第1章 再练一课(范围：§2)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦圆的方程与位置关系，以题载法覆盖参数范围、对称变换、位置判定等核心考法，知识逻辑从概念到应用层层递进，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的方程基础|3题|参数范围、标准方程求解|从一般方程到标准方程的转化，强化方程要素理解| |圆的对称与位置关系|5题|对称圆方程、两圆位置判定|通过对称变换及圆心距与半径关系，构建位置关系判定体系| |直线与圆综合|5题|弦长、切线、点与圆位置|结合距离公式与勾股定理，解决直线与圆的相交、相切问题| |实际应用|1题|台风侵袭模型|将实际问题抽象为圆的动态变化，体现数学建模与应用意识|

再练一课(范围：§2) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若曲线x2＋y2＋2x＋my＋2＝0表示圆，则m的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案　C 解析　由题意得22＋m2－8>0，解得m<－2或m>2. 即m的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞). 2.圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9关于直线x－y＝0对称的圆的标准方程是(　　) A.(x＋2)2＋(y－1)2＝9 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝3 C.(x＋2)2＋(y－1)2＝3 D.(x－2)2＋(y＋1)2＝9 答案　D 解析　因为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9的圆心为(－1，2)，半径为3，且(－1，2)关于直线x－y＝0的对称点为(2，－1)，所以所求圆的圆心为(2，－1)，半径为3，即所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9. 3.已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＝8－m2(m>3)，则两圆的位置关系是(　　) A.相交 B.内切 C.外切 D.外离 答案　D 解析　将两圆方程分别化为标准方程得到圆C1：(x－m)2＋y2＝4，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝9， 则圆心C1(m，0)，C2(－1，m)，半径r1＝2，r2＝3，两圆的圆心距|C1C2|＝>＝5＝2＋3， 则圆心距大于半径之和，故两圆外离. 4.已知圆C：x2＋y2－4x＝0，过点P(2，1)且被该圆所截得的弦长为2的直线有(　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 答案　B 解析　圆C：x2＋y2－4x＝0的圆心为C(2，0)，半径为2，易知点P在圆内，则PC所在弦长最大，此时为直径4，与PC垂直的弦长最短，则弦长l＝2＝2＝2，所以该圆所截得的弦长为2的直线有且只有一条. 5.若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是(　　) A.(x－)2＋y2＝5 B.(x＋)2＋y2＝5 C.(x－5)2＋y2＝5 D.(x＋5)2＋y2＝5 答案　D 解析　设圆心O(a，0)(a<0)， 则， ∴|a|＝5，∴a＝－5. ∴圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5. 6.已知点A(1，0)，B(1，6)，圆C：x2＋y2－10x－12y＋m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m等于(　　) A.－3或3 B.57 C.－3或57 D.3或57 答案　C 解析　由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切. 因为A(1，0)，B(1，6)， 所以以AB为直径的圆M的方程为 (x－1)2＋(y－3)2＝9， 圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝61－m. 因为两圆相切， 所以|CM|＝|3±|，即5＝|3±|， 解得m＝57或m＝－3. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则|AB|的值可能为(　　) A.6 B.8 C.12 D.16 答案　BC 解析　易知直线y＝kx－1过定点(0，－1)，故圆C的圆心(－3，3)到直线y＝kx－1的距离最大为＝5.又圆C的半径为6，所以弦长|AB|的最小值为2×＝2.又当直线y＝kx－1过圆心时弦长|AB|取最大值，为12，故|AB|∈[2，12]. 8.若点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16上，则(　　) A.两个圆的圆心所在直线的斜率为－ B.两个圆的相交弦所在直线的方程为3x－4y－5＝0 C.两圆的公切线有两条 D.|PQ|的最小值为0 答案　AD 解析　圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝4. 两个圆的圆心所在直线的斜率为＝－，所以A选项正确；因为|C1C2|＝＝5，r1＋r2＝5，所以两圆外切，故没有相交弦，两圆的公切线有三条，当点P、点Q运动到切点时，|PQ|取最小值0，所以B，C选项不正确，D选项正确. 9.已知圆C：x2＋y2－6x＋4y－3＝0，则下列说法正确的是(　　) A.圆C的半径为16 B.x轴被圆C所截得的弦长为4 C.圆C与圆E：(x－6)2＋(y－2)2＝1外切 D.若圆C上有且仅有两点到直线3x＋4y＋m＝0的距离为1，则实数m的取值范围是(－26，－21)∪(19，24) 答案　BC 解析　由圆C：x2＋y2－6x＋4y－3＝0，可得圆C的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝16， 所以圆C的半径为4，故A错误； 令y＝0，得x2－6x－3＝0，设圆C与x轴交点的横坐标分别为x1，x2， 则x1，x2是方程x2－6x－3＝0的两个根，所以x1＋x2＝6，x1x2＝－3， 所以|x1－x2|＝＝4，故B正确； 两圆圆心距|CE|＝＝5＝4＋1，故C正确； 由圆C上有且仅有两点到直线3x＋4y＋m＝0的距离为1，则3<<5，解得－26<m<－16或14<m<24， 即实数m的取值范围是(－26，－16)∪(14，24)，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.过点P(3，5)引圆A：(x－1)2＋(y－1)2＝4的切线PB(B为切点)，则切线长为　　　　. 答案　4 解析　由题意得圆心A(1，1)，半径r＝|AB|＝2， |AP|＝＝2， 在Rt△ABP中，|PB|＝＝4，则切线长为4. 11.圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝　　　　　　. 答案　－ 解析　由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程得(x－1)2＋(y－4)2＝4，所以圆心为(1，4)，因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1， 所以＝1，解得a＝－. 12.已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x－4)2＋(y－3)2＝r2(r>0)外切，则r的值为　　　　，若点A(x0，y0)在圆C1上，则－4x0的最大值为　　　　. 答案　4　5 解析　由于两圆外切，所以＝r＋1，即r＝4. 因为点A(x0，y0)在圆C1上， 所以＝1，所以－4x0＝1－4x0， 因为－1≤x0≤1，所以－4x0的最大值为5， 此时x0＝－1. 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R). (1)判断直线l与圆C的位置关系；(5分) (2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长.(7分) 解　(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)， 因此直线l过定点(1，1)， 又＝1<， 所以定点(1，1)在圆C内，则直线l与圆C必相交. (2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m， 又k＝tan 120°＝－，即m＝－. 此时，圆心C(0，1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离d＝， 又圆C的半径r＝， 所以|AB|＝2＝2. 14.(12分)在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝8相交于P，Q两点. (1)求线段PQ的长；(4分) (2)记圆O与x轴正半轴交于点M，点N在圆C上滑动，求△MNC面积最大时的直线NM的方程.(8分) 解　(1)由圆O与圆C方程相减，得弦PQ的方程为3x＋y－3＝0. 圆心O(0，0)到直线PQ的距离d＝， ∴|PQ|＝2. (2)∵|MC|＝，|NC|＝2. ∴S△MNC＝|MC||NC|sin∠MCN ＝2sin∠MCN， 当∠MCN＝90°时，S△MNC取得最大值. 此时MC⊥NC，又kCM＝1， 则直线NC为y＝－x＋4. 由 得N(1，3)或N(5，－1). 当点N为(1，3)时，kMN＝－3，此时MN的方程为3x＋y－6＝0；当点N为(5，－1)时，kMN＝－，此时MN的方程为x＋3y－2＝0. 综上，MN的方程为3x＋y－6＝0或x＋3y－2＝0. 15.(13分)在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A(看作一点)的东偏南θ角方向300千米的海面P处，并以20千米/时的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60千米，并以10千米/时的速度不断增大. (1)问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由(≈9.22)；(7分) (2)城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？(6分) 解　(1)如图，建立平面直角坐标系，则城市A(0，0)， 当前台风中心P(30，－210)， 设t小时后台风中心P的坐标为(x，y)，则 此时台风的半径为60＋10t， 10小时后，|PA|＝≈184.4(千米)，台风的半径r＝160(千米)，因为r<|PA|，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A. (2)t小时后台风侵袭的范围可视为以 P(30－10t，－210＋10t)为圆心，60＋10t为半径的圆， 若城市A受到台风侵袭，则 ≤60＋10t， 即300t2－10 800t＋86 400≤0，即t2－36t＋288≤0， 解得12≤t≤24. 故该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. 学科网（北京）股份有限公司 $