； 第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10. 根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000(个)四位数的号码. (2)人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位吉祥数(首位不能是零)共有　　　　个. 答案　448 解析　第一步，确定千位，除去0和6，有8种不同的选法；第二步，确定百位，除去6和千位数字外，有8种不同的选法；第三步，确定十位，除去6和千位、百位上的数字外，有7种不同的选法.故共有8×8×7＝448(个)不同的“吉祥数”. 三、两个原理的简单应用 例3　某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人，高三年级9人. (1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每个年级各选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)选两人作为社团发言人，这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？ 解　(1)根据题意，选其中一人为负责人，可分为3类. 第1类，选出的是高一学生，有13种选法； 第2类，选出的是高二学生，有12种选法； 第3类，选出的是高三学生，有9种选法. 由分类加法计数原理可得，共有13+12+9＝34(种)不同的选法. (2)根据题意，共分为3步. 第1步，从高一学生中选出1人，有13种选法； 第2步，从高二学生中选出1人，有12种选法； 第3步，从高三学生中选出1人，有9种选法. 由分步乘法计数原理可得，共有13×12×9＝1 404(种)不同的选法. (3)根据题意，可分为3类. 第1类，选出的是高一、高二学生，有13×12＝156(种)选法； 第2类，选出的是高一、高三学生，有13×9＝117(种)选法； 第3类，选出的是高二、高三学生，有12×9＝108(种)选法. 由分类加法计数原理可得，共有156+117+108＝381(种)不同的选法. 反思感悟　(1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏. (2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰. 跟踪训练3　集合A＝{1，2，－3}，B＝{－1，－2，3，4}，从A，B中各取1个元素，作为点P(x，y)的坐标. (1)可以得到多少个不同的点？ (2)这些点中，位于第一象限的有几个？ 解　(1)可分为两类：A中元素为x，B中元素为y或A中元素为y，B中元素为x，则共得到3×4+4×3＝24(个)不同的点. (2)第一象限内的点，即x，y均为正数，所以只能取A，B中的正数，共有2×2+2×2＝8(个)不同的点. 1.知识清单： (1)分类加法计数原理. (2)分步乘法计数原理. 2.方法归纳：分类讨论. 3.常见误区：“分类”与“分步”不清，导致计数错误. 1.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有(　　) A.24种 B.9种 C.3种 D.26种 答案　B 解析　不同的杂志本数为4+3+2＝9，从其中任选1本阅读，共有9种选法. 2.现有3名老师、8名男学生和5名女学生共16人.若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为(　　) A.39 B.24 C.15 D.16 答案　A 解析　先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名学生中任选1名，有13种选法.由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×13＝39. 3.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有(　　) A.3种 B.6种 C.7种 D.9种 答案　C 解析　分3类：买1本书，买2本书和买3本书.各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3+3+1＝7(种). 4.从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2+bx+c的系数，可组成的不同的二次函数共　　　个，其中不同的偶函数共　　　个.(用数字作答)  答案　18　6 解析　一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的二次函数3×3×2＝18(个). 若二次函数为偶函数，则b＝0.a的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数3×2＝6(个). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分 1.现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中任选一幅布置房间，则不同的选法共有(　　) A.10种 B.12种 C.20种 D.36种 答案　B 解析　依题意，不同的选法共有3+4+5＝12(种). 2.2025年亚冬会在黑龙江省哈尔滨市举行.为了使大会的服务热情周到，组委会向全市各学校发出志愿者倡议.同学们可通过拨打热线电话或登录官网两种方式报名，现有甲、乙、丙三名同学报名参加，每名同学选择一种报名方式，则不同的报名方法有(　　) A.4种 B.6种 C.8种 D.9种 答案　C 解析　每个人都有两种报名方式，由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法有23＝8(种). 3.(多选)已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，则xy的值可以为(　　) A.－8 B.－12 C.11 D.24 答案　ABD 解析　问题分为两步：第一步在集合{2，3}中任取一个值，有2种不同取法，第二步在集合{－4，8}中任取一个值，有2种不同取法，故xy可表示2×2＝4(个)不同的值.即2×(－4)＝－8，2×8＝16， 3×(－4)＝－12，3×8＝24. 4.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定的不同平面的个数为(　　) A.40 B.16 C.13 D.10 答案　C 解析　分两类情况讨论： 第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面； 第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面. 根据分类加法计数原理知， 共可以确定8+5＝13(个)不同的平面. 5.编号为1，2，3，4的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为1，2，3，4的四个门，若规定编号为1，2，3，4的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位同学进入博物馆的不同的方法种数为(　　) A.12 B.16 C.81 D.256 答案　C 解析　因为每位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则编号为1的同学进入博物馆有3种选法； 同理编号为2，3，4的同学进入博物馆各有3种方法， 由分步乘法计数原理，四位同学进入博物馆共有3×3×3×3＝81(种)方法. 6.已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内不同点的个数为(　　) A.18 B.10 C.16 D.14 答案　B 解析　第三、四象限内点的纵坐标为负值，横坐标无限制，分两类情况讨论， 第一类：取M中的点作横坐标，取N中的点作纵坐标，共有3×2＝6(种)情况；第二类：取N中的点作横坐标，取M中的点作纵坐标，共有4×1＝4(种)情况，综上所述共有4+6＝10(个)不同的点. 7.(5分)商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有　　　　种不同的选法；要买上衣、裤子各一件，共有　　　　种不同的选法. 答案　33　270 解析　买一件上衣有15种选法，买一条裤子有18种选法，故买一件上衣或一条裤子共有15+18＝33(种)不同的选法；要买上衣、裤子各一件，共有15×18＝270(种)不同的选法. 8.(5分)用1，2，3这3个数字可写出没有重复数字的整数　　　　个. 答案　15 解析　分三类： 第一类为一位整数，有3个； 第二类为两位整数，有12，13，21，23，31，32，共6个； 第三类为三位整数，有123，132，213，231，312，321，共6个. ∴可写出没有重复数字的整数有3+6+6＝15(个). 9.(10分)有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加. (1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？(5分) (2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？(5分) 解　(1)选1人，可分3类： 第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法； 第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法； 第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法. 共有3+8+5＝16(种)不同的选法. (2)从教师、男同学、女同学中各选1人，分3步进行： 第1步，选教师，有3种不同的选法； 第2步，选男同学，有8种不同的选法； 第3步，选女同学，有5种不同的选法. 共有3×8×5＝120(种)不同的选法. 10.(10分)已知集合A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n组成数对(m，n)，问： (1)有多少个不同的数对？(4分) (2)其中所取两数满足m>n的数对有多少个？(6分) 解　(1)由题意得，先从A中选出m，有5种结果，再从B中选出n，有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25(个)不同的数对. (2)在(1)中的25个数对中所取两数满足m>n的数对可以分类来解，当m＝2时，n＝1，有1种结果；当m＝4时，n＝1，3，有2种结果；当m＝6时，n＝1，3，5，有3种结果；当m＝8时，n＝1，3，5，7，有4种结果；当m＝10时，n＝1，3，5，7，9，有5种结果.综上所述，共有1+2+3+4+5＝15(个)不同的数对. 11.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有(　　) A.24种 B.36种 C.42种 D.60种 答案　D 解析　把3个项目分配到4个体育馆，所有方案共有4×4×4＝64(种)，其中，3个项目被分配到同一体育馆进行的有4种方法，故满足条件的分配方案有64－4＝60(种). 12.(多选)某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是(　　) A.从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法 B.从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法 C.从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法 D.若报名参加足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法 答案　BC 解析　对于A，选1人做正组长，1人做副组长需要分两步，先选正组长有10种选法，再选副组长有9种选法，则共有10×9＝90(种)不同的选法，故A错误；对于B，从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，则共有7×3＝21(种)不同的选法，故B正确；对于C，选1人参加数学竞赛，既可以选男生，也可以选女生，则共有7+3＝10(种)不同的选法，故C正确；对于D，每人报名都有2种选择，共有10人，则共有210＝1 024(种)不同的报名方法，故D错误. 13.(多选)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且其所选的生物课在B层上，该校周一上午选课走班的课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是(　　) 第1节 第2节 第3节 第4节 地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班 生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班 物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班 物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班 政治1班 物理A层3班 政治2班 政治3班 A.此人有4种选课方式 B.此人有5种选课方式 C.自习不可能安排在第2节 D.自习可安排在4节课中的任一节 答案　BD 解析　由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类： 若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选，故有2×2＝4(种)(此种情况自习可安排在第1，3，4节中的某节)；若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种.根据分类加法计数原理可得选课方式有4+1＝5(种)，故A错误，B正确；综上，自习可安排在4节课中的任一节，故C错误，D正确. 14.从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax+By＝0的系数，则形成不同的直线有(　　) A.18条 B.20条 C.25条 D.10条 答案　A 解析　第一步取A的值，有5种取法， 第二步取B的值，有4种取法， 其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时的直线是相同的； 当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时的直线是相同的， 故共有5×4－2＝18(条). 15.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为(　　) A.26 B.24 C.20 D.19 答案　D 解析　因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3，12→6→4，12→6→7，12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上传递的最大信息量的和：3+4+6+6＝19. 16.(12分)从1，2，3，4，5这5个整数中，允许重复地取出3个数a，b，c构成一个三位数X＝100a+10b+c. (1)X有多少个？其中偶数多少个？(6分) (2)将所有的X从小到大排列，第75个X是多少？(6分) 解　(1)由题意可知a，b，c各有5种取法，所以根据分步乘法计数原理可得构成一个三位数X有5×5×5＝125(个)；若为偶数，c取值有2种，a，b各有5种取法，按分步乘法计数原理可得有2×5×5＝50(个). (2)当百位为1时，三位数有5×5＝25(个)， 当百位为2时，三位数有5×5＝25(个)， 当百位为3时，三位数有5×5＝25(个)， 所以将所有的X从小到大排列，第75个X是百位数字为3的组成的最大的三位数为355. 学科网（北京）股份有限公司 $