第1章 1.1-1.2 第1课时 直线的倾斜角和斜率（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“直线的倾斜角和斜率”核心知识点，梳理从确定直线位置的几何要素出发，先通过倾斜角（定义、范围[0,π)）刻画方向，再用斜率（计算公式k=(y2-y1)/(x2-x1)）进行代数量化，最终应用于判断三点共线等问题的学习支架。 该资料以“坡度”现实情境导入，引导学生用数学眼光观察生活现象，通过问题链驱动思考培养数学思维。例题结合图形分类讨论（如倾斜角旋转问题），强化几何直观与推理能力，课中助教师引导探究，课后分层练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 第1课时　直线的倾斜角和斜率 学习目标　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程.3.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 导语 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ 一、直线的倾斜角 问题1　在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示　两点确定一条直线，一个点与一个方向也可以确定一条直线. 问题2　经过原点的无数条直线中，与x轴(正方向)所成的角为的直线有几条？ 提示　只有一条. 知识梳理　 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0 记法 α 图示 范围 [0，π) 注意点： (1)对于平面直角坐标系中的每一条直线l，都有唯一确定的倾斜角α与之对应. (2)直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度，倾斜角越接近，倾斜程度越大. 例1　(1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A.任意一条直线都有唯一确定的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) 答案　AC 解析　任意一条直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确.D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误. (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° 答案　AB 解析　根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时， l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 反思感悟　求直线倾斜角的方法及注意点 (1)方法：根据定义、结合图形，必要时进行分类讨论. (2)注意点：直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 跟踪训练1　(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　　　　. 答案　60°或120° 解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正方向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正方向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为　　　　. 答案　135° 解析　设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. 二、直线的斜率 问题3　坡度是用什么量来刻画道路的倾斜程度的？ 提示　高度的平均变化率. 问题4　如图，直线l上两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). 记Δx＝x2－x1(Δx≠0)， Δy＝y2－y1. 在直线l上点P1平移到点P2， 则高度的平均变化率是多少？ 提示　. 知识梳理　 称k＝(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率. 注意点： (1)k的大小与两点P1，P2在直线上的位置无关. (2)当直线l与x轴垂直时，斜率不存在. (3)当直线l与x轴不垂直时，斜率存在且是唯一的. (4)常用斜率表示直线的倾斜程度. 例2　(课本例1)　求满足下列条件的直线的斜率： (1)经过点A(2，－8)，B(5，1)； (2)经过点C(0，2)，D(2，－1)； (3)经过点M(－1，3)，N(0，3). 解　由经过两点的直线斜率的计算公式，可得 (1)kAB＝＝3. (2)kCD＝＝－. (3)kMN＝＝0. 例2　满足下列条件的直线的斜率是否存在？若存在，求其斜率. (1)经过点A(2，3)，B(4，5)； (2)经过点C(－2，3)，D(2，－1)； (3)经过点M(1，2)，N(－1，2)； (4)经过点P(a，2)，Q(3，6). 解　(1)存在，kAB＝＝1. (2)存在，kCD＝＝－1. (3)存在，kMN＝＝0. (4)当a＝3时，斜率不存在； 当a≠3时，直线的斜率kPQ＝. 反思感悟　(1)已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1≠x2时，代入斜率公式求得k＝；当x1＝x2时，直线斜率不存在. (2)公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置. 跟踪训练2　(1)已知点P1(3，5)，P2(－1，－3)，则直线P1P2的斜率k＝　　　　. 答案　2 解析　k＝＝2. (2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为　　　　. 答案　1 解析　由＝1，得m＝1. 三、倾斜角和斜率的应用 问题5　若给定A，B，C三点的坐标，不画图，如何判定A，B，C三点是否共线？ 提示　若A，B，C三点横坐标相等，则三点一定共线； 若A，B，C三点横坐标不相等，若能得到kAB＝kAC，则A，B，C三点共线，否则，不共线. 例3　(课本例2)　已知直线l经过点A(－1，2)，且斜率k＝－2，判断B(1，－2)，C(0，4)，D(0，0)中，哪些点在直线l上，哪些点不在直线l上. 解　因为kAB＝＝－2，kAC＝＝2≠－2，kAD＝＝－2，且直线l经过点A(－1，2)， 所以点B，D在直线l上，点C不在直线l上. 例3　(1)已知直线经过点A(1，2)，且斜率k＝1，判断B(0，0)，C(2，3)，D(3，2)中，哪些点在该直线上，哪些点不在该直线上？ 解　因为kAB＝＝2≠1，kAC＝＝1，kAD＝＝0≠1，故点C在直线上，点B，D不在直线上. (2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a). ①若A，B，C三点在同一直线上，求实数a的值； ②若点A不在直线BC上，求实数a的取值范围. 解　①∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC， 即， ∴a＝2或a＝. ②当A，B，C三点共线时，a＝2或a＝， 那么当A，B，C三点不共线，即点A不在直线BC上时，a≠2且a≠. 反思感悟　(1)判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在.(2)若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等，也可能都不存在.若斜率相等，说明有公共点，才能得出三点共线. 1.知识清单： (1)直线的倾斜角及其范围. (2)直线斜率的定义和斜率公式. 2.方法归纳：数形结合思想. 3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清. 1.(多选)图中α能表示直线l的倾斜角的是(　　) 答案　AC 2.已知直线l的倾斜角为θ－25°，则角θ的取值范围为(　　) A.25°≤θ≤155° B.－25°≤θ≤155° C.0°≤θ≤180° D.25°≤θ<205° 答案　D 解析　因为直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°，所以由0°≤θ－25°<180°，得25°≤θ<205°. 3.已知过A(3，1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为　　　　. 答案　0 4.如果三点A(2，1)，B(－2，m)，C(6，8)在同一条直线上，则m的值为　　　　. 答案　－6 解析　由kAC＝kAB，知， 解得m＝－6. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为(　　) A.45° B.135° C.0° D.无法计算 答案　B 解析　根据倾斜角的定义，l的倾斜角为90°＋45°＝135°. 2.已知直线l过点A(3－，6－)，B(3＋2，3－)，则直线l的斜率为(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　C 解析　直线l的斜率 k＝＝－. 3.(多选)下列说法正确的是(　　) A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案　ABC 4.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为(　　) A.－1 B.1 C.2 D. 答案　D 解析　由直线的斜率公式得＝2， 解得m＝. 5.若过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线斜率不存在，则m的值等于(　　) A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案　D 解析　因为过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线斜率不存在，所以m＝－2. 6.已知三点A(m，1)，B(4，2)，C(－4，2m)在同一条直线上，则实数m的值为(　　) A.0 B.5 C.0或5 D.0或－5 答案　C 解析　因为三点A(m，1)，B(4，2)，C(－4，2m)在同一条直线上，且直线斜率存在， 所以，解得m＝0或m＝5. 7.(5分)已知A(x，2x)，B(1，0)，C(3x，x)，若直线AB的斜率为1，则直线BC的斜率为　　　　. 答案　 解析　由kAB＝＝1， 解得x＝－1，则C(－3，－1). 所以kBC＝. 8.(5分)若A(1，2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点不共线，则实数m的取值范围是　　　　. 答案　{m|m≠3} 解析　由题意知kAB≠kAC， 即≠，得m≠3. 9.(10分)已知四边形ABCD的四个顶点是A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，D(－2，2)，求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率. 解　四边形ABCD的四条边所在直线的斜率分别为kAB＝＝4，kBC＝， kCD＝＝－4，kAD＝. 10.(10分)若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求证：. 证明　因为A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，所以kAB＝kAC， 即， 得2(a＋b)＝ab， 因为ab≠0，两边同除以2ab， 得. 11.(多选)下列各组中，三点不能构成三角形的三个顶点的为(　　) A.(1，3)，(5，7)，(10，12) B.(－1，4)，(2，1)，(－2，5) C.(0，2)，(2，5)，(3，7) D.(1，－1)，(3，3)，(5，7) 答案　ABD 解析　当三点共线时，不能构成三角形，A，B，C，D四个选项中，A，B，D中的三点共线，故选ABD. 12.(多选)一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A.α B.180°－α C.90°－α D.90°＋α 答案　CD 解析　当l方向向上的部分在y轴左侧时，如图①所示，倾斜角为90°＋α；当l方向向上的部分在y轴右侧时，如图②所示，倾斜角为90°－α. 13.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案　B 解析　设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A'(a－2，b＋2)，于是直线l的斜率k＝kAA'＝＝－1. 14.(5分)已知点A(2，1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的斜率为1，则点P的坐标为　　　　. 答案　(1，0)或(0，－1) 解析　若点P在x轴上，设P(a，0)， 则kPA＝＝1，解得a＝1， ∴P(1，0). 若点P在y轴上，设P(0，b)， 则kPA＝＝1，解得b＝－1， ∴P(0，－1). 故点P的坐标为(1，0)或(0，－1). 15.《中华人民共和国国旗法》中就国旗的五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立平面直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为(　　) A.0° B.1° C.2° D.3° 答案　C 解析　∵O，O3都为五角星的中心点， ∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°. 过O3作x轴的平行线O3E，则∠OO3E＝α≈16°， ∴直线AB的倾斜角约为18°－16°＝2°. 16.(12分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点.求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0. 证明　kAB＝，kAC＝， ∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC， ∴， ∴＋x1x2＋＋x1x3＋， ∴(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0， ∵x2≠x3，∴x1＋x2＋x3＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $