第5章 1.1 分类加法计数原理&1.2 分步乘法计数原理-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§1　基本计数原理 1．1　分类加法计数原理　1.2分步乘法计数原理 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义 2．能够利用两个计数原理解决简单问题 在学习两个计数原理的过程中，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养 [情境引入] 某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分．一球队打完15场，积分为33分，若不考虑顺序，你能确定该队胜、负、平的情况吗？若能，有多少种情况？ [知识梳理] [知识点一]　分类加法计数原理　 分类加法计数原理　完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝　m1＋m2＋…＋mn　种方法．(也称“加法原理”) 1.定义中每一类中的每一种方法能否独立完成这件事？ [提示]　能，每一类中的每一种方法都能独立完成这件事． 2．各种方案之间有何关系？每一类方案中各种方法之间有何关系？ [提示]　各种方案之间相互独立，并且任何一类方案中任何一种方法也相互独立． [知识点二]　分步乘法计数原理　 分步乘法计数原理　完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种方法．(也称“乘法原理”) 3.定义中每一步中的每一种方法能否独立完成这件事？ [提示]　不能，每一步中的每一种方法不能独立完成这件事． 4．定义中的“完成一件事”指的是什么？ [提示]　完成一件事指的是将完成这件事划分成几个步骤，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成． 5．根据定义完成一件事的方法数怎样计算？ [提示]　从计数上看，各步的方法数的积就是完成这一件事的方法总数． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(√) (2)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√) (3)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．(√) 2．某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级负责学校星期一早晨升旗活动，安排方法共有(　　) A．8种　 B．6种　 C．14种　 D．48种 解析：C　[分两类：第1类，从高一年级8个班中选一个班共有8种安排方法；第2类，从高二年级中选一个班共有6种安排方法．故共有8＋6＝14种安排方法．所以选C.] 3．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　　) A．1＋1＋1＝3　　　　　　 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不对 解析：B　[分三类：第一类，乘汽车，从 3 次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选 1 次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选 1 次有 2 种走法. 所以，共有3＋4＋2＝9(种)不同的走法．] 4．已知x∈，y∈，则(x，y)可表示不同的点的个数是(　　) A．1　　B．3　　C．6　　　　D．9 解析：D　[这件事可分为两步完成：第一步，在集合中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．] 5．用1,2,3这3个数字可以写出没有重复数字的整数　________　个． 解析：分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12,21,13,31,23,32，共6个；第三类为三位整数，有123,132,321,312,231,213，共6个．∴共写出没有重复数字的整数3＋6＋6＝15个． 答案：15 　　　分类加法计数原理 [例1]　高三·一班有学生50人，男30人，女20人；高三·二班有学生60人，男30人，女30人；高三·三班有学生55人，男35人，女20人． (1)从高三·一班、二班或三班中选一名学生任校学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三·一班、二班男生中，或从高三·三班女生中选一名学生任校学生会体育部长，有多少种不同的选法？ [思路点拨]　按班分三类.利用分类加法计数原理求解. [解]　(1)分三类： 第一类选法，从高三·一班中任选一名，有50种不同的方法； 第二类选法，从高三·二班中任选一名，有60种不同的方法； 第三类选法，从高三·三班中任选一名，有55种不同的方法． 根据分类加法计数原理，得50＋60＋55＝165(种) 因此共有165种不同的选法． (2)分三类： 第一类选法，从高三·一班男生中任选一名，有30种不同的方法； 第二类选法，从高三·二班男生中任选一名，有30种不同的方法； 第三类选法，从高三·三班女生中任选一名，有20种不同的方法． 根据分类加法计数原理，得30＋30＋20＝80(种)． 故共有80种不同的选法． (1)应用分类加法计数原理应注意如下问题： ①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事． ②无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法．即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的． ③不同方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须做到既“不重复”也“不遗漏”． (2)利用分类加法计数原理计数时的解题流程 [变式训练] 1．(1)某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有(　　 ) A．3种　　　　　　　　　　 B．6种 C．7种 D．9种 (2)如图所示，在A，B间有四个开关1,2,3,4. 今发现A，B之间电路不通，则开关断开的不同情况有　________　种． 解析：(1)C　[分3类：买1本书，买2本书和买3本书．各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7种．] (2)解析：按照开关断开的个数分类讨论．若断开1个，则有(1)，(4)2种情况；若断开2个，则有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)6种情况；若断开3个，则有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)4种情况；若断开4个，则有(1,2,3,4)1种情况．综上，共有2＋6＋4＋1＝13种情况． 答案：13 　　　分步乘法计数原理 [例2] 　某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选1台检验，有多少种不同的选法？ [思路点拔]　本题中要完成的事是在每种型号的电视机中选择1台，而每种型号的选择方法数又是明确可知的，故应分步完成. [解]　完成从这三种型号的电视机中各选1台检验可分三步完成： 第一步：从甲种型号中选1台，有10种不同的方法； 第二步：从乙种型号中选1台，有8种不同的方法； 第三步：从丙种型号中选1台，有12种不同的方法． 根据分步乘法计数原理，得10×8×12＝960(种)． 因此共有960种不同的方法． (1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可． (2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路； ①分步：将完成这件事的过程分成若干步； ②计数：求出每一步中的方法数； ③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果． [变式训练] 2．同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有(　　) A．32种　　　　　 B．128种 C．64种 D．256种 解析：C　[若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有25种去法； 若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有25种去法． 故一共有25＋25＝64种去法．] 　　　两个计数原理简单综合应用 [例3]　现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ [思路点拨]　 [解]　(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法． (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种， 7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法． (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法． 所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法． (1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法． (2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律． (3)混合问题一般是先分类再分步． [变式训练] 3．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． (1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？ (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？ 解：(1)从高一选1人作为总负责人有50种选法；从高二选1人作为总负责人有42种选法；从高三选1人作为总负责人有30种选法．由分类加法计数原理，可知共有50＋42＋30＝122(种)选法． (2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法．由分步乘法计数原理，可知共有50×42×30＝63 000(种)选法． (3)①高一和高二各选1人作为中心发言人，有50×42＝2 100(种)选法；②高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30＝1 260(种)选法；③高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30＝1 500(种)选法．故共有2 100＋1 260＋1 500＝4 860(种)选法． [当堂达标] 1．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船每天有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有(　　) A．3种 B．4种 C．7种 D．12种 解析：C　[根据分类加法计数原理，从甲地去乙地共有3＋4＝7种不同的交通方式．] 2．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有(　　) A．4种 B．5种 C．6种 D．12种 解析：C　[若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传递方式；同理，甲先传给丙也有3种不同的传递方式．故共有6种不同的传递方式．] 3．一个科技小组中有4名女同学和5名男同学，从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法共有　________　种；若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有　________　种． 解析：根据分类加法计数原理知，从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法共有4＋5＝9(种)；由分步乘法计数原理知，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有4×5＝20(种)． 答案：9　20 4．有不同的红球8个，不同的白球7个． (1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？ (2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？ 解：(1)根据分类加法计数原理，从中任取一个球的取法共有8＋7＝15种． (2)根据分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色的球的取法共有8×7＝56种． 学科网（北京）股份有限公司 $$